Faktorisieren

In diesem Kapitel besprechen wir das Faktorisieren (auch: Faktorisierung, Faktorzerlegung).

Einordnung 

Wahrscheinlich hast du schon mal etwas von der Primfaktorzerlegung gehört, mit deren Hilfe wir natürliche Zahlen in Faktoren zerlegen können. Auch Terme lassen sich faktorisieren.

Definition 

Einen Term, der eine Summe oder Differenz ist, in ein Produkt zu verwandeln, heißt faktorisieren.

Beispiele 

Faktorisieren durch Ausklammern 

a) Einmaliges Ausklammern

Einmaliges Ausklammern ist immer dann möglich, wenn sich aus allen Gliedern einer Summe oder Differenz ein gemeinsamer Faktor ausklammern lässt.

Beispiel 1 

Ausklammern einer Zahl

$$ {\color{red}7}a + {\color{red}7}b = {\color{red}7}(a + b) $$

Beispiel 2 

Ausklammern einer Variable

$$ 5{\color{red}a}b - 3{\color{red}a} = {\color{red}a}(5b - 3) $$

Beispiel 3 

Gleichzeitiges Ausklammern von Zahlen und Variablen

$$ {\color{red}4ab}c + {\color{red}4ab}d = {\color{red}4ab}(c+d) $$

Wenn größere Zahlen im Term vorkommen, zerlegt man diese meist in Primfaktoren. Nach der Primfaktorzerlegung lassen sich gemeinsame Faktoren einfacher erkennen.

Beispiel 4 

$$ 30x - 42y = {\color{red}2} \cdot {\color{red}3} \cdot 5 \cdot x - {\color{red}2} \cdot {\color{red}3} \cdot 7 \cdot y = {\color{red}6}(5x - 7y) $$

b) Mehrmaliges Ausklammern

Manchmal ist auch ein mehrmaliges Ausklammern möglich. Voraussetzung dafür ist, dass sich ein gemeinsamer Faktor aus einer Gruppe von zwei oder mehreren Gliedern ausklammern lässt. Im Anschluss daran kann in einigen Fällen noch einmal ausgeklammert werden.

Beispiel 5 

$3ax - 6x + 4a - 8$

1. Ausklammern

$$ \underbrace{{\color{red}3} \cdot a \cdot {\color{red}x} - 2 \cdot {\color{red}3} \cdot {\color{red}x}}_{\text{1. Gruppe}} + \underbrace{{\color{red}2} \cdot {\color{red}2} \cdot a - {\color{red}2} \cdot {\color{red}2} \cdot 2}_{\text{2. Gruppe}} = {\color{red}3x}(a-2) + {\color{red}4}(a-2) $$

Aus der 1. Gruppe lässt sich ${\color{red}3x}$ ausklammern.
Aus der 2. Gruppe lässt sich ${\color{red}4}$ ausklammern.

2. Ausklammern

$$ \underbrace{3x{\color{red}(a-2)}}_{\text{1. Glied}} + \underbrace{4{\color{red}(a-2)}}_{\text{2. Glied}} = {\color{red}(a-2)}(3x+4) $$

${\color{red}(a-2)}$ kommt sowohl im 1. Glied als auch im 2. Glied vor.

Faktorisieren durch binomische Formeln 

1. Binomische Formel

$$ a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 $$

Basen der beiden Quadrate berechnen

Prüfen, ob das mittlere Glied das doppelte Produkt der Basen ist

Quadrat aus der Summe der Basen bilden

$$ \begin{array}{ccccccc} a^2 & + & {\color{green}2ab} & + & b^2 & = & ({\color{red}a}+{\color{red}b})^2 \\ \downarrow&&{\color{green}\downarrow}&&\downarrow&& \\ \text{Quadrat}&&{\color{green}\text{doppeltes Produkt}}&&\text{Quadrat}&& \\ \text{(Basis ${\color{red}a}$)}&&{\color{green}\text{der beiden Basen}}&&\text{(Basis ${\color{red}b}$)}&& \\ &&{\color{green}2 \cdot (a \cdot b)}&&&& \\ {\color{gray}\uparrow}&&{\color{gray}\uparrow}&&{\color{gray}\uparrow}&&{\color{gray}\uparrow} \\ {\color{gray}\text{Schritt 1}}&&{\color{gray}\text{Schritt 2}}&&{\color{gray}\text{Schritt 1}}&&{\color{gray}\text{Schritt 3}} \end{array} $$

Beispiel 6 

Wandle den Term $x^2 + 10x + 25$ in ein Produkt um.

$$ \begin{array}{ccccccc} x^2 & + & {\color{green}10x} & + & 25 & = & ({\color{red}x}+{\color{red}5})^2 \\ \downarrow&&{\color{green}\downarrow}&&\downarrow&& \\ \text{Quadrat}&&{\color{green}\text{doppeltes Produkt}}&&\text{Quadrat}&& \\ \text{(Basis ${\color{red}x}$)}&&{\color{green}\text{der beiden Basen}}&&\text{(Basis ${\color{red}5}$)}&& \\ &&{\color{green}2 \cdot (x \cdot 5) = 10x}&&&& \end{array} $$

Wenn der mittlere Term nicht dem doppelten Produkt der beiden Basen entspricht, kann nicht mithilfe der 1. Binomischen Formel faktorisiert werden.

2. Binomische Formel

$$ a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 $$

Basen der beiden Quadrate berechnen

Prüfen, ob das mittlere Glied das doppelte Produkt der Basen ist

Quadrat aus der Differenz der Basen bilden

$$ \begin{array}{ccccccc} a^2 & - & {\color{green}2ab} & + & b^2 & = & ({\color{red}a}-{\color{red}b})^2 \\ \downarrow&&{\color{green}\downarrow}&&\downarrow&& \\ \text{Quadrat}&&{\color{green}\text{doppeltes Produkt}}&&\text{Quadrat}&& \\ \text{(Basis ${\color{red}a}$)}&&{\color{green}\text{der beiden Basen}}&&\text{(Basis ${\color{red}b}$)}&& \\ &&{\color{green}2 \cdot (a \cdot b)}&&&& \\ {\color{gray}\uparrow}&&{\color{gray}\uparrow}&&{\color{gray}\uparrow}&&{\color{gray}\uparrow} \\ {\color{gray}\text{Schritt 1}}&&{\color{gray}\text{Schritt 2}}&&{\color{gray}\text{Schritt 1}}&&{\color{gray}\text{Schritt 3}} \end{array} $$

Beispiel 7 

Wandle den Term $x^2 - 10x + 25$ in ein Produkt um.

$$ \begin{array}{ccccccc} x^2 & - & {\color{green}10x} & + & 25 & = & ({\color{red}x}-{\color{red}5})^2 \\ \downarrow&&{\color{green}\downarrow}&&\downarrow&& \\ \text{Quadrat}&&{\color{green}\text{doppeltes Produkt}}&&\text{Quadrat}&& \\ \text{(Basis ${\color{red}x}$)}&&{\color{green}\text{der beiden Basen}}&&\text{(Basis ${\color{red}5}$)}&& \\ &&{\color{green}2 \cdot (x \cdot 5) = 10x}&&&& \end{array} $$

Wenn der mittlere Term nicht dem doppelten Produkt der beiden Basen entspricht, kann nicht mithilfe der 2. Binomischen Formel faktorisiert werden.

3. Binomische Formel

$$ a^2 - b^2 = (a+b) \cdot (a-b) $$

Basen der beiden Quadrate berechnen

Produkt aus Summe und Differenz der Basen bilden

$$ \begin{array}{ccccc} a^2 & - & b^2 & = & ({\color{red}a}+{\color{red}b}) \cdot ({\color{red}a}-{\color{red}b}) \\ \downarrow&&\downarrow&& \\ \text{Quadrat}&&\text{Quadrat}&& \\ \text{(Basis ${\color{red}a}$)}&&\text{(Basis ${\color{red}b}$)}&& \\ &&&& \\ {\color{gray}\uparrow}&&{\color{gray}\uparrow}&&{\color{gray}\uparrow} \\ {\color{gray}\text{Schritt 1}}&&{\color{gray}\text{Schritt 1}}&&{\color{gray}\text{Schritt 2}} \end{array} $$

Beispiel 8 

Wandle den Term $x^2 - 25$ in ein Produkt um.

$$ \begin{array}{ccccc} x^2 & - & 25 & = & ({\color{red}x}+{\color{red}5}) \cdot ({\color{red}x}-{\color{red}5}) \\ \downarrow&&\downarrow&& \\ \text{Quadrat}&&\text{Quadrat}&& \\ \text{(Basis ${\color{red}x}$)}&&\text{(Basis ${\color{red}5}$)}&& \end{array} $$

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