Lineare Gleichungssysteme
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was lineare Gleichungssysteme sind.
Erforderliches Vorwissen
- Was sind lineare Gleichungen?
Definition
Mehrere lineare Gleichungen, die alle zusammen gelten sollen, bilden ein lineares Gleichungssystem.
Die Abkürzung von Lineares Gleichungssystem
ist LGS
.
Lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen
$$ \begin{align*} 3x_1 + 4x_2 &= -1 \\ 2x_1 - 5x_2 &= 3 \end{align*} $$
Lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Variablen
$$ \begin{align*} 3x_1 - 2x_2 + 2x_3 &= 1 \\ -2x_1 + 5x_2 - 6x_3 &= 0 \\ 4x_1 + 3x_2 - 2x_3 &= 3 \end{align*} $$
Lineares Gleichungssystem mit $m$ Gleichungen und $n$ Variablen
$$ \begin{alignat*}{5} a_{11}x_1 & {}+{} & a_{12}x_2 & {}+{} & \dots & {}+{} & a_{1n}x_n & {}={} & b_1 \\ a_{21}x_1 & {}+{} & a_{22}x_2 & {}+{} & \dots & {}+{} & a_{2n}x_n & {}={} & b_2 \\ \vdots\quad & & \vdots\quad & & \vdots\,\, & & \vdots\quad & & \vdots\, \\ a_{m1}x_1 & {}+{} & a_{m2}x_2 & {}+{} & \dots & {}+{} & a_{mn}x_n & {}={} & b_m \\ \end{alignat*} $$
Abkürzende Schreibweisen
Matrizendarstellung
$$ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_ 2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_ 2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} $$
Abkürzung
$$ A \cdot \vec{x} = \vec{b} $$
Symbolverzeichnis
$A$: Koeffizientenmatrix$\vec{x}$: Lösungsvektor$\vec{b}$: Vektor der Absolutglieder
Eine abkürzende Schreibweise von
$$ \begin{align*} 3x_1 - 2x_2 + 2x_3 &= 1 \\ -2x_1 + 5x_2 - 6x_3 &= 0 \\ 4x_1 + 3x_2 - 2x_3 &= 3 \end{align*} $$
ist
$$ \begin{pmatrix} 3 & -2 & 2 \\ -2 & 5 & -6 \\ 4 & 3 &-2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_ 2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} $$
Erweiterte Matrix
$$ \left( \begin{array}{cccc|c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} &b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} &b_2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m \end{array} \right) $$
Abkürzung
$$ (A|\vec{b}) $$
Eine abkürzende Schreibweise von
$$ \begin{align*} 3x_1 - 2x_2 + 2x_3 &= 1 \\ -2x_1 + 5x_2 - 6x_3 &= 0 \\ 4x_1 + 3x_2 - 2x_3 &= 3 \end{align*} $$
ist
$$ \left(\begin{array}{rrr|c} 3 & -2 & 2 & 1 \\ -2 & 5 & -6 & 0 \\ 4 & 3 & -2 & 3 \end{array} \right) $$
Fazit: Die erweiterte Matrix $(A|\vec{b})$ bringt den geringsten Schreibaufwand mit sich.
Spezialfälle
Wenn du diesen Abschnitt aufmerksam liest, solltest du homogene von inhomogenen Gleichungssystemen unterscheiden können und beurteilen können, ob ein Gleichungssystem unterbestimmt, überbestimmt oder quadratisch ist.
Homogen
Ist bei einem linearen Gleichungssystem $A \cdot \vec{x} = \vec{b}$ die rechte Seite gleich Null ($\vec{b} = 0$), so heißt das Gleichungssystem homogen.
$$ \begin{align*} 3x_1 - 2x_2 + 2x_3 &= 0 \\ -2x_1 + 5x_2 - 6x_3 &= 0 \\ 4x_1 + 3x_2 - 2x_3 &= 0 \end{align*} $$
Inhomogen
Ist bei einem linearen Gleichungssystem $A \cdot \vec{x} = \vec{b}$ auch nur ein Element der rechten Seite ungleich Null ($\vec{b} \neq 0$), so heißt das Gleichungssystem inhomogen.
$$ \begin{align*} 3x_1 - 2x_2 + 2x_3 &= 1 \\ -2x_1 + 5x_2 - 6x_3 &= 0 \\ 4x_1 + 3x_2 - 2x_3 &= 3 \end{align*} $$
Quadratisch
Ein Gleichungssystem, das genauso viele Gleichungen wie Variablen besitzt ($m = n$), heißt quadratisch.
$$ \begin{align*} 3x_1 - 2x_2 + 2x_3 &= 1 \\ -2x_1 + 5x_2 - 6x_3 &= 0 \\ 4x_1 + 3x_2 - 2x_3 &= 3 \end{align*} $$
3 Gleichungen = 3 Variablen
Unterbestimmt
Ein Gleichungssystem, das weniger Gleichungen als Variablen besitzt ($m < n$), heißt unterbestimmt.
$$ \begin{align*} 3x_1 - 2x_2 + 2x_3 &= 1 \\ -2x_1 + 5x_2 - 6x_3 &= 0 \end{align*} $$
2 Gleichungen < 3 Variablen
Überbestimmt
Ein Gleichungssystem, das mehr Gleichungen als Variablen besitzt ($m > n$), heißt überbestimmt.
$$ \begin{align*} 3x_1 - 2x_2 + 2x_3 &= 1 \\ -2x_1 + 5x_2 - 6x_3 &= 0 \\ 4x_1 + 3x_2 - 2x_3 &= 3 \\ 6x_1 - 2x_2 + 3x_3 &= 4 \end{align*} $$
4 Gleichungen > 3 Variablen
Lineare Gleichungssysteme lösen
Bei dem Thema Lineare Gleichungssysteme
geht es hauptsächlich darum, diese zu lösen – also herauszufinden, welche Werte wir in die Variablen einsetzen dürfen, damit alle Gleichungen des Gleichungssystems erfüllt sind.
In der Schule lernen wir folgende Lösungsverfahren kennen:
Im Studium kommen weitere Lösungsverfahren hinzu:
- Cramersche Regel (basiert auf der Berechnung von Determinanten)
- Gauß-Algorithmus (basiert auf dem Additionsverfahren)
- Gauß-Jordan-Algorithmus (basiert auf dem Additionsverfahren)
Dabei ist der Gauß-Algorithmus ohne jeden Zweifel das populärste Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme.
