Orthogonale Matrix

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter einer orthogonalen Matrix versteht.

Eine orthogonale Matrix ist eine quadratische, reelle Matrix, deren Zeilen- und Spaltenvektoren paarweise orthonormal zueinander sind.

Wann sind Vektoren orthonormal zueinander?

Folgende Bedingungen müssen erfüllt sein

  1. Die Vektoren sind orthogonal zueinander
  2. Die Vektoren sind normiert

Zu 1.)
Im \(\mathbb{R}^2\) bzw. \(\mathbb{R}^3\) bedeutet orthogonal, dass die Vektoren senkrecht - also im 90° Grad Winkel - aufeinanderstehen. Rechnerisch sind zwei Vektoren orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt gleich Null ist.

Zu 2.)
Ein Vektor ist normiert, wenn er die Länge 1 besitzt. Man spricht dann auch von einem Einheitsvektor.

Mit diesem Wissen lässt sich die Definition umformulieren zu

Bilden die Spalten einer quadratischen Matrix ein System zueinander orthogonaler Einheitsvektoren, so heißt diese Matrix orthogonale Matrix.

Vektoren, die nicht nur orthogonal zueinander stehen sondern auch normiert sind, bezeichnet man als orthonormale Vektoren. Folglich müsste man die hier beschriebene Matrix orthonormale Matrix nennen. Dieser Begriff ist aber unüblich.

Eigenschaften

Hinweis: Eine orthogonale Matrix wird allgemein mit dem Buchstaben \(Q\) bezeichnet.

  • Die Inverse einer ortogonalen Matrix ist gleichzeitig ihre Transponierte.
    \(Q^{-1} = Q^{T}\)

  • Das Produkt einer orthogonalen Matrix mit ihrer Transponierten ergibt die Einheitsmatrix.
    \(Q \cdot Q^{T} = E\)

  • Die Determinante einer orthogonalem Matrix nimmt entweder den Wert +1 oder -1 an.

Anwendungen

Durch Multiplikation mit einer orthogonalen Matrix können Vektoren gedreht oder gespiegelt werden. Die Länge der Vektoren und der Winkel zwischen den Vektoren bleibt dabei erhalten.

Orthogonale Matrizen stellen sog. Kongruenzabbildungen dar (> Kongruenz). Dabei handelt es sich um Abbildungen, die weder die Form noch die Größe des geometrischen Objekts verändern. Zu den Kongruenzabbildungen gehören Spiegelungen und Drehungen.

Beispiele orthogonaler Matrizen

Eine orthogonale Matrix mit der Determinante -1 beschreibt eine Drehspiegelung.
Man spricht dann auch von einer uneigentlich orthogonalen Matrix.

Die orthogonale Matrix

\(Q = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\)

beschreibt eine Spiegelung an der Geraden \(y = x\). Diese Spiegelung vertauscht die \(x_1\)- und \(x_2\)-Komponente eines Vektors:

\(Q \cdot x = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot  \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_2 \\ x_1 \end{pmatrix} \)

Eine orthogonale Matrix mit der Determinante +1 beschreibt eine Drehung.
Man spricht dann auch von einer eigentlich orthogonalen Matrix.

Eine orthogonale Matrix, die die Drehung eines Vektors beschreibt, heißt Drehmatrix. Dieses Thema wird im nächsten Kapitel ausführlich besprochen.

Auf Orthogonalität prüfen

Wenn du eine Matrix vor dir hast und überprüfen sollst, ob es sich um eine orthogonale Matrix handelt, so ist es am einfachsten, wenn du die Eigenschaft \(Q \cdot Q^{T} = E\) überprüfst.

Beispiel

Handelt es sich bei der Matrix \(A\) um eine orthogonale Matrix?

\(A = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\)

Wir prüfen...

\(A \cdot A^T = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 &0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = E\)

...und kommen zu dem Ergebnis, dass es sich bei der Matrix \(A\) um eine orthogonale Matrix handelt.

Möchtest du zusätzlich noch wissen, ob es sich um eine

  • uneigentlich orthogonale Matrix (Drehspiegelung; Determinante = -1) oder eine
  • eigentlich orthogonale Matrix (Drehung; Determinante = +1)

handelt, musst du die Determinante der Matrix berechnen.

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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