Eigenvektoren berechnen

Im Artikel Eigenwerte und Eigenvektoren haben wir die Begriffe definiert und uns angeschaut, wie sich Eigenvektoren von anderen Vektoren graphisch unterscheiden.

Im vergangenen Kapitel haben wir an einem Beispiel betrachtet, wie man Eigenwerte berechnet. Darauf aufbauend wollen wir jetzt die Eigenvektoren berechnen.

Verfahren 1 (Gauß-Algorithmus)

Von folgender Matrix sollen die Eigenvektoren berechnet werden

\(A = \begin{pmatrix}3 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & -1 \end{pmatrix}\)

Eigenwerte berechnen

1.) Berechnen des charakteristischen Polynoms

\(\begin{align*}\chi_A(\lambda) &=\begin{vmatrix} (3-\lambda) & -1 & 0 \\ 2 & (0-\lambda) & 0 \\ -2 & 2 & (-1-\lambda) \end{vmatrix}\\
&=(3-\lambda) \cdot (0-\lambda) \cdot (-1-\lambda) - (-1-\lambda) \cdot 2 \cdot (-1)\\
&= -\lambda^3 + 2\lambda^2 + \lambda - 2
\end{align*}\)

2.) Berechnen der Nullstellen des charakteristischen Polynoms

(vgl. Kapitel "Kubische Gleichungen lösen")

\(\lambda_1 = 1, \qquad \lambda_2 = 2, \qquad \lambda_3 = -1;\)

Dabei handelt es sich um die Eigenwerte der Matrix \(A\).

Eigenvektoren berechnen

\(A = \begin{pmatrix}3 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & -1 \end{pmatrix}\)

Der zu einem Eigenwert \(\lambda_i\) gehörende Eigenvektor \({\color{red}x_i}\) ist die Lösung der Gleichung

\((A-\lambda_i E){\color{red}x_i} = 0\)

\(\left[\begin{pmatrix}3 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & -1 \end{pmatrix} - \lambda_i \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\right] \cdot \begin{pmatrix}{\color{red}x}\\{\color{red}y}\\{\color{red}z}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)

\(\left[\begin{pmatrix} (3-\lambda_i) & -1 & 0 \\ 2 & (0-\lambda_i) & 0 \\ -2 & 2 & (-1-\lambda_i) \end{pmatrix}\right] \cdot \begin{pmatrix}{\color{red}x}\\{\color{red}y}\\{\color{red}z}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)

\(\left[\begin{pmatrix} (3-\lambda_i){\color{red}x}& -1{\color{red}y}& 0{\color{red}z}\\ 2{\color{red}x}& (0-\lambda_i){\color{red}y}& 0{\color{red}z}\\ -2{\color{red}x}& 2{\color{red}y} & (-1-\lambda_i){\color{red}z}\end{pmatrix}\right] = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)

Dieses Gleichungssystem lösen wir mit Hilfe des Gauß-Algorithmus. Um Schreibarbeit zu sparen, lassen wir dabei überflüssige Informationen weg. Übrig bleibt:

\(\begin{pmatrix} (3-{\color{blue}\lambda_i}) & -1 & 0 \\ 2 & (0-{\color{blue}\lambda_i}) & 0 \\ -2 & 2 & (-1-{\color{blue}\lambda_i}) \end{pmatrix}\)

Im Folgenden berechnen wir nacheinander die Eigenvektoren zu den Eigenwerten \(\lambda_1\), \(\lambda_2\) und \(\lambda_3\).

\(\fcolorbox{RoyalBlue}{RoyalBlue}{\({\color{white}\lambda_1 = 1}\)}\)

\(\begin{pmatrix} (3-{\color{blue}1}) & -1 & 0 \\ 2 & (0-{\color{blue}1}) & 0 \\ -2 & 2 & (-1-{\color{blue}1}) \end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ -2 & 2 & -2 \end{pmatrix}
\underrightarrow{II) - I)}
\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & -2 \end{pmatrix}
\underrightarrow{III) + I)}
\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix}
\)

Ausgeschrieben ergibt das

\(\begin{align*}
2x - y &= 0 \qquad \rightarrow \quad x = 0,5y\\
y - 2z &= 0 \qquad \rightarrow \quad y = 2z
\end{align*}\)

Daraus folgt: \(x = 0,5y = z\)

Das vorliegende Gleichungssystem besitzt zwei Gleichungen, aber drei Unbekannte. Das bedeutet, dass das Gleichungssystem unterbestimmt ist und es unendlich viele Lösungen gibt. Eine spezielle Lösung erhält man, indem man für eine der Variablen einen beliebigen Wert einsetzt. Wir setzen \(x = 1\), um den ersten Eigenvektor zu berechnen.

Einsetzen von \(x = 1\) ergibt den Eigenvektor

\(\vec{x}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix}\)

\(\fcolorbox{RoyalBlue}{RoyalBlue}{\({\color{white}\lambda_2 = 2}\)}\)

\(\begin{pmatrix} (3-{\color{blue}2}) & -1 & 0 \\ 2 & (0-{\color{blue}2}) & 0 \\ -2 & 2 & (-1-{\color{blue}2}) \end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 2 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & -3 \end{pmatrix}
\underrightarrow{II) - 2 \cdot I)}
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & -3 \end{pmatrix}
\underrightarrow{III) + 2 \cdot I)}
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}
\)

Ausgeschrieben ergibt das

\(\begin{align*}
x - y &= 0 \qquad \rightarrow \quad x = y\\
-3z &= 0 \qquad \rightarrow \quad z = 0
\end{align*}\)

Das vorliegende Gleichungssystem besitzt zwei Gleichungen, aber drei Unbekannte. Das bedeutet, dass das Gleichungssystem unterbestimmt ist und es unendlich viele Lösungen gibt. Eine spezielle Lösung erhält man, indem man für \(x\) oder für \(y\) einen beliebigen Wert einsetzt. Wir setzen \(x = 1\), um den zweiten Eigenvektor zu berechnen.

Einsetzen von \(x = 1\) ergibt den Eigenvektor

\(\vec{x}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)

\(\fcolorbox{RoyalBlue}{RoyalBlue}{\({\color{white}\lambda_3 = -1}\)}\)

\(\begin{pmatrix} (3-({\color{blue}-1})) & -1 & 0 \\ 2 & (0-({\color{blue}-1})) & 0 \\ -2 & 2 & (-1-({\color{blue}-1})) \end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix} 4 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -2 & 2 & 0 \end{pmatrix}
\underrightarrow{III) + II)}
\begin{pmatrix} 4 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \end{pmatrix}
\underrightarrow{II) - 0,5 \cdot I)}
\begin{pmatrix} 4 & -1 & 0 \\ 0 & 1,5 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \end{pmatrix}
\)

Ausgeschrieben ergibt das

\(\begin{align*}
4x - y &= 0 \qquad \rightarrow \quad y = 4x\\
1,5y &= 0 \qquad \rightarrow \quad y = 0\\
3y &= 0 \qquad \rightarrow \quad y = 0
\end{align*}\)

Die Variablen \(x\) und \(y\) sind gleich Null. Die Variable \(z\) hingegen nimmt einen beliebigen Wert an. Es gibt wieder unendlich viele Lösungen. Eine spezielle Lösung erhält man, indem man z.B. \(z = 1\)  setzt. Auf diese Weise erhalten wir den dritten und letzten Eigenvektor.

Einsetzen von \(z = 1\) ergibt den Eigenvektor

\(\vec{x}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)

Interpretation des Ergebnisses

Die Matrix \(A\)

\(A = \begin{pmatrix}3 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & -1 \end{pmatrix}\)

besitzt die Eigenwerte

\(\lambda_1 = 1, \qquad \lambda_2 = 2, \qquad \lambda_3 = -1;\)

Zu dem Eigenwert \(\lambda_1 = 1\) gehört der Eigenvektor

\(\vec{x}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\) und alle seine Vielfachen.

Zu dem Eigenwert \(\lambda_2 = 2\) gehört der Eigenvektor

\(\vec{x}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) und alle seine Vielfachen.

Zu dem Eigenwert \(\lambda_3 = -1\) gehört der Eigenvektor

\(\vec{x}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) und alle seine Vielfachen.

Hat man die Eigenvektoren berechnet, lässt sich ganz einfach der Eigenraum bestimmen.

Verfahren 2 (Additionsverfahren)

Von folgender Matrix sollen die Eigenvektoren berechnet werden

\(A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -9 & 6 \end{pmatrix}\)

Eigenwerte berechnen

1.) Rechenansatz aufstellen

\(A \cdot \vec{x} = \lambda \cdot \vec{x}\)

\(\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -9 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \lambda \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\)

2.) Ausmultiplizieren des Rechenansatzes

\(\begin{align*}
3 \cdot x + 0 \cdot y = \lambda \cdot x\\
-9 x + 6 \cdot y = \lambda \cdot y
\end{align*}\)

3.) Alle Glieder auf die linke Seite bringen

\(\begin{align*}
(3 - \lambda) \cdot x + 0 \cdot y = 0\\
-9 \cdot x + (6 - \lambda) \cdot y = 0
\end{align*}\)

4.) Berechnen des charakteristischen Polynoms

\(\begin{align*}\chi_A(\lambda) &=\begin{vmatrix} (3 - \lambda) & 0 \\ -9 & (6 - \lambda) \end{vmatrix}\\
&= (3 - \lambda) \cdot (6 - \lambda) - (-9) \cdot 0\\
&= \lambda^2 - 9\lambda + 18\end{align*}\)

5.) Berechnen der Nullstellen des charakteristischen Polynoms

(vgl. Kapitel "Mitternachtsformel")

\(\lambda_1 = 3, \qquad \lambda_2 = 6;\)

Dabei handelt es sich um die beiden Eigenwerte der Matrix \(A\).

Eigenvektoren berechnen

Die Eigenwerte \(\lambda_1 = 3\) und \(\lambda_2 = 6\) setzen wir nacheinander in das Gleichungssystem

\(\begin{align*}
(3 - \lambda) \cdot x + 0 \cdot y = 0\\
-9 \cdot x + (6 - \lambda) \cdot y = 0
\end{align*}\)

ein, um die Eigenvektoren zu berechnen.

\(\fcolorbox{RoyalBlue}{RoyalBlue}{\({\color{white}\lambda_1 = 3}\)}\)

\(\begin{align*}
(3 - {\color{blue}3}) \cdot x + 0 \cdot y = 0\\
-9 \cdot x + (6 - {\color{blue}3}) \cdot y = 0
\end{align*}\)

\(\begin{align*}
0 &= 0\\
-9 \cdot x + 3 \cdot y &= 0 \qquad \rightarrow \quad y = 3x
\end{align*}\)

Das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen. Eine spezielle Lösung erhält man, indem man für \(x\) oder \(y\) einen beliebigen Wert einsetzt.

Wir setzen \(x = 1\) und erhalten den folgenden Eigenvektor

\(\vec{x}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}\)

´\(\fcolorbox{RoyalBlue}{RoyalBlue}{\({\color{white}\lambda_2 = 6}\)}\)

\(\begin{align*}
(3 - {\color{blue}6}) \cdot x + 0 \cdot y = 0\\
-9 \cdot x + (6 - {\color{blue}6}) \cdot y = 0
\end{align*}\)

\(\begin{align*}
-3 \cdot x = 0\\
-9 \cdot x  = 0
\end{align*}\)

\(x\) ist gleich Null. Für \(y\) können wir jedoch einen beliebigen Wert einsetzen.

Einsetzen von \(y = 1\) ergibt den Eigenvektor

\(\vec{x}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)

Interpretation des Ergebnisses

Die Matrix \(A\)

\(A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -9 & 6 \end{pmatrix}\)

besitzt die Eigenwerte

\(\lambda_1 = 3, \qquad \lambda_2 = 6;\)

Zu dem Eigenwert \(\lambda_1 = 3\) gehört der Eigenvektor

\(\vec{x}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}\) und alle seine Vielfachen.

Zu dem Eigenwert \(\lambda_2 = 6\) gehört der Eigenvektor

\(\vec{x}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) und alle seine Vielfachen.

Hat man die Eigenvektoren berechnet, lässt sich ganz einfach der Eigenraum bestimmen.

Graphische Betrachtung

\(A \cdot \vec{x}_1 = \lambda_1 \cdot \vec{x}_1\)

\(\begin{pmatrix}3 & 0 \\ -9 & 6\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} = 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix}3 & 0 \\ -9 & 6\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 9 \end{pmatrix}\)

Im Koordinatensystem sind die beiden Vektoren \(\vec{x}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}\) und \(\lambda_1 \cdot \vec{x}_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ 9 \end{pmatrix}\) eingezeichnet.

\(A \cdot \vec{x}_2 = \lambda_2 \cdot \vec{x}_2\)

\(\begin{pmatrix}3 & 0 \\ -9 & 6\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = 6 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix}3 & 0 \\ -9 & 6\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \end{pmatrix}\)

Im Koordinatensystem sind die beiden Vektoren \(\vec{x}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\lambda_2 \cdot \vec{x}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \end{pmatrix}\) eingezeichnet.

Andreas Schneider

Hat dir meine Erklärung geholfen?
Facebook Like Button
Für Lob, Kritik und Anregungen habe ich immer ein offenes Ohr.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!