Matrizen subtrahieren

In diesem Kapitel schauen wir uns an, auf welche Weise man Matrizen subtrahieren kann.

In folgendem Mathe Video (3:39 min) wird dir anhand eines anschaulichen Beispiels erklärt,
wie man am einfachsten Matrizen addiert und subtrahiert.

Voraussetzung für die Subtraktion von Matrizen

Matrizen lassen sich nur dann subtrahieren, wenn die beteiligten Matrizen jeweils die gleiche Anzahl an Zeilen und Spalten besitzen.

Beispiel 1

\(A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix}; \qquad B=\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \end{pmatrix};\)

Das Subtrahieren von \(A\) und \(B\) ist möglich,
da die beiden Matrizen in Zeilen- und Spaltenzahl übereinstimmen.

Beispiel 2

\(A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix}; \qquad B=\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix};\)

Das Subtrahieren von \(A\) und \(B\) ist nicht möglich,
da die beiden Matrizen nicht in Zeilen- und Spaltenzahl übereinstimmen.

Wie subtrahiert man Matrizen?

Matrizen werden subtrahiert, indem man die sich entsprechenden Einträge der Ausgangsmatrizen subtrahiert.

Allgemeines Beispiel

\(A=\begin{pmatrix} {\color{red}a_{11}} & {\color{orange}a_{12}} \\ {\color{blue}a_{21}} & {\color{cyan}a_{22}} \end{pmatrix}; \qquad B=\begin{pmatrix} {\color{red}b_{11}} & {\color{orange}b_{12}} \\ {\color{blue}b_{21}} & {\color{cyan}b_{22}} \end{pmatrix};\)

\(A - B = \begin{pmatrix} {\color{red}a_{11}}-{\color{red}b_{11}} & {\color{orange}a_{12}}-{\color{orange}b_{12}} \\ {\color{blue}a_{21}}-{\color{blue}b_{21}} & {\color{cyan}a_{22}}-{\color{cyan}b_{22}} \end{pmatrix}\)

Konkretes Beispiel

\(A=\begin{pmatrix} 8 & 7 \\ 6 & 5 \end{pmatrix}; \qquad B=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix};\)

\(A - B = \begin{pmatrix} 8-1 & 7-2 \\ 6-3 & 5-4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 7 & 5 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}\)

Bezeichnung der Ergebnismatrix

Das Ergebnis der Subtraktion (also die Matrix \(D = A - B\)) heißt Differenzmatrix.

Dimension der Ergebnismatrix

Die Differenzmatrix \(D\) besitzt genauso viele Zeilen und Spalten wie die Matrizen \(A\) und \(B\).

Rechnen mit Matrizen

  Voraussetzung
Matrizen addieren Anzahl der Zeilen und Spalten von \(A\) und \(B\) stimmen überein
Matrizen subtrahieren Anzahl der Zeilen und Spalten von \(A\) und \(B\) stimmen überein
Matrizen multiplizieren Anzahl der Spalten von \(A\) entspricht Anzahl der Zeilen von \(B\)

Hinweis: Die Division von Matrizen ist nicht definiert. In manchen Fällen ist aber eine Multiplikation mit der Kehrmatrix (> Inverse Matrix) möglich: \(A / B = A \cdot B^{-1}\).

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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