Gauß-Jordan-Algorithmus
In diesem Kapitel besprechen wir den Gauß-Jordan-Algorithmus.
Erforderliches Vorwissen
Einordnung
Der Gauß-Jordan-Algorithmus ist ein Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme.
Der Gauß-Jordan-Algorithmus basiert auf dem Gauß-Algorithmus, welcher wiederum auf dem Additionsverfahren basiert.
Anleitung
Lineares Gleichungssystem in Tabellenform aufschreiben
Koeffizientenmatrix in Einheitsmatrix umformen
Lösung ablesen
Lösungsmenge aufschreiben
zu 2)
Reihenfolge
2.1) $1$ in der 1. Spalte auf der Hauptdiagonalen berechnen
$$ \begin{pmatrix} 1 & \ast & \ast \\ \ast & \ast & \ast \\ \ast & \ast & \ast \end{pmatrix} $$
2.2) Nullen in der 1. Spalte berechnen
$$ \begin{pmatrix} 1 & \ast & \ast \\ 0 & \ast & \ast \\ 0 & \ast & \ast \end{pmatrix} $$
2.3) $1$ in der 2. Spalte auf der Hauptdiagonalen berechnen
$$ \begin{pmatrix} 1 & \ast & \ast \\ 0 & 1 & \ast \\ 0 & \ast & \ast \end{pmatrix} $$
2.4) Null in der 2. Spalte unter der Hauptdiagonalen berechnen
$$ \begin{pmatrix} 1 & \ast & \ast \\ 0 & 1 & \ast \\ 0 & 0 & \ast \end{pmatrix} $$
2.5) $1$ in der 3. Spalte auf der Hauptdiagonalen berechnen
$$ \begin{pmatrix} 1 & \ast & \ast \\ 0 & 1 & \ast \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$
2.6) Nullen in der 3. Spalte berechnen
$$ \begin{pmatrix} 1 & \ast & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$
2.7) Null in der 2. Spalte oberhalb der Hauptdiagonalen
$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$
Zulässige Umformungen
Um die Nullen und Einsen zu berechnen, dürfen wir Zeilen
- addieren / subtrahieren
- mit einer Zahl multiplizieren / durch eine Zahl dividieren
- vertauschen*
* Falls bereits Nullen oder Einsen vorhanden sind, kann es sich lohnen, entsprechend Zeilen und/oder Spalten zu tauschen. Beim Tausch von Spalten müssen wir darauf achten, auch die Variablen mitzunehmen.
Beispiel
Löse das lineare Gleichungssystem
$$ \begin{align*} -2x_1 - 4x_2 - 6x_3 &= 4 \\ 3x_1 -x_2 + 2x_3 &= 1 \\ 4x_1 + 3x_3 &= 3 \\ \end{align*} $$
mithilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus.
Lineares Gleichungssystem in Tabellenform aufschreiben
$$ \begin{array}{rrr|c} x_1 & x_2 & x_3 & \\ \hline -2 & -4 & -6 & 4 \\ 3 & -1 & 2 & 1 \\ 4 & 0 & 3 & 3 \end{array} $$
Koeffizientenmatrix in Einheitsmatrix umformen
$$ \begin{array}{rrr|c|l} x_1 & x_2 & x_3 & & \\ \hline -2 & -4 & -6 & 4 & :(-2) \\ 3 & -1 & 2 & 1 & \\ 4 & 0 & 3 & 3 & \\ \hline {\color{green}1} & 2 & 3 & -2 & \\ 3 & -1 & 2 & 1 & \textrm{II} - 3 \cdot \textrm{I} \\ 4 & 0 & 3 & 3 & \textrm{III} - 4 \cdot \textrm{I} \\ \hline {\color{green}1} & 2 & 3 & -2 & \\ {\color{green}0} & -7 & -7 & 7 & :(-7) \\ {\color{green}0} & -8 & -9 & 11 & \\ \hline {\color{green}1} & 2 & 3 & -2 & \\ {\color{green}0} & {\color{green}1} & 1 & -1 & \\ {\color{green}0} & -8 & -9 & 11 & \textrm{III} + 8 \cdot \textrm{II} \\ \hline {\color{green}1} & 2 & 3 & -2 & \label{2.5)} \\ {\color{green}0} & {\color{green}1} & 1 & -1 & \\ {\color{green}0} & {\color{green}0} & -1 & 3 & :(-1) \\ \hline {\color{green}1} & 2 & 3 & -2 & \textrm{I} - 3 \cdot \textrm{III} \\ {\color{green}0} & {\color{green}1} & 1 & -1 & \textrm{II} - \textrm{III} \\ {\color{green}0} & {\color{green}0} & {\color{green}1} & -3 & \\ \hline {\color{green}1} & 2 & {\color{green}0} & 7 & \textrm{I} - 2 \cdot \textrm{II} \\ {\color{green}0} & {\color{green}1} & {\color{green}0} & 2 & \\ {\color{green}0} & {\color{green}0} & {\color{green}1} & -3 & \\ \hline {\color{green}1} & {\color{green}0} & {\color{green}0} & 3 & \\ {\color{green}0} & {\color{green}1} & {\color{green}0} & 2 & \\ {\color{green}0} & {\color{green}0} & {\color{green}1} & -3 & \\ \end{array} $$
Lösung ablesen
$$ \begin{align*} x_1 &= 3 \\ x_2 &= 2 \\ x_3 &= -3 \\ \end{align*} $$
Lösungsmenge aufschreiben
$$ \mathbb{L} = \{(3|2|{-3})\} $$
Anmerkung
$(3|2|{-3})$ ist ein Tupel, wobei zuerst der $x_1$-Wert, dann der $x_2$-Wert und zuletzt der $x_3$-Wert genannt wird.
