Einsetzungsverfahren

Einsetzungsverfahren - Beispiel

\(\begin{align*}
2x + 3y &= 14 \\
x + 2y &= 8
\end{align*}\)

1.) Eine Gleichung nach einer Variablen auflösen

Wir entscheiden uns dafür, die 2. Zeile nach \(x\) aufzulösen, da wir dafür nur \(2y\) subtrahieren müssen.

\(x + 2y = 8 \qquad |{\color{red}-2y}\)

\(x + 2y {\color{red}\: - \: 2y} = 8 {\color{red}\: - \: 2y}\)

\(x = {\colorbox{yellow}{\(8 - 2y\)}}\)

2.) Den Term für diese Variable in die andere Gleichung einsetzen

Wir setzen \(x = {\colorbox{yellow}{\(8 - 2y\)}}\) in die 1. Zeile

\(2x + 3y = 14\)

ein und erhalten

\(2 \cdot ({\colorbox{yellow}{\(8 - 2y\)}}) + 3y = 14\)

3.) Gleichung nach der enthaltenen Variablen auflösen

Wir lösen die Gleichung nach \(y\) auf

\(2 \cdot (8 - 2y) + 3y = 14\)

\(16 - 4y + 3y = 14\)

\(16 - y = 14 \qquad |{\color{red}-16}\)

\(16 {\color{red}\: - \: 16} - y = 14 {\color{red}\: - \: 16}\)

\(-y = -2 \qquad |{\color{orange}\cdot (-1)}\)

\(-y {\color{orange}\: \cdot \: (-1)} = -2 {\color{orange} \: \cdot \: (-1)}\)

\({\fcolorbox{Red}{}{\(y = 2\)}}\)

4.) Die Lösung in die umgeformte Gleichung aus Schritt 1 einsetzen und so die andere Variable berechnen

Die im 1. Schritt berechnete Gleichung lautete

\({\colorbox{yellow}{\(x = 8 - 2y\)}}\)

In diese Gleichung setzten wir die eben berechnete Variable (\(y = 2\)) ein

\(x = 8 - 2 \cdot 2\)

\({\fcolorbox{Red}{}{\(x = 4\)}}\)

Damit haben wir mit Hilfe des Einsetzungsverfahrens ein Gleichungssystem berechnet.
Die Lösungen des Gleichungssystems sind \(x = 4\) und \(y = 2\).

Einsetzungsverfahren: Mögliche Lösungen

Aus dem Artikel "Lineare Gleichungssysteme lösen" wissen wir, dass für ein lineares Gleichungssystem drei Lösungen denkbar sind. Jeder dieser Fälle wird im Folgenden anhand des Einsetzungsverfahrens ausführlich dargestellt.

1. Eindeutige Lösung

Gegeben ist das Gleichungssystem

\(\begin{align*}
2x + y &= 4 \\
3x + 2y &= 5
\end{align*}\)

Im ersten Schritt lösen wir die 1. Zeile nach \(y\) auf, da wir dafür nur \(2x\) subtrahieren müssen.

\(2x + y = 4 \qquad |-2x\)

Auf diese Weise erhalten wir

\(y = {\colorbox{yellow}{\(4 - 2x\)}}\)

Im nächsten Schritt setzen wir \(y = {\colorbox{yellow}{\(4 - 2x\)}}\) in die 2. Zeile

\(3x + 2y = 5\)

ein und erhalten

\(3x + 2 ({\colorbox{yellow}{\(4 - 2x\)}}) = 5\)

Jetzt lösen wir die Gleichung nach \(x\) auf.

\(3x + 2 (4 - 2x) = 5\)

\(3x + 8 - 4x = 5\)

\(-x + 8 = 5 \qquad |-8\)

\(-x = -3 \qquad |\cdot (-1)\)

\({\fcolorbox{Red}{}{\(x = 3\)}}\)

Nachdem wir für die Unbekannte \(x\) eine Lösung berechnet haben, ist nun die Unbekannte \(y\) an der Reihe. Dazu setzen wir den eben berechneten \(x\)-Wert in die umgeformte Gleichung aus dem ersten Schritt ein.

\({\colorbox{yellow}{\(y = 4 - 2x\)}}\) mit \(x = 3\) ergibt

\(y = 4 - 2 \cdot 3\)

\({\fcolorbox{Red}{}{\(y = -2\)}}\)

Die Lösung des Gleichungssystems lautet:
\(x = 3\) und \(y = -2\)

Es handelt sich um eine eindeutige Lösung.

2. Unendlich viele Lösungen

Gegeben ist das Gleichungssystem

\(\begin{align*}
9x + 6y &= 15 \\
3x + 2y &= 5
\end{align*}\)

Im ersten Schritt lösen wir die 2. Zeile nach \(y\) auf.

\(3x + 2y = 5 \qquad |-3x\)

\(2y = 5 - 3x \qquad |:2\)

Auf diese Weise erhalten wir

\(y = {\colorbox{yellow}{\(2,5 - 1,5x\)}}\)

Im nächsten Schritt setzen wir \(y = {\colorbox{yellow}{\(2,5 - 1,5x\)}}\) in die 1. Zeile

\(9x + 6y = 15\)

ein und erhalten

\(9x + 6 \cdot ({\colorbox{yellow}{\(2,5 - 1,5x\)}}) = 15\)

\(9x + 15 - 9x = 15\)

\({\fcolorbox{Red}{}{\(15 = 15\)}}\)

An dieser Stelle können wir nicht mehr weiterrechnen.
...aber was bedeutet diese Gleichung?

Es handelt sich um eine allgemeingültige Aussage.
Das bedeutet, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt.

3. Keine Lösung

Gegeben ist das Gleichungssystem

\(\begin{align*}
6x + 4y &= 8 \\
3x + 2y &= 5
\end{align*}\)

Im ersten Schritt lösen wir die 2. Zeile nach \(y\) auf.

\(3x + 2y = 5 \qquad |-3x\)

\(2y = 5 - 3x \qquad |:2\)

Auf diese Weise erhalten wir

\(y = {\colorbox{yellow}{\(2,5 - 1,5x\)}}\)

Im nächsten Schritt setzen wir \(y = {\colorbox{yellow}{\(2,5 - 1,5x\)}}\) in die 1. Zeile

\(6x + 4y = 8\)

ein und erhalten

\(6x + 4 \cdot ({\colorbox{yellow}{\(2,5 - 1,5x\)}}) = 8 \)

\(6x + 10 - 6x = 8 \)

\({\fcolorbox{Red}{}{\(10 = 8\)}}\)

An dieser Stelle können wir nicht mehr weiterrechnen.
...aber was bedeutet diese Gleichung?

Es handelt sich um eine falsche Aussage.
Das bedeutet, dass das Gleichungssystem keine Lösung besitzt.

Übrigens können wir neben dem Einsetzungsverfahren auch das Additionsverfahren oder das Gleichsetzungsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme einsetzen.