Gauß-Jordan-Algorithmus

Im Folgenden wird der Gauß-Jordan-Algorithmus anhand eines Beispiels ausführlich erklärt.

Aufgabenstellung

Gegeben ist das Gleichungssystem

\(\begin{align*}
-2x_1 - 4x_2 - 6x_3 &= 4\\
3x_1 - x_2 + 2x_3 &= 1\\
4x_1 + 3x_3 &= 3\\
\end{align*}\)

Unter dem "Lösen linearer Gleichungssysteme" versteht man die Berechnung der Unbekannten - in diesem Fall von \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\).

Tipp: Schreibarbeit sparen!

Da zum Lösen eines Gleichungssystems meist mehrere Schritte notwendig sind, wird es irgendwann lästig, bei jedem Schritt das ganze Gleichungssystem nochmal abzuschreiben. Aus diesem Grund lassen wir die Unbekannten weg und schreiben nur die Koeffizienten auf.

Statt

\(\begin{align*}
-2x_1 - 4x_2 - 6x_3 &= 4\\
3x_1 - x_2 + 2x_3 &= 1\\
4x_1 + 3x_3 &= 3\\
\end{align*}\)

schreiben wir also

\(\begin{array}{rrr|c}
x_1 & x_2 & x_3 & r. S. \\
\hline
-2 & -4 & -6 & 4\\
3 & -1 & 2 & 1\\
4 & 0 & 3 & 3
\end{array}\)

Dabei steht "r. S." für die rechte Seite des Gleichungssystems. Das ist der Teil, der rechts von dem Gleichheitszeichen steht.

Vorüberlegung: Ziel des Gauß-Jordan-Algorithmus

Bevor wir mit der eigentlichen Rechenarbeit beginnen, überlegen wir uns, was eigentlich unser Ziel ist.

Ziel des Gauß-Jordan-Algorithmus ist es, mit Hilfe von zeilenweisen Umformungen (dazu gleich mehr) in der Hauptdiagonalen Einsen zu erzeugen. Alle anderen Koeffizienten sind null. Was zunächst sehr abstrakt klingt, ist eigentlich gar nicht so schwierig.

Nach einigen Umformungen sieht das Gleichungssystem so aus:

\(\begin{array}{rrr|c}
x_1 & x_2 & x_3 & r. S. \\
\hline
{\color{red}1}& 0 & 0 & 3\\
0 &{\color{red}1}& 0 & 2\\
0 & 0 &{\color{red}1}& -3
\end{array}\)

Doch was hat uns diese Umformung gebracht? Erst wenn wir wieder unsere Unbekannten einfügen, wird deutlich, was uns diese Nullen bringen.

\(\begin{align*}
x_1&= 3 \\
x_2&= 2 \\
x_3 &= -3 \\
\end{align*}\)

Merke: Ist das Gleichungssystem so umgeformt, dass in der Hauptdiagonalen nur Einsen sind, kann man die Lösungswerte direkt ablesen.

Zwischen-Fazit

Keine Sorge! Wie man die Einsen und Nullen in der Hauptdiagonalen berechnet, erfährst du gleich. Wichtig ist zunächst nur, dass du verstanden hast, warum man überhaupt diese Einsen berechnen muss: Die Unbekannten lassen sich direkt ablesen!

Berechnung der Einsen und Nullen

Um die Einsen und Nullen zu berechnen, darf man Zeilen...

• vertauschen
• mit einer Zahl multiplizieren
• durch eine Zahl dividieren
• addieren
• subtrahieren

Gauß-Jordan-Algorithmus - Beispiel

Zurück zu unserem Gleichungssystem

\(
\fcolorbox{RoyalBlue}{Skyblue}{\(
\begin{array}{rrr|c}
-2 & -4 & -6 & 4\\
3 & -1 & 2 & 1\\
4 & 0 & 3 & 3
\end{array}
\)}
\)

1.) Berechnung der Eins in der 1. Spalte (1. Zeile)

Um die Eins zu berechnen, teilen wir die 1. Zeile durch -2.

Ausführlich:

\(\begin{array}{rrr|rl}
-2 & -4 & -6 & 4 & \text{1. Zeile}\\
\hline
1 & 2 & 3 & -2 & \text{1. Zeile : (-2)*}
\end{array}\)

Umgeformtes Gleichungssystem nach dem ersten Schritt

\(
\fcolorbox{RoyalBlue}{Skyblue}{\(
\begin{array}{rrr|rl}
{\color{red}1}& 2 & 3 & -2 & \text{1. Zeile*}\\
3 & -1 & 2 & 1 & \text{2. Zeile}\\
4 & 0 & 3 & 3 & \text{3. Zeile}
\end{array}
\)}
\)

2.) und 3.) Berechnung der Nullen in der 1. Spalte

Um die Null in der 2. Zeile zu berechnen, ziehen wir von dieser Zeile dreimal die 1. Zeile ab.

\(\begin{array}{rrr|rl}
3 & -1 & 2 & 1&\text{2. Zeile}\\
3 & 6 & 9 & -6&\text{\(3 \cdot\) 1. Zeile}\\
\hline
0 & -7 & -7 & 7& \text{2. Zeile - \(3 \cdot\) 1. Zeile*}
\end{array}\)

Um die Null in der 3. Zeile zu berechnen, ziehen wir von dieser Zeile viermal die 1. Zeile ab.

\(\begin{array}{rrr|rl}
4 & 0 & 3 & 3&\text{3. Zeile}\\
4 & 8 & 12 & -8&\text{\(4 \cdot\) 1. Zeile}\\
\hline
0 & -8 & -9 & 11&\text{3. Zeile - \(4 \cdot\) 1. Zeile**}
\end{array}\)

Umgeformtes Gleichungssystem nach dem zweiten und dritten Schritt

\(
\fcolorbox{RoyalBlue}{Skyblue}{\(
\begin{array}{rrr|rl}
{\color{red}1}& 2 & 3 & -2&\text{1. Zeile}\\
{\color{white}0}& -7 & -7 & 7&\text{2. Zeile*}\\
{\color{white}0}& -8 & -9 & 11&\text{3. Zeile**}
\end{array}
\)}
\)

4.) Berechnung der Eins in der 2. Spalte (2. Zeile)

Um die Eins zu berechnen, teilen wir die 2. Zeile durch -7.

\(\begin{array}{rrr|rl}
0 & -7 & -7 & 7&\text{2. Zeile}\\
\hline
0 & 1 & 1 & -1&\text{2. Zeile : (-7)*}
\end{array}\)

Umgeformtes Gleichungssystem nach dem vierten Schritt

\(
\fcolorbox{RoyalBlue}{Skyblue}{\(
\begin{array}{rrr|rl}
{\color{red}1}& 2 & 3 & -2&\text{1. Zeile}\\
{\color{white}0}&{\color{red}1}& 1 & -1&\text{2. Zeile*}\\
{\color{white}0}& -8 & -9 & 11&\text{3. Zeile}
\end{array}
\)}
\)

5.) Berechnung der Null in der 2. Spalte (3. Zeile)

Um die Null zu berechnen, addieren wir zu der 3. Zeile achtmal die 2. Zeile.

\(\begin{array}{rrr|rl}
0 & -8 & -9 & 11&\text{3. Zeile}\\
0 & 8 & 8 & -8&\text{\(8 \cdot\) 2. Zeile}\\
\hline
0 & 0 & -1 & 3&\text{3. Zeile + \(8 \cdot\) 2. Zeile*}
\end{array}\)

Umgeformtes Gleichungssystem nach dem fünften Schritt

\(
\fcolorbox{RoyalBlue}{Skyblue}{\(
\begin{array}{rrr|rl}
{\color{red}1}& 2 & 3 & -2&\text{1. Zeile}\\
{\color{white}0}&{\color{red}1}& 1 & -1&\text{2. Zeile}\\
{\color{white}0}&{\color{white}0} & -1 & 3&\text{3. Zeile*}
\end{array}
\)}
\)

6.) Berechnung der Eins in der 3. Spalte (3. Zeile)

Um die Eins zu berechnen, teilen wir die 3. Zeile durch -1.

\(\begin{array}{rrr|rl}
0 & 0 & -1 & 3&\text{3. Zeile}\\
\hline
0 & 0 & 1 & -3&\text{3. Zeile : (-1)*}
\end{array}\)

Umgeformtes Gleichungssystem nach dem sechsten Schritt

\(
\fcolorbox{RoyalBlue}{Skyblue}{\(
\begin{array}{rrr|rl}
{\color{red}1}& 2 & 3 & -2&\text{1. Zeile}\\
{\color{white}0}&{\color{red}1}& 1 & -1&\text{2. Zeile}\\
{\color{white}0}&{\color{white}0} &{\color{red}1}& -3&\text{3. Zeile*}
\end{array}
\)}
\)

7. und 8.) Berechnung der Nullen in der 3. Spalte

Um die Null in der 2. Zeile zu berechnen, ziehen wir von dieser Zeile die 3. Zeile ab.

\(\begin{array}{rrr|rl}
0 & 1 & 1 & -1&\text{2. Zeile}\\
0 & 0 & 1 & -3&\text{3. Zeile}\\
\hline
0 & 1 & 0 & 2&\text{2. Zeile - 3. Zeile*}
\end{array}\)

Um die Null in der 1. Zeile zu berechnen, ziehen wir von dieser Zeile dreimal die 3. Zeile ab.

\(\begin{array}{rrr|rl}
1 & 2 & 3 & -2&\text{1. Zeile}\\
0 & 0 & 3 & -9&\text{\(3 \cdot\) 3. Zeile}\\
\hline
1 & 2 & 0 & 7&\text{1. Zeile - \(3 \cdot\) 3. Zeile*}
\end{array}\)

Umgeformtes Gleichungssystem nach dem siebten und achten Schritt

\(
\fcolorbox{RoyalBlue}{Skyblue}{\(
\begin{array}{rrr|rl}
{\color{red}1}& 2 &{\color{white}0}& 7&\text{1. Zeile**}\\
{\color{white}0}&{\color{red}1}&{\color{white}0}& 2&\text{2. Zeile*}\\
{\color{white}0}&{\color{white}0} &{\color{red}1}& -3&\text{3. Zeile}
\end{array}
\)}
\)

9.) Berechnung der Null in der 2. Spalte (1. Zeile)

Um die Null zu berechnen, ziehen wir von der 1. Zeile zweimal die 2. Zeile ab.

\(\begin{array}{rrr|rl}
1 & 2 & 0 & 7&\text{1. Zeile}\\
0 & 2 & 0 & 4&\text{\(2 \cdot \)2. Zeile}\\
\hline
1 & 0 & 0 & 3&\text{1. Zeile - \(2 \cdot \)2. Zeile*}
\end{array}\)

Umgeformtes Gleichungssystem nach dem neunten Schritt

\(
\fcolorbox{RoyalBlue}{Skyblue}{\(
\begin{array}{rrr|rl}
{\color{red}1}&{\color{white}0}&{\color{white}0}& 3&\text{1. Zeile*}\\
{\color{white}0}&{\color{red}1}&{\color{white}0}& 2&\text{2. Zeile}\\
{\color{white}0}&{\color{white}0} &{\color{red}1}& -3&\text{3. Zeile}
\end{array}
\)}
\)

Wie bereits erwähnt, lassen sich an dieser Stelle die Lösungen des Gleichungssystems einfach ablesen.

\(\begin{align*}
x_1&= 3 \\
x_2&= 2 \\
x_3 &= -3 \\
\end{align*}\)

Mit Hilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus ist das Lösen von linearen Gleichungssystemen kein Problem!

Reihenfolge bei der Berechnung

\(\begin{pmatrix}
1 & 9 & 7+8\\
2+3 & 4 & 7+8\\
2+3 & 5 & 6
\end{pmatrix}\)

Schritt
1	Eins in der 1. Spalte (1. Zeile)
2 + 3	Nullen in der 1. Spalte mit Hilfe der 1. Zeile - welche der beiden Nullen zuerst berechnet wird, ist egal.
4	Eins in der 2. Spalte (2. Zeile)
5	Null in der 2. Spalte (3. Zeile) mit Hilfe der 2. Zeile
6	Eins in der 3. Spalte (3. Zeile)
7 + 8	Nullen in der 3. Spalte mit Hilfe der 3. Zeile - welche der beiden Nullen zuerst berechnet wird, ist egal.
9	Null in der 2. Spalte (1. Zeile)