Rangsatz

Der Rangsatz (auch Dimensionssatz) zeigt den Zusammenhang zwischen der Dimension der Definitionsmenge, dem Kern und dem Bild einer Matrix \(A\).

\(\text{dim}(A) = \text{dim}(\text{ker}(A)) + \text{dim}(\text{img}(A))\)

Er besagt, dass die Anzahl der Spalten der Matrix \(A\) (= Dimension der Definitionsmenge) gleich der Summe der Dimension des Kerns und der Dimension des Bildes ist.

Da der Defekt der Dimension des Kerns entspricht und der Rang gleichbedeutend mit der Dimensions des Bildes ist, kann man den Rangsatz auch umformulieren zu

\(\text{dim}(A) = \text{def}(A) + \text{rang}(A)\)

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  • \(\text{def}(A) = \text{dim}(\text{ker}(A))\)
  • \(\text{rang}(A) = \text{dim}(\text{img}(A))\)

Anwendung des Rangsatzes

Der Rangsatz wird z.B. bei der Berechnung des Defekts einer Matrix verwendet. Der Rangsatz besagt nämlich, dass der Defekt gleich der Anzahl der Spalten der Matrix (= Dimension) abzüglich des Ranges ist.

\(\text{def}(A) = \text{dim}(A) - \text{rang}(A)\)

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Andreas Schneider

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