Gleichsetzungsverfahren
In diesem Kapitel schauen wir uns das Gleichsetzungsverfahren an.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist ein lineares Gleichungssystem?
- Wie löst man lineare Gleichungen?
Einordnung
Das Gleichsetzungsverfahren ist ein Verfahren zum Lösen von linearen Gleichungssystemen.
Anleitung
Gleichungen nach der gleichen Variable auflösen
Gleichungen gleichsetzen
Gleichung nach der enthaltenen Variable auflösen
Berechneten Wert in eine der umgeformten Gleichungen aus Schritt 1 einsetzen und zweiten Wert berechnen
Lösungsmenge aufschreiben
Im Folgenden beschränken wir uns der Einfachheit halber auf lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen.
Beispiele
Eine Lösung
Löse das lineare Gleichungssystem
$$ \begin{align*} 2x + 3y &= 14 \\ x + 2y &= 8 \end{align*} $$
mithilfe des Gleichsetzungsverfahrens.
Gleichungen nach der gleichen Variable auflösen
Wir entscheiden uns dafür, die Gleichungen nach $x$ aufzulösen.
1. Gleichung
$$ 2x + 3y = 14 \qquad |\, {\color{red}-3y} $$
$$ 2x + 3y {\color{red}\: - \: 3y} = 14 {\color{red}\: - \: 3y} $$
$$ 2x = 14 - 3y \qquad |\, :{\color{orange}2} $$
$$ \frac{2x}{{\color{orange}2}} = \frac{14 - 3y}{{\color{orange}2}} $$
$$ {\colorbox{yellow}{$x = 7 - 1{,}5y$}} $$
2. Gleichung
$$ x + 2y = 8 \qquad |\, {\color{red}-2y} $$
$$ x + 2y {\color{red}\: - \: 2y} = 8 {\color{red}\: - \: 2y} $$
$$ {\colorbox{orange}{$x = 8 - 2y$}} $$
Gleichungen gleichsetzen
Es gilt
$$ {\colorbox{yellow}{$x$}} = {\colorbox{orange}{$x$}} $$
bzw.
$$ {\colorbox{yellow}{$7 - 1{,}5y$}} = {\colorbox{orange}{$8 - 2y$}} $$
Gleichung nach der enthaltenen Variable auflösen
Wir lösen die Gleichung nach $y$ auf
$$ 7 - 1{,}5y = 8 - 2y \qquad |\, {\color{red}+2y} $$
$$ 7 - 1{,}5y {\color{red} \: + \: 2y} = 8 - 2y {\color{red}\: + \: 2y} $$
$$ 7 + 0{,}5y = 8 \qquad |\, {\color{orange}-7} $$
$$ 7 {\color{orange} \: - \: 7} + 0{,}5y = 8 {\color{orange}\: - \: 7} $$
$$ 0{,}5y = 1 \qquad |\, :{\color{red}0{,}5} $$
$$ \frac{0{,}5y}{{\color{red}0{,}5}} = \frac{1}{{\color{red}0{,}5}} $$
$$ {\fcolorbox{Red}{}{$y = 2$}} $$
Berechneten Wert in eine der umgeformten Gleichungen aus Schritt 1 einsetzen und zweiten Wert berechnen
Wenn wir $y = 2$ entweder in die Gleichung
$$ {\colorbox{yellow}{$x = 7 - 1{,}5y$}} $$
oder in die Gleichung
$$ {\colorbox{orange}{$x = 8 - 2y$}} $$
einsetzen, so erhalten wir den zweiten Wert
$$ {\fcolorbox{Red}{}{$x = 4$}} $$
Lösungsmenge aufschreiben
$$ \mathbb{L} = \{(4|2)\} $$
Anmerkung
$(4|2)$ ist ein Tupel, wobei zuerst der $x$-Wert und dann der $y$-Wert genannt wird.
Löse das lineare Gleichungssystem
$$ \begin{align*} 2x + y &= 4 \\ 3x + 2y &= 5 \end{align*} $$
mithilfe des Gleichsetzungsverfahrens.
Gleichungen nach der gleichen Variable auflösen
Wir entscheiden uns dafür, die Gleichungen nach $y$ aufzulösen.
1. Gleichung
$$ 2x + y = 4 \qquad |\, -2x $$
$$ {\colorbox{yellow}{$y = 4 - 2x$}} $$
2. Gleichung
$$ 3x + 2y = 5 \qquad |\, -3x $$
$$ 2y = 5 - 3x \qquad |\, :2 $$
$$ {\colorbox{orange}{$y = 2{,}5 - 1{,}5x$}} $$
Gleichungen gleichsetzen
$$ {\colorbox{yellow}{$4 - 2x$}} = {\colorbox{orange}{$2{,}5 - 1{,}5x$}} $$
Gleichung nach der enthaltenen Variable auflösen
$$ 4 - 2x = 2{,}5 - 1{,}5x \qquad |\, +1{,}5x $$
$$ 4 - 0{,}5x = 2{,}5 \qquad |\, -4 $$
$$ -0{,}5x = -1{,}5 \qquad |\, :0{,}5 $$
$$ {\fcolorbox{Red}{}{$x = 3$}} $$
Berechneten Wert in eine der umgeformten Gleichungen aus Schritt 1 einsetzen und zweiten Wert berechnen
Durch Einsetzen von $x = 3$ in
$$ {\colorbox{yellow}{$y = 4 - 2x$}} $$
oder
$$ {\colorbox{orange}{$y = \frac{1}{2}(5 - 3x)$}} $$
erhalten wir
$$ {\fcolorbox{Red}{}{$y = -2$}} $$
Lösungsmenge aufschreiben
$$ \mathbb{L} = \{(3|{-2})\} $$
Keine Lösung
Löse das lineare Gleichungssystem
$$ \begin{align*} 6x + 4y &= 8 \\ 3x + 2y &= 5 \end{align*} $$
mithilfe des Gleichsetzungsverfahrens.
Gleichungen nach der gleichen Variable auflösen
Wir entscheiden uns dafür, die Gleichungen nach $y$ aufzulösen.
1. Gleichung
$$ 6x + 4y = 8 \qquad |\, -6x $$
$$ 4y = 8 - 6x \qquad |\, :4 $$
$$ {\colorbox{yellow}{$y = 2 - 1{,}5x$}} $$
2. Gleichung
$$ 3x + 2y = 5 \qquad |\, -3x $$
$$ 2y = 5 - 3x \qquad |\, :2 $$
$$ {\colorbox{orange}{$y = 2{,}5 - 1{,}5x$}} $$
Gleichungen gleichsetzen
$$ {\colorbox{yellow}{$2 - 1{,}5x$}} = {\colorbox{orange}{$2{,}5 - 1{,}5x$}} $$
Gleichung nach der enthaltenen Variable auflösen
$$ 2 - 1{,}5x = 2{,}5 - 1{,}5x \qquad |\, +1{,}5x $$
$$ {\fcolorbox{Red}{}{$2 = 2{,}5$}} $$
An dieser Stelle können wir nicht mehr weiterrechnen.
Berechneten Wert in eine der umgeformten Gleichungen aus Schritt 1 einsetzen und zweiten Wert berechnen
Dieser Schritt entfällt hier.
Lösungsmenge aufschreiben
Die Gleichung
$$ {\fcolorbox{Red}{}{$2 = 2{,}5$}} $$
ist eine falsche Aussage. Das Gleichungssystem hat folglich keine Lösung.
$$ \mathbb{L} = \{\;\} $$
Unendlich viele Lösungen
Löse das lineare Gleichungssystem
$$ \begin{align*} 9x + 6y &= 15 \\ 3x + 2y &= 5 \end{align*} $$
mithilfe des Gleichsetzungsverfahrens.
Gleichungen nach der gleichen Variable auflösen
Wir entscheiden uns dafür, die Gleichungen nach $y$ aufzulösen.
1. Gleichung
$$ 9x + 6y = 15 \qquad |\, -9x $$
$$ 6y = 15 - 9x \qquad |\, :6 $$
$$ {\colorbox{yellow}{$y = 2{,}5 - 1{,}5x$}} $$
2. Gleichung
$$ 3x + 2y = 5 \qquad |\, -3x $$
$$ 2y = 5 - 3x \qquad |\, :2 $$
$$ {\colorbox{orange}{$y = 2{,}5 - 1{,}5x$}} $$
Gleichungen gleichsetzen
$$ {\colorbox{yellow}{$2{,}5 - 1{,}5x$}} = {\colorbox{orange}{$2{,}5 - 1{,}5x$}} $$
An dieser Stelle können wir nicht mehr weiterrechnen.
Gleichung nach der enthaltenen Variable auflösen
Dieser Schritt entfällt hier.
Berechneten Wert in eine der umgeformten Gleichungen aus Schritt 1 einsetzen und zweiten Wert berechnen
Dieser Schritt entfällt hier.
Lösungsmenge aufschreiben
Die Gleichung
$$ {\fcolorbox{Red}{}{$2{,}5 - 1{,}5x = 2{,}5 - 1{,}5x$}} $$
ist eine allgemeingültige Aussage. Das Gleichungssystem hat folglich unendlich viele Lösungen.
$$ \mathbb{L} = \{(x|y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}\colon y = -1{,}5x + 2{,}5\} $$
