Erweiterte Koeffizientenmatrix

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine erweiterte Koeffizientenmatrix ist.

Notwendiges Vorwissen

Kontext

Das Lösen von linearen Gleichungssystemen bedeutet in der Regel eine Menge Schreibarbeit. Um den Schreibaufwand zu minimieren, lernen wir eine vereinfachte Schreibweise kennen.

Schritt 1: Vom linearen Gleichungssystem zur Matrix-Gleichung

Ein lineares Gleichungssystem mit \(m\) Zeilen (Gleichungen) und \(n\) Spalten (Variablen)

\begin{alignat*}{5}
a_{11}x_1 & {}+{} & a_{12}x_2 & {}+{} & \dots & {}+{} & a_{1n}x_n & {}={} & b_1 \\
a_{21}x_1 & {}+{} & a_{22}x_2 & {}+{} & \dots & {}+{} & a_{2n}x_n & {}={} & b_2 \\
\vdots\quad & & \vdots\quad & & \vdots\,\, & & \vdots\quad & & \vdots\, \\
a_{m1}x_1 & {}+{} & a_{m2}x_2 & {}+{} & \dots & {}+{} & a_{mn}x_n & {}={} & b_m \\
\end{alignat*}

kann folgendermaßen als Matrix-Gleichung formuliert werden:

\(
{\color{#ff8000}
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix}
}
\cdot
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_m
\end{pmatrix}
\)

Oder kurz:

\({\color{#ff8000}A} \cdot \vec{x} = \vec{b}\)

Dabei gelten folgende Bezeichnungen:

\(A\): Koeffizientenmatrix
\(\vec{x}\): Lösungsvektor
\(\vec{b}\): Vektor der Absolutglieder

Schritt 2: Von der Matrix-Gleichung zur erweiterten Koeffizientenmatrix

Ob die Variablen \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\) oder \(x\), \(y\) und \(z\) heißen, ist für unsere Rechnung völlig unerheblich. Am einfachsten ist es, wenn wir den Lösungsvektor \(\vec{x}\) ganz weglassen und die Koeffizientenmatrix \(A\) mit dem Vektor der Absolutglieder \(\vec{b}\) zu einer Matrix verschmelzen:

\({\color{#ff8000}
\left(\begin{array}{cccc|c}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2 \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m
\end{array}\right)
}\)

Diese Matrix heißt erweiterte Koeffizientenmatrix \(A|\vec{b}\).

Erweiterte Koeffizientenmatrix - Beispiel 1

Schreibe das folgende lineare Gleichungssystem als erweiterte Koeffizientenmatrix:

\(\begin{alignat*}{4}
4x & {}+{} & 2y & {}={} & 6 \\
-3x & {}+{} & y & {}={} & -12
\end{alignat*}\)

Lösung

\({\color{#ff8000}
\left(\begin{array}{cc|c}
4 & 2 & 6 \\
-3 & 1 & -12
\end{array}\right)
}\)

Erweiterte Koeffizientenmatrix - Beispiel 2

Schreibe das folgende lineare Gleichungssystem als erweiterte Koeffizientenmatrix:

\(\begin{alignat*}{4}
x & {}+{} & y & {}+{} & z & {}={} & 0 \\
x & {}-{} & y & {}-{} & z & {}={} & 1 \\
x & & & {}+{} & z & {}={} & 0
\end{alignat*}\)

Lösung

\({\color{#ff8000}
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 0 \\
1 & -1 & -1 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 0
\end{array}\right)
}\)

Andreas Schneider

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Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider

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