Lineare Gleichungssysteme

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit linearen Gleichungssystemen. Zunächst klären wir, worum es sich dabei handelt und welche Schreibweisen es gibt.

Wiederholung: Lineare Gleichungen

Weißt du noch was eine lineare Gleichung ist? Dabei handelt es sich um eine Gleichung ersten Grades, d.h. die Variable \(x\) kommt in keiner höheren als der ersten Potenz vor.

Allgemeine Form: \(ax + b = 0\)

Beispiel: \(3x - 4 = 0\)

Von einer linearen Gleichung zum Gleichungssystem

Als lineares Gleichungssystem bezeichnet man ein System linearer Gleichungen, die mehrere Unbekannte ("Variablen") enthalten.

Schauen wir uns dazu ein kleines Beispiel an

\(\begin{align*}
3x_1 + 4x_2 &= -1 \\
2x_1 - 5x_2 &= 3
\end{align*}\)

Der Unterschied zwischen einer linearen Gleichung und einem linearen Gleichungssystem ist das Vorhandensein

  • mehrerer Gleichungen
  • mehrerer Unbekannten

Im Zusammenhang mit linearen Gleichungssystemen verwendet auch oft die Abkürzung "LGS".

Schreibweisen

Allgemeine Form

\(\begin{align*}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n  &= b_1 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n  &= b_2 \\
\vdots \qquad \qquad \vdots \qquad \qquad \qquad & \vdots \\
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n  &= b_m
\end{align*}\)

Beispiel

\(\begin{align*} 3x_1 - 2x_2 + 2x_3 &= 1 \\ -2x_1 + 5x_2 - 6x_3 &= 0 \\ 4x_1 + 3x_2 - 2x_3 &= 3 \end{align*}\)

Matrizendarstellung

\(\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots &  & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
x_1 \\ x_ 2 \\ \vdots \\ x_n
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
b_1 \\ b_ 2 \\ \vdots \\ b_n
\end{pmatrix}
\)

Kurz: \(Ax = b\)

Bedeutung:
\(A\): Koeffizientenmatrix
\(x\): Lösungsvektor
\(b\): rechte Seite

 

\(\begin{pmatrix} 3 & -2 & 2\\ -2 & 5 & -6\\ 4 & 3 &-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\ x_ 2 \\ x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 3\end{pmatrix}\)

Erweiterte Matrix \((A|b)\)

\(\left(
\begin{array}{cccc|c}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} &b_1\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} &b_2\\
\vdots & \vdots &  & \vdots &\vdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m
\end{array}\right)\)

 

\(\left(\begin{array}{rrr|c} 3 & -2 & 2 & 1\\ -2 & 5 & -6 & 0\\ 4 & 3 & -2 & 3 \end{array}\right)\)

Dabei bringt die erweiterte Matrix \((A|b)\) den geringsten Schreibaufwand mit sich.

Begrifflichkeiten

Wenn du diesen Abschnitt aufmerksam liest, solltest du homogene von inhomogenen Gleichungssystemen unterscheiden können und beurteilen können, ob ein Gleichungssystem unterbestimmt, überbestimmt oder quadratisch ist.

Homogen oder inhomogen

Ist bei einem linearen Gleichungssystem \(Ax = b\) die rechte Seite gleich Null (\(b = 0\)), so heißt das Gleichungssystem homogen.

Ist bei einem linearen Gleichungssystem \(Ax = b\) auch nur ein Element der rechten Seite ungleich Null (\(b \neq 0\)), so heißt das Gleichungssystem inhomogen.

Unterbestimmt, überbestimmt oder quadratisch

Gleichungssysteme mit \(m\) Gleichungen und \(n\) Unbekannten kann man folgendermaßen kategorisieren

Quadratisches Gleichungssystem [\(m = n\)]

Ein Gleichungssystem,
das genauso viele Gleichungen wie Unbekannte besitzt,
heißt quadratisch.

Beispiel

\(\begin{align*} 3x_1 - 2x_2 + 2x_3 &= 1 \\ -2x_1 + 5x_2 - 6x_3 &= 0 \\ 4x_1 + 3x_2 - 2x_3 &= 3 \\ \end{align*}\)

3 Gleichungen = 3 Unbekannte

Unterbestimmtes Gleichungssystem [\(m < n\)]

Ein Gleichungssystem,
das weniger Gleichungen als Unbekannte besitzt,
heißt unterbestimmt.

 

\(\begin{align*} 3x_1 - 2x_2 + 2x_3 &= 1 \\ -2x_1 + 5x_2 - 6x_3 &= 0 \\ \end{align*}\)

2 Gleichungen < 3 Unbekannte

Überbestimmtes Gleichungssystem [\(m > n\)]

Ein Gleichungssystem,
das mehr Gleichungen als Unbekannte besitzt,
heißt überbestimmt.

 

\(\begin{align*} 3x_1 - 2x_2 + 2x_3 &= 1 \\ -2x_1 + 5x_2 - 6x_3 &= 0 \\ 4x_1 + 3x_2 - 2x_3 &= 3 \\ 6x_1 - 2x_2+ 3x_3 &= 4 \end{align*}\)

4 Gleichungen > 3 Unbekannte

Lineare Gleichungssysteme lösen

Bei dem Thema lineare Gleichungssysteme geht es hauptsächlich darum, diese zu lösen. Dazu bedient man sich sog. Lösungsverfahren, die dir bei der Ermittlung der Lösung helfen sollen. Da die Verfahren teilweise sehr komplex sind, haben wir zu jedem Verfahren einen eigenen Artikel geschrieben.

In der Schule beschäftigt man sich mit folgenden Verfahren

Im Studium kommen einige Lösungsverfahren hinzu

Dabei ist der Gauß-Algorithmus ohne jeden Zweifel das populärste Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme.

Andreas Schneider

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Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider

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