Drehmatrix

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter einer Drehmatrix versteht.

Um dieses Thema zu verstehen, solltest du bereits wissen, was eine orthogonale Matrix ist.

Eine Drehmatrix ist eine orthogonale Matrizen mit der Determinante +1.

Drehmatrizen beschreiben Drehungen im euklidischen Raum. Oftmals spricht man auch von Rotationsmatrizen bzw. einer Rotationsmatrix.

Drehmatrix im \(\mathbb{R}^2\)

Die Drehmatrix für den zweidimensionalen Raum lautet

\(R_{\alpha}= \begin{pmatrix}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}\)

Möchte man einen Vektor \(\vec{v}\) um einen bestimmten Winkel \(\alpha\) (gegen den Uhrzeigersinn!) drehen, so rechnet man

\(R_{\alpha} \cdot \vec{v} = \begin{pmatrix}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}\)

Die Koordinaten des Bildvektors \(\vec{v}^{,}\) berechnen sich demzufolge zu

\(\begin{align*}
x' &= x \cdot \cos \alpha - y \cdot \sin \alpha \\
y' &= x \cdot \sin \alpha + y \cdot \cos \alpha
\end{align*}\)

Falls du dich über das obige Gleichungssystem wunderst, solltest du die Matrixmultiplikation noch einmal wiederholen. Hier wurde nämlich lediglich eine Matrix mit einem Vektor (= einspaltige Matrix) multipliziert.

Zusammengefasst bedeutet das:

\(R_{\alpha} \cdot \vec{v} = \begin{pmatrix}x \cdot \cos \alpha - y \cdot \sin \alpha \\ x \cdot \sin \alpha + y \cdot \cos \alpha\end{pmatrix}\)

Beispiel

Der Vektor \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\) soll um 30 Grad gedreht werden.

Rechenansatz

\(R_{30°} \cdot \vec{v} = \begin{pmatrix}\cos(30°) & -\sin(30°) \\ \sin(30°) & \cos(30°) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\)

Nebenrechnung

\(\begin{align*}
x' &= 2 \cdot \cos(30°) - 1 \cdot \sin(30°) \approx 1,23 \\
y' &= 2 \cdot \sin(30°) + 1 \cdot \cos(30°) \approx 1,87
\end{align*}\)

Ergebnis

\(R_{30°} \cdot \vec{v} = \begin{pmatrix}\cos(30°) & -\sin(30°) \\ \sin(30°) & \cos(30°) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 1,23 \\ 1,87 \end{pmatrix}\)

Im Koordinatensystem ist der Vektor
\(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\)
sowie sein Bildvektor,
\(\vec{v}^{,} = \begin{pmatrix} 1,23 \\ 1,87 \end{pmatrix}\)
der aus einer 30-Grad-Drehung gegen den Uhrzeigersinn entsteht, eingezeichnet.

In der Abbildung gilt: \(\alpha = 30°\).

Drehmatrizen im \(\mathbb{R}^3\)

Drehung um die x-Achse

\(R_x(\alpha)= \begin{pmatrix}{\color{red}1} &{\color{red}0}&{\color{red}0}\\{\color{red}0}& \cos \alpha & -\sin \alpha \\{\color{red}0}& \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}\)

Drehung um die y-Achse

\(R_y(\alpha)= \begin{pmatrix} \cos \alpha &{\color{red}0}& \sin \alpha\\{\color{red}0}&{\color{red}1}&{\color{red}0} \\ -\sin \alpha &{\color{red}0}& \cos \alpha \end{pmatrix}\)

Drehung um die z-Achse

\(R_z(\alpha)= \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha &{\color{red}0}\\ \sin \alpha & \cos \alpha &{\color{red}0}\\{\color{red}0}&{\color{red}0}&{\color{red}1}\end{pmatrix}\)

Aktive Drehung vs. passive Drehung

Bei der aktiven Drehung wird der Vektor bewegt. Das Koordinatensystem bleibt wie es ist. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von einer "geometrischen Transformation", da das geometrische Objekt transformiert wird.

Bei der passiven Drehung wird das Koordinatensystem gedreht. Der Vektor bleibt wie er ist. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von einer "Koordinatentransformation", da die Koordinaten in ein neues Koordinatensystem transformiert werden.

Alle obigen Drehmatrizen beschreiben eine Drehung des Vektors (aktive Drehung) im mathematisch positiven Sinne (gegen den Uhrzeigersinn).

Wie berechnet man eine passive Drehung?

Dazu brauchen wir die Inverse der Drehmatrix \(D^{-1}\).

Wegen \(D^{T} \cdot D = E\) gilt: \(D^{T} = D^{-1}\). Wir müssen unsere Drehmatrizen also nur transponieren, um von einer aktiven auf eine passive Drehung zu kommen.

Aktive Drehung

  • im mathematisch positiven Sinne (gegen den Uhrzeigersinn)
  • der Punkt wird wegdreht; man erhält einen neuen Punkt mit anderem Ortsvektor;
  • das Koordinatenssystem bleibt unverändert

\(R_{\alpha}= \begin{pmatrix}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}\)

Passive Drehung

  • im mathematisch negativen Sinne (im Uhrzeigersinn)
  • man erhält denselben Punkt, jedoch mit anderen Koordinaten, da das Koordinatensystem gedreht wird

\(R^{-1}_{\alpha}= \begin{pmatrix}\cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}\)

Herleitung der Drehmatrix im \(\mathbb{R}^2\) - Video

In diesem Mathe Video (7:43 min) wird dir ausführlich erläutert, wie man auf die Drehmatrix im \(\mathbb{R}^2\) kommt.

Schau dir zunächst das obige Lernvideo an, bevor du weiterliest!

Für die kanonische Standardbasis gilt:
Die Spalten einer Matrix sind die Bilder der Einheitsvektoren (vgl. Artikel zum Bild einer Matrix).

\(\begin{pmatrix}{\color{red}a_{11}} & a_{12} \\{\color{red}a_{21}} & a_{22} \end{pmatrix} \cdot  \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{\color{red}a_{11}} \\{\color{red}a_{21}} \end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix}a_{11}&{\color{red}a_{12}}\\a_{21} & {\color{red}a_{22}} \end{pmatrix} \cdot  \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{\color{red}a_{12}} \\{\color{red}a_{22}} \end{pmatrix}\)

Im Koordinatensystem ist der Einheitsvektor
\(\vec{e}_x = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)
eingezeichnet.

Diesen Einheitsvektor wollen wir gegen den Uhrzeigersinn um den Winkel \(\alpha\) drehen.

Es entsteht der Bildvektor \(\vec{e}^{,}_x\).

Jetzt lesen wir die Koordinaten des Bildvektors mit Hilfe des Einheitskreises und einiger trigonometrischer Kenntnisse ab. Auf diese Weise erhalten wir:
\(\vec{e}^{,}_x =\begin{pmatrix}\cos \alpha \\ \sin \alpha \end{pmatrix}\)

Dasselbe Vorgehen beim anderen Einheitsvektor
\(\vec{e}_y = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)
liefert die Koordinaten des zweiten Bildvektors
\(\vec{e}^{,}_y =\begin{pmatrix} -\sin \alpha \\ \cos \alpha \end{pmatrix}\)

Die beiden eben berechneten Bildvektoren

\(\vec{e}^{,}_x =\begin{pmatrix}\cos \alpha \\ \sin \alpha \end{pmatrix}\)

\(\vec{e}^{,}_y =\begin{pmatrix} -\sin \alpha \\ \cos \alpha \end{pmatrix}\)

bilden die Spalten der Drehmatrix.

Die Drehmatrix im \(\mathbb{R}^2\) lautet folglich

\(R_{\alpha}= \begin{pmatrix}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}\)

Diese Matrix beschreibt eine Drehung eines beliebigen Vektors des \(\mathbb{R}^2\) um \(\alpha\)-Grad gegen den Uhrzeigersinn.

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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