Einsetzungsverfahren
In diesem Kapitel schauen wir uns das Einsetzungsverfahren an.
Voraussetzung
Du solltest dich bereits mit linearen Gleichungssystemen und linearen Gleichungen auskennen.
Wozu dient das Einsetzungsverfahren?
Das Einsetzungsverfahren ist ein Verfahren
zum Lösen von Gleichungssystemen.
Wie geht man bei dem Einsetzungsverfahren vor?
Vorgehensweise
- Eine Gleichung nach einer Variablen auflösen
- Den Term für diese Variable in die andere Gleichung einsetzen
- Gleichung nach der enthaltenen Variablen auflösen
- Die Lösung in die umgeformte Gleichung aus Schritt 1 einsetzen
und so die andere Variable berechnen
Der Einfachheit halber beschränken wir uns im Folgenden auf lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten.
Einsetzungsverfahren - Beispiel
\(\begin{align*}
2x + 3y &= 14 \\
x + 2y &= 8
\end{align*}\)
1.) Eine Gleichung nach einer Variablen auflösen
Wir entscheiden uns dafür, die 2. Zeile nach \(x\) aufzulösen, da wir dafür nur \(2y\) subtrahieren müssen.
\(x + 2y = 8 \qquad |{\color{red}-2y}\)
\(x + 2y {\color{red}\: - \: 2y} = 8 {\color{red}\: - \: 2y}\)
\(x = {\colorbox{yellow}{\(8 - 2y\)}}\)
2.) Den Term für diese Variable in die andere Gleichung einsetzen
Wir setzen \(x = {\colorbox{yellow}{\(8 - 2y\)}}\) in die 1. Zeile
\(2x + 3y = 14\)
ein und erhalten
\(2 \cdot ({\colorbox{yellow}{\(8 - 2y\)}}) + 3y = 14\)
3.) Gleichung nach der enthaltenen Variablen auflösen
Wir lösen die Gleichung nach \(y\) auf
\(2 \cdot (8 - 2y) + 3y = 14\)
\(16 - 4y + 3y = 14\)
\(16 - y = 14 \qquad |{\color{red}-16}\)
\(16 {\color{red}\: - \: 16} - y = 14 {\color{red}\: - \: 16}\)
\(-y = -2 \qquad |{\color{orange}\cdot (-1)}\)
\(-y {\color{orange}\: \cdot \: (-1)} = -2 {\color{orange} \: \cdot \: (-1)}\)
\({\fcolorbox{Red}{}{\(y = 2\)}}\)
4.) Die Lösung in die umgeformte Gleichung aus Schritt 1 einsetzen und so die andere Variable berechnen
Die im 1. Schritt berechnete Gleichung lautete
\({\colorbox{yellow}{\(x = 8 - 2y\)}}\)
In diese Gleichung setzten wir die eben berechnete Variable (\(y = 2\)) ein
\(x = 8 - 2 \cdot 2\)
\({\fcolorbox{Red}{}{\(x = 4\)}}\)
Damit haben wir mit Hilfe des Einsetzungsverfahrens ein Gleichungssystem berechnet.
Die Lösungen des Gleichungssystems sind \(x = 4\) und \(y = 2\).
Einsetzungsverfahren: Mögliche Lösungen
Aus dem Artikel "Lineare Gleichungssysteme lösen" wissen wir, dass für ein lineares Gleichungssystem drei Lösungen denkbar sind. Jeder dieser Fälle wird im Folgenden anhand des Einsetzungsverfahrens ausführlich dargestellt.
1. Eindeutige Lösung
Gegeben ist das Gleichungssystem
\(\begin{align*}
2x + y &= 4 \\
3x + 2y &= 5
\end{align*}\)
Im ersten Schritt lösen wir die 1. Zeile nach \(y\) auf, da wir dafür nur \(2x\) subtrahieren müssen.
\(2x + y = 4 \qquad |-2x\)
Auf diese Weise erhalten wir
\(y = {\colorbox{yellow}{\(4 - 2x\)}}\)
Im nächsten Schritt setzen wir \(y = {\colorbox{yellow}{\(4 - 2x\)}}\) in die 2. Zeile
\(3x + 2y = 5\)
ein und erhalten
\(3x + 2 ({\colorbox{yellow}{\(4 - 2x\)}}) = 5\)
Jetzt lösen wir die Gleichung nach \(x\) auf.
\(3x + 2 (4 - 2x) = 5\)
\(3x + 8 - 4x = 5\)
\(-x + 8 = 5 \qquad |-8\)
\(-x = -3 \qquad |\cdot (-1)\)
\({\fcolorbox{Red}{}{\(x = 3\)}}\)
Nachdem wir für die Unbekannte \(x\) eine Lösung berechnet haben, ist nun die Unbekannte \(y\) an der Reihe. Dazu setzen wir den eben berechneten \(x\)-Wert in die umgeformte Gleichung aus dem ersten Schritt ein.
\({\colorbox{yellow}{\(y = 4 - 2x\)}}\) mit \(x = 3\) ergibt
\(y = 4 - 2 \cdot 3\)
\({\fcolorbox{Red}{}{\(y = -2\)}}\)
Die Lösung des Gleichungssystems lautet:
\(x = 3\) und \(y = -2\)
Es handelt sich um eine eindeutige Lösung.
2. Unendlich viele Lösungen
Gegeben ist das Gleichungssystem
\(\begin{align*}
9x + 6y &= 15 \\
3x + 2y &= 5
\end{align*}\)
Im ersten Schritt lösen wir die 2. Zeile nach \(y\) auf.
\(3x + 2y = 5 \qquad |-3x\)
\(2y = 5 - 3x \qquad |:2\)
Auf diese Weise erhalten wir
\(y = {\colorbox{yellow}{\(2,5 - 1,5x\)}}\)
Im nächsten Schritt setzen wir \(y = {\colorbox{yellow}{\(2,5 - 1,5x\)}}\) in die 1. Zeile
\(9x + 6y = 15\)
ein und erhalten
\(9x + 6 \cdot ({\colorbox{yellow}{\(2,5 - 1,5x\)}}) = 15\)
\(9x + 15 - 9x = 15\)
\({\fcolorbox{Red}{}{\(15 = 15\)}}\)
An dieser Stelle können wir nicht mehr weiterrechnen.
...aber was bedeutet diese Gleichung?
Es handelt sich um eine allgemeingültige Aussage.
Das bedeutet, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt.
3. Keine Lösung
Gegeben ist das Gleichungssystem
\(\begin{align*}
6x + 4y &= 8 \\
3x + 2y &= 5
\end{align*}\)
Im ersten Schritt lösen wir die 2. Zeile nach \(y\) auf.
\(3x + 2y = 5 \qquad |-3x\)
\(2y = 5 - 3x \qquad |:2\)
Auf diese Weise erhalten wir
\(y = {\colorbox{yellow}{\(2,5 - 1,5x\)}}\)
Im nächsten Schritt setzen wir \(y = {\colorbox{yellow}{\(2,5 - 1,5x\)}}\) in die 1. Zeile
\(6x + 4y = 8\)
ein und erhalten
\(6x + 4 \cdot ({\colorbox{yellow}{\(2,5 - 1,5x\)}}) = 8 \)
\(6x + 10 - 6x = 8 \)
\({\fcolorbox{Red}{}{\(10 = 8\)}}\)
An dieser Stelle können wir nicht mehr weiterrechnen.
...aber was bedeutet diese Gleichung?
Es handelt sich um eine falsche Aussage.
Das bedeutet, dass das Gleichungssystem keine Lösung besitzt.
Übrigens können wir neben dem Einsetzungsverfahren auch das Additionsverfahren oder das Gleichsetzungsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme einsetzen.
Lineare Gleichungssysteme lösen
In der Mathematik gibt es einige Verfahren, um lineare Gleichungssysteme zu lösen.
Die folgende Tabelle bietet eine kleine Übersicht über dieses Themenfeld
Verfahren | Niveau |
Additionsverfahren | Unterstufe/Mittelstufe |
Einsetzungsverfahren | Unterstufe/Mittelstufe |
Gleichsetzungsverfahren | Unterstufe/Mittelstufe |
Cramersche Regel | Oberstufe/Studium |
Gauß-Algorithmus | Oberstufe/Studium |
Gauß-Jordan-Algorithmus | Oberstufe/Studium |
Lob, Kritik, Anregungen? Schreib mir!

Mein Name ist Andreas Schneider und ich betreibe seit 2013 hauptberuflich die kostenlose und mehrfach ausgezeichnete Mathe-Lernplattform www.mathebibel.de. Jeden Monat werden meine Erklärungen von bis zu 1 Million Schülern, Studenten, Eltern und Lehrern aufgerufen. Nahezu täglich veröffentliche ich neue Inhalte. Abonniere jetzt meinen Newsletter und erhalte 3 meiner 46 eBooks gratis!
PS: Schon die aktuelle Folge meiner #MatheAmMontag-Reihe gesehen?
Jetzt Mathebibel TV abonnieren und keine Folge mehr verpassen!