Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme

In diesem Kapitel sprechen wir über die Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme.

Zum Verständnis dieses Themas ist es erforderlich, dass du bereits weißt, was der Rang einer Matrix ist und wie man ihn berechnet. Darüber hinaus solltest du dich natürlich mit linearen Gleichungssystemen auskennen.

Gegeben ist ein lineares Gleichungssystem

\(\begin{align*}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 & = b_1\\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 & = b_2\\
a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 & = b_3
\end{align*}\)

In Matrixschreibweise lautet das Gleichungssystem

\(\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}\)

oder vereinfacht

\(Ax = b\)

Im Folgenden wird ausschließlich die erweiterte Koeffizientenmatrix \((A|b)\) betrachtet

\(\left(
\begin{array}{ccc|c}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & b_1 \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & b_2 \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & b_3
\end{array}
\right)\)

Von dieser erweiterten Koeffizientenmatrix muss man nun den Rang berechnen, um herauszufinden, ob das lineare Gleichungssystem eine eindeutige, unendliche viele oder keine Lösung besitzt.

Die folgende Übersicht zeigt alle möglichen Lösungsfälle.

Lösungsfälle des linearen Gleichungssystems
Bedingung

1. Eindeutige Lösung

Es gibt eine eindeutige Lösung, wenn der Rang der (erweiterten) Koeffizientenmatrix der Anzahl der Unbekannten \(n\) entspricht.

Anmerkung: Dies ist genau dann der Fall, wenn alle Gleichungen linear unabhängig sind.

\(\text{rang}(A) = \text{rang}(A|b) = n\)

2. Unendlich viele Lösungen

Es gibt unendlich viele Lösungen, wenn der Rang der (erweiterten) Koeffizientenmatrix kleiner ist als die Anzahl der Unbekannten \(n\).

\(\text{rang}(A) = \text{rang}(A|b) < n\)

3. Keine Lösung

Es gibt keine Lösung, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix \(A\) nicht dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix \((A|B)\) entspricht.

\(\text{rang}(A) \neq \text{rang}(A|b)\)

Beispiele

Wir stellen uns vor, dass wir drei lineare Gleichungssysteme vor uns haben, die wir auf Lösbarkeit überprüfen wollen. Wir berechnen jeweils den Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix und erhalten folgende Ergebnisse:

\(A = \left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 3 & 1 \\
0 & 5& 6 & 2\\
0 & 0 & 9 & 3
\end{array}
\right)\); \(B = \left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 3 & 1 \\
0 & 5& 6 & 2\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right)\); \(C = \left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 3 & 1 \\
0 & 5& 6 & 2\\
0 & 0 & 0 & 3
\end{array}
\right);\)

Kannst du diese drei Ergebnisse den Lösungsfällen (eindeutige Lösung, unendlich viele Lösungen und keine Lösung) zuordnen?

1. Eindeutige Lösung

\(A = \left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 3 & 1 \\
0 & 5& 6 & 2\\
{\color{red}0}&{\color{red}0}& 9 & 3
\end{array}
\right)\)

Begründung: Die Koeffizientenmatrix sowie die erweiterte Koeffizientenmatrix haben jeweils den Rang 3. Außerdem entspricht der Rang der (erweiterten) Koeffizientenmatrix der Anzahl der Unbekannten. Zur Lösbarkeit des linearen Gleichungssystems kann man deshalb sagen: Es gibt eine eindeutige Lösung.

2. Unendlich viele Lösungen

\(B = \left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 3 & 1 \\
0 & 5& 6 & 2\\
{\color{red}0}&{\color{red}0}&{\color{red}0}&{\color{red}0}
\end{array}
\right)\)

Begründung: Die Koeffizientenmatrix sowie die erweiterte Koeffizientenmatrix haben jeweils den Rang 2. Der Rang der (erweiterten) Koeffizientenmatrix (2) entspricht jedoch nicht der Anzahl der Unbekannten (3). Zur Lösbarkeit des linearen Gleichungssystems kann man deshalb sagen: Es gibt unendlich viele Lösungen.

3. Keine Lösung

\(C = \left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 3 & 1 \\
0 & 5& 6 & 2\\
{\color{red}0}&{\color{red}0}&{\color{red}0}& 3
\end{array}
\right)\)

Begründung: Die Koeffizientenmatrix besitzt den Rang 2, wohingegen die erweiterte Koeffizientenmatrix den Rang 3 besitzt. Zur Lösbarkeit des linearen Gleichungssystems kann man deshalb sagen: Es gibt keine Lösung.

Andreas Schneider

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Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider

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