Koeffizientenmatrix

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine Koeffizientenmatrix ist.

Notwendiges Vorwissen

Kontext

Das Lösen von linearen Gleichungssystemen bedeutet in der Regel eine Menge Schreibarbeit. Um den Schreibaufwand zu minimieren, lernen wir eine vereinfachte Schreibweise kennen.

Vom linearen Gleichungssystem zur Matrix-Gleichung

Ein lineares Gleichungssystem mit \(m\) Zeilen (Gleichungen) und \(n\) Spalten (Variablen)

\begin{alignat*}{5}
a_{11}x_1 & {}+{} & a_{12}x_2 & {}+{} & \dots & {}+{} & a_{1n}x_n & {}={} & b_1 \\
a_{21}x_1 & {}+{} & a_{22}x_2 & {}+{} & \dots & {}+{} & a_{2n}x_n & {}={} & b_2 \\
\vdots\quad & & \vdots\quad & & \vdots\,\, & & \vdots\quad & & \vdots\, \\
a_{m1}x_1 & {}+{} & a_{m2}x_2 & {}+{} & \dots & {}+{} & a_{mn}x_n & {}={} & b_m \\
\end{alignat*}

kann folgendermaßen als Matrix-Gleichung formuliert werden:

\(
{\color{#ff8000}
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix}
}
\cdot
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_m
\end{pmatrix}
\)

Oder kurz:

\({\color{#ff8000}A} \cdot \vec{x} = \vec{b}\)

Dabei gelten folgende Bezeichnungen:

\(A\): Koeffizientenmatrix
\(\vec{x}\): Lösungsvektor
\(\vec{b}\): Vektor der Absolutglieder

Koeffizientenmatrix - Beispiel 1

Schreibe das folgende lineare Gleichungssystem als Matrix-Gleichung:

\(\begin{alignat*}{4}
4x & {}+{} & 2y & {}={} & 6 \\
-3x & {}+{} & y & {}={} & -12
\end{alignat*}\)

Lösung

\(
{\color{#ff8000}
\begin{pmatrix}
4 & 2 \\
-3 & 1
\end{pmatrix}
}
\cdot
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
6 \\
-12
\end{pmatrix}
\)

Koeffizientenmatrix - Beispiel 2

Schreibe das folgende lineare Gleichungssystem als Matrix-Gleichung:

\(\begin{alignat*}{4}
x & {}+{} & y & {}+{} & z & {}={} & 0 \\
x & {}-{} & y & {}-{} & z & {}={} & 1 \\
x & & & {}+{} & z & {}={} & 0
\end{alignat*}\)

Lösung

\(
{\color{#ff8000}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & -1 & -1 \\
1 & 0 & 1
\end{pmatrix}
}
\cdot
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
\)

...und es geht noch einfacher!

Ob die Variablen \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\) oder \(x\), \(y\) und \(z\) heißen, ist für unsere Rechnung völlig unerheblich. Wir können den Lösungsvektor \(\vec{x}\) also weglassen und die Koeffizientenmatrix \(A\) mit dem Vektor der Absolutglieder \(\vec{b}\) zu der sog. erweiterten Koeffizientenmatrix \(A|\vec{b}\) verschmelzen.

Andreas Schneider

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Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider

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