Gleichsetzungsverfahren

In diesem Kapitel schauen wir uns das Gleichsetzungsverfahren an.

Voraussetzung

Du solltest dich bereits mit linearen Gleichungssystemen und linearen Gleichungen auskennen.

Wozu dient das Gleichsetzungsverfahren?

Das Gleichsetzungsverfahren ist ein Verfahren zum Lösen von Gleichungssystemen.

Wie geht man bei dem Gleichsetzungsverfahren vor?

Vorgehensweise

  1. Beide Gleichungen nach der gleichen Variablen auflösen
  2. Gleichungen gleichsetzen
  3. Gleichung nach der enthaltenen Variablen auflösen
  4. Lösung in eine der umgeformten Gleichung aus Schritt 1 einsetzen
    und so die andere Variable berechnen

Im Folgenden beschränken wir uns der Einfachheit halber auf lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten.

Gleichsetzungsverfahren - Beispiel

\(\begin{align*}
2x + 3y &= 14 \\
x + 2y &= 8
\end{align*}\)

1.) Beide Gleichungen nach der gleichen Variablen auflösen

Wir entscheiden uns dafür, die Gleichungen nach \(x\) aufzulösen.

1. Zeile

\(2x + 3y = 14 \qquad |{\color{red}-3y}\)

\(2x + 3y {\color{red}\: - \: 3y} = 14 {\color{red}\: - \: 3y}\)

\(2x = 14 - 3y \qquad |:{\color{orange}2}\)

\[\frac{2x}{{\color{orange}2}} = \frac{14 - 3y}{{\color{orange}2}}\]

\({\colorbox{yellow}{\(x = 7 - 1,5y\)}}\)

2. Zeile

\(x + 2y = 8 \qquad |{\color{red}-2y}\)

\(x + 2y {\color{red}\: - \: 2y} = 8 {\color{red}\: - \: 2y}\)

\({\colorbox{orange}{\(x = 8 - 2y\)}}\)

2.) Gleichungen gleichsetzen

Es gilt

\({\colorbox{yellow}{\(x\)}} = {\colorbox{orange}{\(x\)}}\)

bzw.

\({\colorbox{yellow}{\(7 - 1,5y\)}} = {\colorbox{orange}{\(8 - 2y\)}}\)

3.) Gleichung nach der enthaltenen Variablen auflösen

Wir lösen die Gleichung nach \(y\) auf

\(7 - 1,5y = 8 - 2y \qquad |{\color{red}+2y}\)

\(7 - 1,5y {\color{red} \: + \: 2y} = 8 - 2y {\color{red}\: + \: 2y}\)

\(7 + 0,5y = 8 \qquad |{\color{orange}-7}\)

\(7 {\color{orange} \: - \: 7} + 0,5y = 8 {\color{orange}\: - \: 7}\)

\(0,5y = 1 \qquad |:{\color{red}0,5}\)

\[\frac{0,5y}{{\color{red}0,5}} = \frac{1}{{\color{red}0,5}}\]

\({\fcolorbox{Red}{}{\(y = 2\)}}\)

4.) Lösung in eine der umgeformten Gleichung aus Schritt 1 einsetzen und so die andere Variable berechnen

Wenn wir \(y = 2\) entweder in die Gleichung

\({\colorbox{yellow}{\(x = 7 - 1,5y\)}}\)

oder in die Gleichung

\({\colorbox{orange}{\(x = 8 - 2y\)}}\)

einsetzen, so erhalten wir als Lösung für die zweite Unbekannte

\({\fcolorbox{Red}{}{\(x = 4\)}}\)

Damit haben wir mit Hilfe des Gleichsetzungsverfahrens ein Gleichungssystem berechnet.
Die Lösung des Gleichungssystems lautet: \(x = 4\) und \(y = 2\).

Gleichsetzungsverfahren: Mögliche Lösungen

Aus dem Artikel "Lineare Gleichungssysteme lösen" wissen wir, dass für ein lineares Gleichungssystem drei Lösungen denkbar sind. Jeder dieser Fälle wird im Folgenden anhand des Gleichsetzungsverfahrens ausführlich dargestellt.

1. Eindeutige Lösung

Gegeben ist das Gleichungssystem

\(\begin{align*}
2x + y &= 4 \\
3x + 2y &= 5
\end{align*}\)

Im ersten Schritt lösen wir die beiden Zeilen nach \(y\) auf.

1. Zeile

\(2x + y = 4 \qquad |-2x\)

\({\colorbox{yellow}{\(y = 4 - 2x\)}}\)

2. Zeile

\(3x + 2y = 5 \qquad |-3x\)

\(2y = 5 - 3x \qquad |:2\)

\({\colorbox{orange}{\(y = 2,5 - 1,5x\)}}\)

Im nächsten Schritt müssen wir die beiden Gleichungen gleichsetzen

\({\colorbox{yellow}{\(4 - 2x\)}} = {\colorbox{orange}{\(2,5 - 1,5x\)}}\)

und nach \(x\) auflösen

\(4 - 2x = 2,5 - 1,5x \qquad |+1,5x\)

\(4 - 0,5x = 2,5 \qquad |-4\)

\(- 0,5x = -1,5 \qquad |:0,5\)

\({\fcolorbox{Red}{}{\(x = 3\)}}\)

Wenn wir jetzt \(x = 3\) in eine der beiden umgeformten Gleichungen aus dem ersten Schritt einsetzen

\({\colorbox{yellow}{\(y = 4 - 2x\)}}\)

\({\colorbox{orange}{\(y = \frac{1}{2}(5 - 3x)\)}}\)

erhalten wir

\({\fcolorbox{Red}{}{\(y = -2\)}}\)

Die Lösung des Gleichungssystems lautet:
\(x = 3\) und \(y = -2\)

Es handelt sich um eine eindeutige Lösung.

2. Unendlich viele Lösungen

Gegeben ist das Gleichungssystem

\(\begin{align*}
9x + 6y &= 15 \\
3x + 2y &= 5
\end{align*}\)

Im ersten Schritt lösen wir die beiden Zeilen nach \(y\) auf.

1. Zeile

\(9x + 6y = 15 \qquad |-9x\)

\(6y = 15 - 9x \qquad |:6\)

\({\colorbox{yellow}{\(y = 2,5 - 1,5x\)}}\)

2. Zeile

\(3x + 2y = 5 \qquad |-3x\)

\(2y = 5 - 3x \qquad |:2\)

\({\colorbox{orange}{\(y = 2,5 - 1,5x\)}}\)

Im nächsten Schritt müssen wir die beiden Gleichungen gleichsetzen

\({\colorbox{yellow}{\(2,5 - 1,5x\)}} = {\colorbox{orange}{\(2,5 - 1,5x\)}}\)

An dieser Stelle können wir nicht mehr weiterrechnen.

\({\fcolorbox{Red}{}{\(2,5 - 1,5x = 2,5 - 1,5x\)}}\)
...aber was bedeutet diese Gleichung?

Es handelt sich um eine allgemeingültige Aussage.
Das bedeutet, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt.

3. Keine Lösung

Gegeben ist das Gleichungssystem

\(\begin{align*}
6x + 4y &= 8 \\
3x + 2y &= 5
\end{align*}\)

Im ersten Schritt lösen wir die beiden Zeilen nach \(y\) auf.

1. Zeile

\(6x + 4y = 8 \qquad |-6x\)

\(4y = 8 - 6x \qquad |:4\)

\({\colorbox{yellow}{\(y = 2 - 1,5x\)}}\)

2. Zeile

\(3x + 2y = 5 \qquad |-3x\)

\(2y = 5 - 3x \qquad |:2\)

\({\colorbox{orange}{\(y = 2,5 - 1,5x\)}}\)

Im nächsten Schritt müssen wir die beiden Gleichungen gleichsetzen

\({\colorbox{yellow}{\(2 - 1,5x\)}} = {\colorbox{orange}{\(2,5 - 1,5x\)}}\)

und nach \(x\) auflösen

\(2 - 1,5x = 2,5 - 1,5x \qquad |+1,5x\)

\({\fcolorbox{Red}{}{\(2 = 2,5\)}}\)

An dieser Stelle können wir nicht mehr weiterrechnen.
...aber was bedeutet diese Gleichung?

Es handelt sich um eine falsche Aussage.
Das bedeutet, dass das Gleichungssystem keine Lösung besitzt.

Übrigens können wir neben dem Gleichsetzungsverfahren auch das Additionsverfahren oder das Einsetzungsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme einsetzen.

Lineare Gleichungssysteme lösen

In der Mathematik gibt es einige Verfahren, um lineare Gleichungssysteme zu lösen.

Die folgende Tabelle bietet eine kleine Übersicht über dieses Themenfeld

Verfahren Niveau
Additionsverfahren Unterstufe/Mittelstufe
Einsetzungsverfahren Unterstufe/Mittelstufe
Gleichsetzungsverfahren Unterstufe/Mittelstufe
Cramersche Regel Oberstufe/Studium
Gauß-Algorithmus Oberstufe/Studium
Gauß-Jordan-Algorithmus Oberstufe/Studium
Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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