Inverse Matrix berechnen
In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man die inverse Matrix mithilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus berechnet.
Erforderliches Vorwissen
Voraussetzung
Nur quadratische Matrizen können eine Inverse besitzen.
Eine quadratische Matrix $A$ ist genau dann invertierbar, wenn gilt: $\det(A) \neq 0$.
Je nach Aufgabenstellung kann es sich lohnen, vorher zu überprüfen, ob die Matrix überhaupt invertierbar ist.
Anleitung
Blockmatrix $\boldsymbol{(A|E)}$ aufstellen
Matrix $\boldsymbol{A}$ in der Blockmatrix zur Einheitsmatrix umformen
Inverse Matrix $\boldsymbol{A^{-1}}$ ablesen
zu 1)
Aus der Matrix $A$ und der Einheitsmatrix $E$ bilden wir die Blockmatrix $(A|E)$.
zu 2)
Mithilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus formen wir den linken Block der Blockmatrix, also die Matrix $A$, zur Einheitsmatrix um.
Die dafür notwendigen Schritte wenden wir auf die ganze Blockmatrix $(A|E)$ an.
zu 3)
Nachdem der linke Block der Blockmatrix zur Einheitsmatrix geworden ist, entspricht der rechte Block der inversen Matrix $A^{-1}$.
Beispiel
Berechne die Inverse der Matrix
$$ A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} $$
mithilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus.
Blockmatrix $\boldsymbol{(A|E)}$ aufstellen
Um Schreibarbeit zu sparen, lassen wir die runden Klammern weg.
$$ \begin{array}{rrr|rrr} 2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} $$
Matrix $\boldsymbol{A}$ in der Blockmatrix zur Einheitsmatrix umformen
$$ \begin{array}{rrr|rrr|l} 2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & :2 \\ 1 & 2 & -2 & 0 & 1 & 0 & \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 & \\ \hline {\color{red}1} & -0{,}5 & 0 & 0{,}5 & 0 & 0 & \\ 1 & 2 & -2 & 0 & 1 & 0 & \textrm{II} - \textrm{I} \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 & \text{(Null bereits vorhanden)} \\ \hline {\color{red}1} & -0{,}5 & 0 & 0{,}5 & 0 & 0 & \\ {\color{red}0} & 2{,}5 & -2 & -0{,}5 & 1 & 0 & :2{,}5 \\ {\color{red}0} & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 & \\ \hline {\color{red}1} & -0{,}5 & 0 & 0{,}5 & 0 & 0 & \\ {\color{red}0} & {\color{red}1} & -0{,}8 & -0{,}2 & 0{,}4 & 0 & \\ {\color{red}0} & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 & \textrm{III} + \textrm{II} \\ \hline {\color{red}1} & -0{,}5 & 0 & 0{,}5 & 0 & 0 & \\ {\color{red}0} & {\color{red}1} & -0{,}8 & -0{,}2 & 0{,}4 & 0 & \\ {\color{red}0} & {\color{red}0} & 0{,}2 & -0{,}2 & 0{,}4 & 1 & :0{,}2 \\ \hline {\color{red}1} & -0{,}5 & 0 & 0{,}5 & 0 & 0 & \text{(Null bereits vorhanden)} \\ {\color{red}0} & {\color{red}1} & -0{,}8 & -0{,}2 & 0{,}4 & 0 & \textrm{II} + 0{,}8 \cdot \textrm{III} \\ {\color{red}0} & {\color{red}0} & {\color{red}1} & -1 & 2 & 5 & \\ \hline {\color{red}1} & -0{,}5 & {\color{red}0} & 0{,}5 & 0 & 0 & \textrm{I} + 0{,}5 \cdot \textrm{II} \\ {\color{red}0} & {\color{red}1} & {\color{red}0} & -1 & 2 & 4 & \\ {\color{red}0} & {\color{red}0} & {\color{red}1} & -1 & 2 & 5 & \\ \hline {\color{red}1} & {\color{red}0} & {\color{red}0} & 0 & 1 & 2 & \\ {\color{red}0} & {\color{red}1} & {\color{red}0} & -1 & 2 & 4 & \\ {\color{red}0} & {\color{red}0} & {\color{red}1} & -1 & 2 & 5 & \\ \end{array} $$
Inverse Matrix $\boldsymbol{A^{-1}}$ ablesen
Die inverse Matrix $A^{-1}$ entspricht dem rechten Block in der umgeformten Blockmatrix.
$$ A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 4 \\ -1 & 2 & 5 \end{pmatrix} $$
Anmerkung
$$ A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 4 \\ -1 & 2 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = E $$
