Lineare Gleichungs­systeme

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was lineare Gleichungssysteme sind.

Erforderliches Vorwissen

Definition 

Mehrere lineare Gleichungen, die alle zusammen gelten sollen, bilden ein lineares Gleichungssystem.

Die Abkürzung von Lineares Gleichungssystem ist LGS.

Beispiel 1 

Lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen

$$ \begin{align*} 3x_1 + 4x_2 &= -1 \\ 2x_1 - 5x_2 &= 3 \end{align*} $$

Beispiel 2 

Lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Variablen

$$ \begin{align*} 3x_1 - 2x_2 + 2x_3 &= 1 \\ -2x_1 + 5x_2 - 6x_3 &= 0 \\ 4x_1 + 3x_2 - 2x_3 &= 3 \end{align*} $$

Beispiel 3 

Lineares Gleichungssystem mit $m$ Gleichungen und $n$ Variablen

$$ \begin{alignat*}{5} a_{11}x_1 & {}+{} & a_{12}x_2 & {}+{} & \dots & {}+{} & a_{1n}x_n & {}={} & b_1 \\ a_{21}x_1 & {}+{} & a_{22}x_2 & {}+{} & \dots & {}+{} & a_{2n}x_n & {}={} & b_2 \\ \vdots\quad & & \vdots\quad & & \vdots\,\, & & \vdots\quad & & \vdots\, \\ a_{m1}x_1 & {}+{} & a_{m2}x_2 & {}+{} & \dots & {}+{} & a_{mn}x_n & {}={} & b_m \\ \end{alignat*} $$

Abkürzende Schreibweisen 

Matrizendarstellung

$$ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_ 2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_ 2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} $$

Abkürzung

$$ A \cdot \vec{x} = \vec{b} $$

Symbolverzeichnis

  • $A$: Koeffizientenmatrix
  • $\vec{x}$: Lösungsvektor
  • $\vec{b}$: Vektor der Absolutglieder

Beispiel 4 

Eine abkürzende Schreibweise von

$$ \begin{align*} 3x_1 - 2x_2 + 2x_3 &= 1 \\ -2x_1 + 5x_2 - 6x_3 &= 0 \\ 4x_1 + 3x_2 - 2x_3 &= 3 \end{align*} $$

ist

$$ \begin{pmatrix} 3 & -2 & 2 \\ -2 & 5 & -6 \\ 4 & 3 &-2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_ 2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} $$

Erweiterte Matrix

$$ \left( \begin{array}{cccc|c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} &b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} &b_2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m \end{array} \right) $$

Abkürzung

$$ (A|\vec{b}) $$

Beispiel 5 

Eine abkürzende Schreibweise von

$$ \begin{align*} 3x_1 - 2x_2 + 2x_3 &= 1 \\ -2x_1 + 5x_2 - 6x_3 &= 0 \\ 4x_1 + 3x_2 - 2x_3 &= 3 \end{align*} $$

ist

$$ \left(\begin{array}{rrr|c} 3 & -2 & 2 & 1 \\ -2 & 5 & -6 & 0 \\ 4 & 3 & -2 & 3 \end{array} \right) $$

Fazit: Die erweiterte Matrix $(A|\vec{b})$ bringt den geringsten Schreibaufwand mit sich.

Spezialfälle 

Wenn du diesen Abschnitt aufmerksam liest, solltest du homogene von inhomogenen Gleichungssystemen unterscheiden können und beurteilen können, ob ein Gleichungssystem unterbestimmt, überbestimmt oder quadratisch ist.

Homogen 

Ist bei einem linearen Gleichungssystem $A \cdot \vec{x} = \vec{b}$ die rechte Seite gleich Null ($\vec{b} = 0$), so heißt das Gleichungssystem homogen.

Beispiel 6 

$$ \begin{align*} 3x_1 - 2x_2 + 2x_3 &= 0 \\ -2x_1 + 5x_2 - 6x_3 &= 0 \\ 4x_1 + 3x_2 - 2x_3 &= 0 \end{align*} $$

Inhomogen 

Ist bei einem linearen Gleichungssystem $A \cdot \vec{x} = \vec{b}$ auch nur ein Element der rechten Seite ungleich Null ($\vec{b} \neq 0$), so heißt das Gleichungssystem inhomogen.

Beispiel 7 

$$ \begin{align*} 3x_1 - 2x_2 + 2x_3 &= 1 \\ -2x_1 + 5x_2 - 6x_3 &= 0 \\ 4x_1 + 3x_2 - 2x_3 &= 3 \end{align*} $$

Quadratisch 

Ein Gleichungssystem, das genauso viele Gleichungen wie Variablen besitzt ($m = n$), heißt quadratisch.

Beispiel 8 

$$ \begin{align*} 3x_1 - 2x_2 + 2x_3 &= 1 \\ -2x_1 + 5x_2 - 6x_3 &= 0 \\ 4x_1 + 3x_2 - 2x_3 &= 3 \end{align*} $$

3 Gleichungen = 3 Variablen

Unterbestimmt 

Ein Gleichungssystem, das weniger Gleichungen als Variablen besitzt ($m < n$), heißt unterbestimmt.

Beispiel 9 

$$ \begin{align*} 3x_1 - 2x_2 + 2x_3 &= 1 \\ -2x_1 + 5x_2 - 6x_3 &= 0 \end{align*} $$

2 Gleichungen < 3 Variablen

Überbestimmt 

Ein Gleichungssystem, das mehr Gleichungen als Variablen besitzt ($m > n$), heißt überbestimmt.

Beispiel 10 

$$ \begin{align*} 3x_1 - 2x_2 + 2x_3 &= 1 \\ -2x_1 + 5x_2 - 6x_3 &= 0 \\ 4x_1 + 3x_2 - 2x_3 &= 3 \\ 6x_1 - 2x_2 + 3x_3 &= 4 \end{align*} $$

4 Gleichungen > 3 Variablen

Lineare Gleichungssysteme lösen 

Bei dem Thema Lineare Gleichungssysteme geht es hauptsächlich darum, diese zu lösen – also herauszufinden, welche Werte wir in die Variablen einsetzen dürfen, damit alle Gleichungen des Gleichungssystems erfüllt sind.

In der Schule lernen wir folgende Lösungsverfahren kennen:

Im Studium kommen weitere Lösungsverfahren hinzu:

Dabei ist der Gauß-Algorithmus ohne jeden Zweifel das populärste Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme.

Online-Rechner 

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