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Inverse Matrix berechnen

In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man mit Hilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus die Inverse einer Matrix berechnen kann. Dabei wird vorausgesetzt, dass du den Gauß-Jordan-Algorithmus bereits beherrscht.

Was versteht man unter der inversen Matrix?

\(A \cdot A^{-1} = E\)

Multipliziert man eine Matrix \(A\) mit ihrer Inversen \(A^{-1}\), erhält man die Einheitsmatrix \(E\).

Determinante und inverse Matrix

Eine Matrix, deren Zeilen oder Spalten linear abhängig sind, besitzt keine Inverse. Das ist genau dann der Fall, wenn die Determinante der Matrix gleich Null ist.

Daraus folgt, dass du eine inverse Matrix nur berechnen kannst, wenn gilt:

\(\det(A) \neq 0\)

Es lohnt sich, vor einer Rechnung zu überprüfen, ob eine Matrix überhaupt eine Inverse besitzt.

Mathematik Video

In diesem Mathe Video (4:09 min) wird dir anhand eines anschaulichen Beispiels erklärt, wie man mit Hilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus die inverse Matrix berechnet.

Inverse Matrix berechnen - Beispiel

Gegeben ist eine Matrix A. Berechne ihre Inverse.

\(A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} \\ x_{21} & x_{22} & x_{23} \\ x_{31} & x_{32} & x_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = E \)

Aus der Matrix \(A\) und der Einheitsmatrix \(E\) wird eine sog. Blockmatrix \((A|E)\) gebildet. Die runden Klammern wurden im Weiteren zur Vereinfachung weggelassen.

\(
\begin{array}{rrr|rrr}
2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0\\
1 & 2 & -2 & 0 & 1 & 0\\
0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\)

Ziel ist es, die linke Seite der Blockmatrix - also die Matrix \(A\) - in die Einheitsmatrix umzuformen. Dabei bedient man sich des Gauß-Jordan-Algorithmus.

Die Schritte, die notwendig sind, um aus der Matrix \(A\) die Einheitsmatrix zu machen, werden gleichzeitig auf die rechte Seite der Blockmatrix angewandt.

Nach Anwendung des Gauß-Jordan-Algorithmus sieht die Blockmatrix folgendermaßen aus

\(
\begin{array}{rrr|rrr}
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2\\
0 & 1 & 0 & -1 & 2 & 4\\
0 & 0 & 1 & -1 & 2 & 5
\end{array}
\)

Sobald auf der linken Seite die Einheitsmatrix steht, kann man auf der rechten Seite die inverse Matrix ablesen.

\(A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 4 \\ -1 & 2 & 5 \end{pmatrix}\)

Der Vollständigkeit halber werden die notwendigen Schritte noch näher erläutert.

Nebenrechnung

\(
\begin{array}{rrr|rrr}
2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0\\
1 & 2 & -2 & 0 & 1 & 0\\
0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\)

1.) Berechnung der Eins in der 1. Spalte (1. Zeile)

Um die Eins zu berechnen, teilen wir die 1. Zeile durch 2.

\(
\begin{array}{rrr|rrr}
{\color{red}1}& -0,5 & 0 & 0,5 & 0 & 0\\
1 & 2 & -2 & 0 & 1 & 0\\
0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\)

2.) und 3.) Berechnung der Nullen in der 1. Spalte

Um die Null in der 2. Zeile zu berechnen, ziehen wir von dieser Zeile die 1. Zeile ab.

[Schritt 3 "Berechnung der Null in der 3. Zeile" entfällt, da bereits eine Null vorhanden ist.]

\(
\begin{array}{rrr|rrr}
{\color{red}1}& -0,5 & 0 & 0,5 & 0 & 0\\
{\color{red}0}& 2,5 & -2 & -0,5 & 1 & 0\\
{\color{red}0}& -1 & 1 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\)

4.) Berechnung der Eins in der 2. Spalte (2. Zeile)

Um die Eins zu berechnen, teilen wir die 2. Zeile durch 2,5.

\(
\begin{array}{rrr|rrr}
{\color{red}1}& -0,5 & 0 & 0,5 & 0 & 0\\
{\color{red}0}&{\color{red}1}& -0,8 & -0,2 & 0,4 & 0\\
{\color{red}0}& -1 & 1 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\)

5.) Berechnung der Null in der 2. Spalte (3. Zeile)

Um die Null zu berechnen, addieren wir zu der 3. Zeile die 2. Zeile.

\(
\begin{array}{rrr|rrr}
{\color{red}1}& -0,5 & 0 & 0,5 & 0 & 0\\
{\color{red}0}&{\color{red}1}& -0,8 & -0,2 & 0,4 & 0\\
{\color{red}0}&{\color{red}0}& 0,2 & -0,2 & 0,4 & 1
\end{array}
\)

6.) Berechnung der Eins in der 3. Spalte (3. Zeile)

Um die Eins zu berechnen, teilen wir die 3. Zeile durch 0,2.

\(
\begin{array}{rrr|rrr}
{\color{red}1}& -0,5 & 0 & 0,5 & 0 & 0\\
{\color{red}0}&{\color{red}1}& -0,8 & -0,2 & 0,4 & 0\\
{\color{red}0}&{\color{red}0}&{\color{red}1}& -1 & 2 & 5
\end{array}
\)

7.) und 8.) Berechnung der Nullen in der 3. Spalte

Um die Null in der 2. Zeile zu berechnen, addieren wir zu dieser Zeile 0,8-mal die 3. Zeile.

[Schritt 8 "Berechnung der Null in der 1. Zeile" entfällt, da bereits eine Null vorhanden ist.]

\(
\begin{array}{rrr|rrr}
{\color{red}1}& -0,5 &{\color{red}0}& 0,5 & 0 & 0\\
{\color{red}0}&{\color{red}1}&{\color{red}0}& -1 & 2 & 4\\
{\color{red}0}&{\color{red}0}&{\color{red}1}& -1 & 2 & 5
\end{array}
\)

9.) Berechnung der Null in der 2. Spalte (1. Zeile)

Um die Null zu berechnen, addieren wir zu der 1. Zeile 0,5-mal die 2. Zeile.

\(
\begin{array}{rrr|rrr}
{\color{red}1}&{\color{red}0}&{\color{red}0}& 0 & 1 & 2\\
{\color{red}0}&{\color{red}1}&{\color{red}0}& -1 & 2 & 4\\
{\color{red}0}&{\color{red}0}&{\color{red}1}& -1 & 2 & 5
\end{array}
\)

Die Matrix \(A\) wurde mit Hilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus in die Einheitsmatrix umgeformt. Die inverse Matrix lässt sich jetzt leicht ablesen. Sie befindet sich auf der rechten Seite der Blockmatrix.

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!

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