Koeffizientenmatrix
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine Koeffizientenmatrix ist.
Erforderliches Vorwissen
Einordnung
Das Lösen von linearen Gleichungssystemen bedeutet in der Regel eine Menge Schreibarbeit. Um den Schreibaufwand zu reduzieren, lernen wir eine abkürzende Schreibweise kennen.
Definition
Ein lineares Gleichungssystem mit $m$ Gleichungen (Zeilen) und $n$ Variablen (Spalten)
$$ \begin{alignat*}{5} a_{11}x_1 & {}+{} & a_{12}x_2 & {}+{} & \dots & {}+{} & a_{1n}x_n & {}={} & b_1 \\ a_{21}x_1 & {}+{} & a_{22}x_2 & {}+{} & \dots & {}+{} & a_{2n}x_n & {}={} & b_2 \\ \vdots\quad & & \vdots\quad & & \vdots\,\, & & \vdots\quad & & \vdots\, \\ a_{m1}x_1 & {}+{} & a_{m2}x_2 & {}+{} & \dots & {}+{} & a_{mn}x_n & {}={} & b_m \\ \end{alignat*} $$
kann folgendermaßen als Matrix-Gleichung formuliert werden:
$$ {\color{#ff8000} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} } \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix} $$
Abkürzung
$$ {\color{#ff8000}A} \cdot \vec{x} = \vec{b} $$
Symbolverzeichnis
$A$: Koeffizientenmatrix$\vec{x}$: Lösungsvektor$\vec{b}$: Vektor der Absolutglieder
Beispiele
Schreibe das lineare Gleichungssystem
$$ \begin{alignat*}{4} 4x & {}+{} & 2y & {}={} & 6 \\ -3x & {}+{} & y & {}={} & -12 \end{alignat*} $$
als Matrix-Gleichung.
$$ {\color{#ff8000} \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} } \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -12 \end{pmatrix} $$
Schreibe das lineare Gleichungssystem
$$ \begin{alignat*}{4} x & {}+{} & y & {}+{} & z & {}={} & 0 \\ x & {}-{} & y & {}-{} & z & {}={} & 1 \\ x & & & {}+{} & z & {}={} & 0 \end{alignat*} $$
als Matrix-Gleichung.
$$ {\color{#ff8000} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} } \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} $$
Erweiterte Koeffizientenmatrix
Ob die Variablen $x_1$, $x_2$ und $x_3$ oder $x$, $y$ und $z$ heißen, ist für unsere Rechnung völlig unerheblich. Wir können den Lösungsvektor $\vec{x}$ deshalb weglassen und die Koeffizientenmatrix $A$ mit dem Vektor der Absolutglieder $\vec{b}$ zur sog. erweiterten Koeffizientenmatrix $(A|\vec{b})$ verschmelzen.
