Logarithmusgleichungen

In diesem Kapitel lernen wir Logarithmusgleichungen kennen.

Notwendiges Vorwissen: Logarithmusgesetze

Eine Logarithmusgleichung ist eine Gleichung,
in der die Variable im Numerus des Logarithmus steht.

Beispiel

\(\log_{2}x = 3\) ist eine Logarithmusgleichung, da \(x\) im Numerus steht.

\(\log_{x}2 = 3\) ist keine Logarithmusgleichung, da \(x\) in der Basis steht.

Logarithmusgleichungen lösen

Im Folgenden schauen wir uns drei Verfahren zum Lösen von Logarithmusgleichungen an.
Welches Verfahren man einsetzt, richtet sich danach, wie die Gleichung aussieht.

a) Lösung mit Hilfe der Definition des Logarithmus

\(\log_{b}x = c \quad \Rightarrow \quad x = b^c\)

Eine Lösung mit Hilfe der Definition des Logarithmus ist nur dann möglich, wenn es gelingt, die Terme auf beiden Seiten der Gleichung so umzuformen, dass sich auf der einen Seite ein Logarithmus und auf der anderen Seite eine Konstante ergeben.

Beispiel 1

\(\begin{align*}
\log_{2}x &= 3 &&{\color{orange}|\text{ Anwendung der Definition des Logarithmus}}\\[5pt]
x &= 2^3 &&{\color{gray}|\text{ Potenz ausrechnen}}\\[5pt]
x &= 8 && \Rightarrow \mathbb{L} = \{8\}
\end{align*}\)

Beispiel 2

\(\begin{align*}
2 \cdot \log_{4}x &= 2 &&{\color{gray}|:2}\\[5pt]
\log_{4}x &= 1 &&{\color{orange}|\text{ Anwendung der Definition des Logarithmus}}\\[5pt]
x &= 4^1 &&{\color{gray}|\text{ Potenz ausrechnen}}\\[5pt]
x &= 4 && \Rightarrow \mathbb{L} = \{4\}
\end{align*}\)

Beispiel 3

\(\begin{align*}
\log_{3}9 + \log_{3}x &= 4 &&{\color{gray}|\text{ Logarithmen zusammenfassen}}\\[5pt]
\log_{3}9x &= 4 &&{\color{orange}|\text{ Anwendung der Definition des Logarithmus}}\\[5pt]
9x &= 3^4 &&{\color{gray}|\text{ Potenz ausrechnen}}\\[5pt]
9x &= 81 &&{\color{gray}|:9}\\[5pt]
x &= 9 && \Rightarrow \mathbb{L} = \{9\}
\end{align*}\)

b) Lösung durch Numerivergleich

\(\log_{b}r = \log_{b}s \quad \Rightarrow \quad r = s\)

Eine Lösung mittels Numerivergleich ist nur dann möglich, wenn es gelingt, die Terme auf beiden Seiten der Gleichung so umzuformen, dass sich Logarithmen mit gleichen Basen ergeben.

Beispiel 1

\(\begin{align*}
\log_{5}x &= \log_{5}2 &&{\color{orange}|\text{ Numerivergleich}}\\[5pt]
x &= 2 && \Rightarrow \mathbb{L} = \{2\}
\end{align*}\)

Beispiel 2

\(\begin{align*}
-\log_{7}x &= \log_{7}16 &&{\color{gray}|\text{ Faktor beseitigen}}\\[5pt]
\log_{7}x^{-1} &= \log_{7}16 &&{\color{orange}|\text{ Numerivergleich}}\\[5pt]
x^{-1} &= 16 &&{\color{gray}|\phantom{x}^{-1}}\\[5pt]
\left(x^{-1}\right)^{-1} &= 16^{-1} \\[5pt]
x &= \frac{1}{16} && \Rightarrow \mathbb{L} = \left\{\frac{1}{16}\right\}
\end{align*}\)

Beispiel 3

\(\begin{align*}
\log_{3}2 + \log_{3}x &= \log_{3}8 - \log_{3}4 &&{\color{gray}|\text{ Logarithmen zusammenfassen}}\\[5pt]
\log_{3}(2 \cdot x) &= \log_{3}\left(\frac{8}{4}\right) &&{\color{gray}|\text{ Klammern berechnen}}\\[5pt]
\log_{3}2x &= \log_{3}2 &&{\color{orange}|\text{ Numerivergleich}}\\[5pt]
2x &= 2 &&{\color{gray}|:2}\\[5pt]
x &= 1 && \Rightarrow \mathbb{L} = \{1\}
\end{align*}\)

c) Lösung durch Substitution

Einige Logarithmusgleichungen lassen sich nur durch Substitution lösen.
Unter „Substitution“ versteht man die Einsetzung einer Ersatzvariablen.

Vorgehensweise

  1. Substitution
  2. Gleichung lösen
  3. Rücksubstitution

Beispiel

\(\log_{8}^2 x - 4 \cdot \log_{8} x - 5 = 0\)

Hinweis: \(\log^2 x = \left(\log x \right)^2 = \log x \cdot \log x\)

1.) Substitution

\(\left(\log_{8} x\right)^2 - 4 \cdot \log_{8} x - 5 = 0\)

\({\fcolorbox{red}{}{\(\log_{8} x = u\)}} \quad {\color{red} \leftarrow \text{Substitution}}\)

\(u^2 - 4u - 5 = 0\)

2.) Gleichung lösen

Die Lösungen der quadratischen Gleichung berechnen wir mit Hilfe der Mitternachtsformel:

\[\begin{align*}
u_{1,2}
&= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\\[5pt]
&= \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1}\\[5pt]
&= \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}\\[5pt]
&= \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2}\\[5pt]
&= \frac{4 \pm 6}{2}\\[5pt]
\end{align*}\]

Die Lösungen \(u_1\) und \(u_2\) sind demnach:

\[u_1 = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1\]

\[u_2 = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5\]

3.) Rücksubstitution

\({\fcolorbox{red}{}{\(u = \log_{8} x\)}} \quad {\color{red} \leftarrow \text{Rücksubstitution}}\)

Das Einsetzen von \(u_1 = -1\) in \(u = \log_{8} x\) führt zu

\(\begin{align*}
\log_{8} x &= -1 &&{\color{orange}|\text{ Anwendung der Definition des Logarithmus}}\\[5pt]
x &= 8^{-1} && \Rightarrow \mathbb{L}_1 = \{8^{-1}\}
\end{align*}\)

Das Einsetzen von \(u_2 = 5\) in \(u = \log_{8} x\) führt zu

\(\begin{align*}
\log_{8} x &= 5 &&{\color{orange}|\text{ Anwendung der Definition des Logarithmus}}\\[5pt]
x &= 8^{5} && \Rightarrow \mathbb{L}_2 = \{8^{5}\}
\end{align*}\)

Die Lösungsmenge der Logarithmusgleichung ist demnach

\(\mathbb{L} = \mathbb{L}_1 \cup \mathbb{L}_2 = \{8^{-1};8^{5}\}\)

Definitionsmenge einer Logarithmusgleichung

Da \(\log_{b}x = a\) nur für \(x > 0\) definiert ist, kann die Definitionsmenge eingeschränkt sein.

In der Praxis bedeutet das, dass wir stets die Probe machen sollten, d. h. überprüfen, ob die berechneten Lösungen eingesetzt in die gegebene Gleichung zu einer wahren Aussage führen.

Beispiel

\(\begin{align*}
2 \cdot \log_{7}x &= \log_{7}16 &&{\color{gray}|\text{ Faktor beseitigen}}\\[5pt]
\log_{7}x^2 &= \log_{7}16 &&{\color{orange}|\text{ Numerivergleich}}\\[5pt]
x^2 &= 16 &&{\color{gray}|\text{ Wurzel ziehen}}\\[5pt]
x &= \pm \sqrt{16} &&{\color{gray}|\text{ Wurzel berechnen}}\\[5pt]
x &= \pm 4\\[5pt]
\end{align*}\)

Als Lösungen erhalten wir \(x_1 = -4\) und \(x_2 = +4\).

Da \(\log_{b}x = a\) nur für \(x > 0\) definiert ist, ist \(x_1 = -4\) nur eine Scheinlösung.

Die einzige Lösung der Logarithmusgleichung ist \(x_2 = 4\):
\(\Rightarrow \mathbb{L} = \{4\}\)

Mehr zum Thema Gleichungen

Im Folgenden findest du eine Übersicht über alle derzeit verfügbaren Artikel zum Thema Gleichungen.

Einleitung  
Gleichungen Was versteht man unter einer Gleichung?
Arten von Gleichungen  
Lineare Gleichungen \(ax + b = 0\)
Quadratische Gleichungen \(ax^2+bx+c=0\)
Kubische Gleichungen \(ax^3+bx^2+cx+d=0\)
Bruchgleichungen  
Gleichungen lösen Lösungsverfahren
Lineare Gleichungen lösen
Quadratische Gleichungen lösen
Kubische Gleichungen lösen
Bruchgleichungen lösen

In einigen Fällen hilft auch der Satz vom Nullprodukt beim Lösen von Gleichungen.

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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