Logarithmus­gleichungen

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was Logarithmusgleichungen sind und wie man sie löst.

Erforderliches Vorwissen

Definition 

Eine Logarithmusgleichung ist eine Gleichung, in der die Variable im Numerus des Logarithmus steht.

Beispiel 1 

$\log_{2}x = 3$ ist eine Logarithmusgleichung, da $x$ im Numerus steht.

Beispiel 2 

$\log_{x}2 = 3$ ist keine Logarithmusgleichung, da $x$ in der Basis steht.

Logarithmus­gleichungen lösen 

Im Folgenden schauen wir uns drei Verfahren zum Lösen von Logarithmusgleichungen an. Welches Verfahren man einsetzt, richtet sich danach, wie die Gleichung aussieht.

Lösung mithilfe der Definition des Logarithmus 

$$ \log_{b}x = c \quad \Rightarrow \quad x = b^c $$

Eine Lösung mithilfe der Definition des Logarithmus ist nur dann möglich, wenn es gelingt, die Terme auf beiden Seiten der Gleichung so umzuformen, dass sich auf der einen Seite ein Logarithmus und auf der anderen Seite eine Konstante ergeben.

Beispiel 3 

$$ \begin{align*} \log_{2}x &= 3 &&{\color{orange}| \text{ Anwendung der Definition des Logarithmus}} \\[5px] x &= 2^3 &&{\color{gray}| \text{ Potenz ausrechnen}} \\[5px] x &= 8 && \Rightarrow \mathbb{L} = \{8\} \end{align*} $$

Beispiel 4 

$$ \begin{align*} 2 \cdot \log_{4}x &= 2 &&{\color{gray}|\, :2} \\[5px] \log_{4}x &= 1 &&{\color{orange}| \text{ Anwendung der Definition des Logarithmus}} \\[5px] x &= 4^1 &&{\color{gray}| \text{ Potenz ausrechnen}} \\[5px] x &= 4 && \Rightarrow \mathbb{L} = \{4\} \end{align*} $$

Beispiel 5 

$$ \begin{align*} \log_{3}9 + \log_{3}x &= 4 &&{\color{gray}| \text{ Logarithmen zusammenfassen}} \\[5px] \log_{3}9x &= 4 &&{\color{orange}| \text{ Anwendung der Definition des Logarithmus}} \\[5px] 9x &= 3^4 &&{\color{gray}| \text{ Potenz ausrechnen}} \\[5px] 9x &= 81 &&{\color{gray}|\, :9} \\[5px] x &= 9 && \Rightarrow \mathbb{L} = \{9\} \end{align*} $$

Lösung durch Numerivergleich 

$$ \log_{b}r = \log_{b}s \quad \Rightarrow \quad r = s $$

Eine Lösung mittels Numerivergleich ist nur dann möglich, wenn es gelingt, die Terme auf beiden Seiten der Gleichung so umzuformen, dass sich Logarithmen mit gleichen Basen ergeben.

Beispiel 6 

$$ \begin{align*} \log_{5}x &= \log_{5}2 &&{\color{orange}| \text{ Numerivergleich}} \\[5px] x &= 2 && \Rightarrow \mathbb{L} = \{2\} \end{align*} $$

Beispiel 7 

$$ \begin{align*} -\log_{7}x &= \log_{7}16 &&{\color{gray}| \text{ Faktor beseitigen}} \\[5px] \log_{7}x^{-1} &= \log_{7}16 &&{\color{orange}| \text{ Numerivergleich}} \\[5px] x^{-1} &= 16 &&{\color{gray}| \phantom{x}^{-1}} \\[5px] \left(x^{-1}\right)^{-1} &= 16^{-1} \\[5px] x &= \frac{1}{16} && \Rightarrow \mathbb{L} = \left\{\frac{1}{16}\right\} \end{align*} $$

Beispiel 8 

$$ \begin{align*} \log_{3}2 + \log_{3}x &= \log_{3}8 - \log_{3}4 &&{\color{gray}| \text{ Logarithmen zusammenfassen}} \\[5px] \log_{3}(2 \cdot x) &= \log_{3}\left(\frac{8}{4}\right) &&{\color{gray}| \text{ Klammern berechnen}} \\[5px] \log_{3}2x &= \log_{3}2 &&{\color{orange}| \text{ Numerivergleich}} \\[5px] 2x &= 2 &&{\color{gray}|\, :2} \\[5px] x &= 1 && \Rightarrow \mathbb{L} = \{1\} \end{align*} $$

Lösung durch Substitution 

Einige Logarithmusgleichungen lassen sich nur durch Substitution lösen. Unter Substitution versteht man die Einsetzung einer Ersatzvariable.

Substitution

Gleichung lösen

Rücksubstitution

Beispiel 9 

$$ \log_{8}^2 x - 4 \cdot \log_{8} x - 5 = 0 $$

Hinweis: $\log^2 x = \left(\log x \right)^2 = \log x \cdot \log x$

Substitution

$$ \left(\log_{8} x\right)^2 - 4 \cdot \log_{8} x - 5 = 0 $$

$$ {\fcolorbox{red}{}{$\log_{8} x = u$}} \quad {\color{red} \leftarrow \text{Substitution}} $$

$$ u^2 - 4u - 5 = 0 $$

Gleichung lösen

Die Lösungen der quadratischen Gleichung berechnen wir mithilfe der Mitternachtsformel:

$$ \begin{align*} u_{1, 2} &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\[5px] &= \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1} \\[5px] &= \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} \\[5px] &= \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} \\[5px] &= \frac{4 \pm 6}{2} \\[5px] \end{align*} $$

Die Lösungen $u_1$ und $u_2$ sind demnach:

$$ u_1 = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1 $$

$$ u_2 = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5 $$

Rücksubstitution

$$ {\fcolorbox{red}{}{$u = \log_{8} x$}} \quad {\color{red} \leftarrow \text{Rücksubstitution}} $$

Das Einsetzen von $u_1 = -1$ in $u = \log_{8} x$ führt zu

$$ \begin{align*} \log_{8} x &= -1 &&{\color{orange}|\text{ Anwendung der Definition des Logarithmus}} \\[5px] x &= 8^{-1} && \Rightarrow \mathbb{L}_1 = \{8^{-1}\} \end{align*} $$

Das Einsetzen von $u_2 = 5$ in $u = \log_{8} x$ führt zu

$$ \begin{align*} \log_{8} x &= 5 &&{\color{orange}|\text{ Anwendung der Definition des Logarithmus}} \\[5px] x &= 8^{5} && \Rightarrow \mathbb{L}_2 = \{8^{5}\} \end{align*} $$

Die Lösungsmenge der Logarithmusgleichung ist demnach

$$ \mathbb{L} = \mathbb{L}_1 \cup \mathbb{L}_2 = \{8^{-1};8^{5}\} $$

Definitionsmenge einer Logarithmusgleichung 

Da $\log_{b}x = a$ nur für $x > 0$ definiert ist, kann die Definitionsmenge eingeschränkt sein.

In der Praxis bedeutet das, dass wir stets die Probe machen sollten, d. h. überprüfen, ob die berechneten Lösungen eingesetzt in die gegebene Gleichung zu einer wahren Aussage führen.

Beispiel 10 

$$ \begin{align*} 2 \cdot \log_{7}x &= \log_{7}16 &&{\color{gray}|\text{ Faktor beseitigen}} \\[5px] \log_{7}x^2 &= \log_{7}16 &&{\color{orange}|\text{ Numerivergleich}} \\[5px] x^2 &= 16 &&{\color{gray}|\text{ Wurzel ziehen}} \\[5px] x &= \pm \sqrt{16} &&{\color{gray}|\text{ Wurzel berechnen}} \\[5px] x &= \pm 4 \\[5px] \end{align*} $$

Als Lösungen erhalten wir $x_1 = -4$ und $x_2 = +4$.

Da $\log_{b}x = a$ nur für $x > 0$ definiert ist, ist $x_1 = -4$ nur eine Scheinlösung.

Die einzige Lösung der Logarithmusgleichung ist $x_2 = 4$:

$$ \Rightarrow \mathbb{L} = \{4\} $$

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