Lösung einer Gleichung

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine Lösung einer Gleichung ist.

Benötigtes Vorwissen

Jede Zahl aus der Definitionsmenge, die beim Einsetzen für \(x\) zu einer wahren Aussage führt, heißt Lösung der Gleichung.

Beispiel

Gegeben sei die Gleichung \(x + 1 = 2\) mit der Definitionsmenge \(\mathbb{D} = \mathbb{R}\).

Einsetzen von \(x = 1\) führt zu \(1 + 1 = 2\), also \(2 = 2\), einer wahren Aussage.

Mathematische Sprechweise
- „\(x = 1\) ist eine Lösung der Gleichung.“
- „Für \(x = 1\) ist die Gleichung erfüllt.“

Einsetzen von \(x = 2\) führt zu \(2 + 1 = 2\), also \(3 = 2\), einer falschen Aussage.

Mathematische Sprechweise
- „\(x = 2\) ist keine Lösung der Gleichung.“
- „Für \(x = 2\) ist die Gleichung nicht erfüllt.“

Anmerkung

Wäre die Definitionsmenge der obigen Gleichung \(\mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus\{1\}\) („R ohne 1“), dann ist \(x = 1\) keine Lösung der Gleichung. Es kommen logischerweise nur die Werte als Lösung infrage, die wir auch einsetzen dürfen. Eine Zahl, die nicht zur Definitionsmenge gehört, kann deshalb niemals zur Lösungsmenge gehören.

Ausblick

Eine Gleichung kann keine Lösung, genau eine Lösung, endlich viele Lösungen oder unendlich viele Lösungen haben. Die Lösungen werden in der Lösungsmenge zusammengefasst.

Unser Ziel ist es, die Lösungsmenge zu bestimmen (\(\rightarrow\) Gleichungen lösen).