Kern einer Matrix

In diesem Kapitel wird der Begriff "Kern einer Matrix" erklärt und gezeigt, wie man den Kern einer Matrix berechnen kann.

Gegeben ist folgende Aufgabenstellung

\(\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots &\vdots & \ddots &\vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix} v_{1} \\ v_{2} \\ \vdots \\ v_{n}\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}
\)

Multipliziert man eine Matrix \(A\) mit einem Vektor \(v\) und erhält als Lösung den Nullvektor, so heißt der Vektor \(v\) Kern der Matrix.

Der Kern ist also die Lösungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystems \(A \cdot v = 0\).

Kern einer Matrix berechnen - Beispiele

Bei quadratischen Matrizen lässt sich mit Hilfe der Determinante leicht herausfinden, ob ein Kern (d.h. eine Lösung des obigen Gleichungssystems) überhaupt existiert.

Eine quadratische Matrix \(A\) besitzt einen Kern, wenn ihre Determinante gleich Null ist.

\(\det(A) = 0 \quad \rightarrow \quad \text{Kern existiert}\)

Wäre die Determinante der quadratischen Matrix \(A\) ungleich Null, so enthielte der Kern der Matrix nur den Nullvektor.

Kern einer Matrix berechnen - 2x2 Beispiel (Determinante ungleich Null)

Gesucht ist der Kern folgender 2x2 Matrix, falls er existiert.

\(A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\)

Gibt es einen Kern?

\(|A| = \begin{vmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = -2\)

Da die Determinante ungleich Null ist, besitzt diese Matrix keinen Kern (außer den Nullvektor selbst).

Kern einer Matrix berechnen - 2x2 Beispiel (Determinante gleich Null)

Gesucht ist der Kern folgender 2x2 Matrix, falls er existiert.

\(A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\)

Gibt es einen Kern?

\(|A| = \begin{vmatrix}1 & 2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 0\)

Da die Determinante gleich Null ist, besitzt diese Matrix einen Kern.

Ansatz zur Berechnung des Kerns

\(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix} v_{1} \\ v_{2} \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 0 \\ 0\end{pmatrix}\)

oder als Gleichungssystem geschrieben

\(\begin{align*}
v_1 + 2v_2 = 0\\
v_1 + 2v_2 = 0\\
\end{align*}\)

Da beide Zeilen des Gleichungssystems dieselbe Aussage treffen, reicht es, wenn man nur eine Zeile betrachtet.

\(v_1 + 2v_2 = 0 \quad \text{bzw.} \quad v_1 = -2v_2\)

Wir haben eine Gleichung mit 2 Unbekannten. Es gibt also keine eindeutige Lösung, sondern unendlich viele. Die einzige Forderung, die erfüllt sein muss, heißt: \(v_1 = -2v_2\).

Wenn wir jetzt \(v_1 = 1\) setzen, so erhalten wir \(v_2 = -0,5\). Damit haben wir bereits einen Kern der Matrix gefunden. Demzufolge gilt

\(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix} 1 \\ -0,5 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 0 \\ 0\end{pmatrix}\)

Das ist aber nicht die einzige Lösung! Setzen wir \(v_1 = 2\), so erhalten wir \(v_2 = -1\).

\(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 0 \\ 0\end{pmatrix}\)

Vielleicht ist dir jetzt bereits aufgefallen, nach welchem Schema man die Kerne eine Matrix erhält. Die Kerne sind Vielfache des Vektors

\(\begin{pmatrix} 1 \\ -0,5 \end{pmatrix}\)

An dieser Stelle müssen wir unsere Lösung nur noch etwas mathematischer formulieren

\(\text{ker}(A) =\left\{\lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -0,5 \end{pmatrix} | \lambda \in \mathbb{R}\right\}\)

Kern einer Matrix berechnen - 3x3 Beispiel (Determinante gleich Null)

Gesucht ist der Kern folgender 3x3 Matrix, falls er existiert.

\(A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}\)

Gibt es einen Kern?

\(|A| =\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 0\)

Da die Determinante gleich Null ist, besitzt diese Matrix einen Kern.

Ansatz zur Berechnung des Kerns

\(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)

oder als Gleichungssystem geschrieben

\(\begin{align*}
v_1 + 2v_2 + 3v_3 &= 0\\
4v_1 + 5v_2 + 6v_3 &= 0\\
7v_1 + 8v_2 + 9v_3 &= 0\\
\end{align*}\)

Gleichungssysteme löst man gewöhnlich mit dem Gauß-Algorithmus. Dementsprechend rechnen wir im Folgenden

\(\text{2. Zeile} - 4 \cdot \text{1. Zeile}\)

und

\(\text{3. Zeile} - 7 \cdot \text{1. Zeile}\)

um \(v_1\) in der 2. und 3. Zeile zu eliminieren.

Das Gleichungssystem sieht nach den Berechnungen dann so aus

\(\begin{align*}
v_1 + 2v_2 + 3v_3 &= 0\\
-3v_2 - 6v_3 &= 0\\
-6v_2 - 12v_3 &= 0\\
\end{align*}\)

Im nächsten Schritt wollen wir \(v_2\) in der 3. Zeile eliminieren. Dazu rechnen wir:

\(\text{3. Zeile} - 2 \cdot \text{2. Zeile}\)

Das Gleichungssystem sieht danach so aus

\(\begin{align*}
v_1 + 2v_2 + 3v_3 &= 0\\
-3v_2 - 6v_3 &= 0\\
0 &= 0\\
\end{align*}\)

Wir haben zwei Gleichungen mit 3 Unbekannten. Es gibt also keine eindeutige Lösung, sondern unendlich viele. Außerdem existiert ein Freiheitsgrad. Das bedeutet, dass wir für eine Unbekannte einen beliebigen Wert einsetzen können.

Wir setzen \(v_3 = 1\). Mit Hilfe der 2. Zeile können wir jetzt \(v_2\) berechnen.

\(-3v_2 - 6 \cdot 1 = 0 \quad \rightarrow \quad v_2 = -2\)

Setzen wir \(v_2 = -2\) und \(v_3 = 1\) in die 1. Zeile ein, so erhalten wir für \(v_1\)

\(v_1 + 2 \cdot (-2) + 3 \cdot 1 = 0 \quad \rightarrow \quad v_1 = 1\)

Der Kern der Matrix \(A\) sind also alle Vielfachen des Vektors

\(\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\)

oder in mathematischer Schreibweise

\(\text{ker}(A) =\left\{\lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} | \lambda \in \mathbb{R}\right\}\)

Andreas Schneider

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Andreas Schneider


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