Adjunkte

Die Adjunkte einer Matrix ist die Transponierte der Kofaktormatrix.

\(Adj(A) = Cof(A)^{T}\)

Folgende Kapitel werden vorausgesetzt:

Adjunkte berechnen - Beispiel

Gegeben ist die Matrix A

\(A = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 5 & 7 \end{pmatrix}\)

Zu berechnen ist die Adjunkte der Matrix A.

1.) Kofaktoren berechnen

Die Formel für den Kofaktor lautet

\(A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot D_{ij}\)

Dabei ist \(A_{ij}\) der Kofaktor, der sich aus der Multiplikation eines Vorzeichenfaktors \((-1)^{i+j}\) mit einer Unterdeterminante \(D_{ij}\) zusammensetzt.

Der Vorzeichenfaktor \((-1)^{i+j}\) ordnet jeder Unterdeterminante ein Vorzeichen zu. Elemente, deren Summe aus Zeilennummer \(i\) und Spaltennummer \(j\) ungerade ist, bekommen ein negatives Vorzeichen.

\(D_{ij}\) ist die Unterdeterminante, die man erhält, wenn man die i-te Zeile und die j-te Spalte streicht.

\(A_{11} = (-1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix}\bcancel{4} &\bcancel{3} \\\bcancel{5} &{\color{red}7} \end{vmatrix} ={\color{blue}7}\)

\(A_{12} = (-1)^{1+2} \cdot \begin{vmatrix}\bcancel{4} &\bcancel{3} \\{\color{red}5} &\bcancel{7} \end{vmatrix} ={\color{blue}-5}\)

\(A_{21} = (-1)^{2+1} \cdot \begin{vmatrix}\bcancel{4} &{\color{red}3} \\\bcancel{5} &\bcancel{7} \end{vmatrix} ={\color{blue}-3}\)

\(A_{22} = (-1)^{2+2} \cdot \begin{vmatrix}{\color{red}4} &\bcancel{3} \\\bcancel{5} &\bcancel{7} \end{vmatrix} ={\color{blue}4}\)

2.) Kofaktormatrix aufstellen

Die Elemente der Kofaktormatrix \(Cof(A)\) sind die entsprechenden Kofaktoren.

\(Cof(A) = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{\color{blue}7} &{\color{blue}-5} \\{\color{blue}-3} &{\color{blue}4} \end{pmatrix} \)

3.) Kofaktormatrix transponieren

Die Adjunkte einer Matrix ist die Transponierte der Kofaktormatrix.

\(Adj(A) = Cof(A)^{T} = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} \\ A_{12} & A_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{\color{blue}7} &{\color{blue}-3} \\{\color{blue}-5} &{\color{blue}4} \end{pmatrix}\)

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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