Matrizen subtrahieren

Voraussetzung für die Subtraktion von Matrizen

Matrizen lassen sich nur dann subtrahieren, wenn die beteiligten Matrizen jeweils die gleiche Anzahl an Zeilen und Spalten besitzen.

Beispiel 1

\(A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix}; \qquad B=\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \end{pmatrix};\)

Das Subtrahieren von \(A\) und \(B\) ist möglich,
da die beiden Matrizen in Zeilen- und Spaltenzahl übereinstimmen.

Beispiel 2

\(A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix}; \qquad B=\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix};\)

Das Subtrahieren von \(A\) und \(B\) ist nicht möglich,
da die beiden Matrizen nicht in Zeilen- und Spaltenzahl übereinstimmen.

Wie subtrahiert man Matrizen?

Allgemeines Beispiel

\(A=\begin{pmatrix} {\color{red}a_{11}} & {\color{orange}a_{12}} \\ {\color{blue}a_{21}} & {\color{cyan}a_{22}} \end{pmatrix}; \qquad B=\begin{pmatrix} {\color{red}b_{11}} & {\color{orange}b_{12}} \\ {\color{blue}b_{21}} & {\color{cyan}b_{22}} \end{pmatrix};\)

\(A - B = \begin{pmatrix} {\color{red}a_{11}}-{\color{red}b_{11}} & {\color{orange}a_{12}}-{\color{orange}b_{12}} \\ {\color{blue}a_{21}}-{\color{blue}b_{21}} & {\color{cyan}a_{22}}-{\color{cyan}b_{22}} \end{pmatrix}\)

Konkretes Beispiel

\(A=\begin{pmatrix} 8 & 7 \\ 6 & 5 \end{pmatrix}; \qquad B=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix};\)

\(A - B = \begin{pmatrix} 8-1 & 7-2 \\ 6-3 & 5-4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 7 & 5 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}\)

Bezeichnung der Ergebnismatrix

Das Ergebnis der Subtraktion (also die Matrix \(D = A - B\)) heißt Differenzmatrix.

Dimension der Ergebnismatrix

Die Differenzmatrix \(D\) besitzt genauso viele Zeilen und Spalten wie die Matrizen \(A\) und \(B\).

Rechnen mit Matrizen

	Voraussetzung
Matrizen addieren	Anzahl der Zeilen und Spalten von \(A\) und \(B\) stimmen überein
Matrizen subtrahieren	Anzahl der Zeilen und Spalten von \(A\) und \(B\) stimmen überein
Matrizen multiplizieren	Anzahl der Spalten von \(A\) entspricht Anzahl der Zeilen von \(B\)

Hinweis: Die Division von Matrizen ist nicht definiert. In manchen Fällen ist aber eine Multiplikation mit der Kehrmatrix (> Inverse Matrix) möglich: \(A / B = A \cdot B^{-1}\).