Matrizen subtrahieren

Voraussetzung für die Subtraktion von Matrizen

Matrizen lassen sich nur dann subtrahieren, wenn die beteiligten Matrizen jeweils die gleiche Anzahl an Zeilen und Spalten besitzen.

Beispiel 1

\(A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix}; \qquad B=\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \end{pmatrix};\)

Das Subtrahieren von \(A\) und \(B\) ist möglich,
da die beiden Matrizen in Zeilen- und Spaltenzahl übereinstimmen.

Beispiel 2

\(A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix}; \qquad B=\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix};\)

Das Subtrahieren von \(A\) und \(B\) ist nicht möglich,
da die beiden Matrizen nicht in Zeilen- und Spaltenzahl übereinstimmen.

Wie subtrahiert man Matrizen?

Allgemeines Beispiel

\(A=\begin{pmatrix} {\color{red}a_{11}} & {\color{orange}a_{12}} \\ {\color{blue}a_{21}} & {\color{cyan}a_{22}} \end{pmatrix}; \qquad B=\begin{pmatrix} {\color{red}b_{11}} & {\color{orange}b_{12}} \\ {\color{blue}b_{21}} & {\color{cyan}b_{22}} \end{pmatrix};\)

\(A - B = \begin{pmatrix} {\color{red}a_{11}}-{\color{red}b_{11}} & {\color{orange}a_{12}}-{\color{orange}b_{12}} \\ {\color{blue}a_{21}}-{\color{blue}b_{21}} & {\color{cyan}a_{22}}-{\color{cyan}b_{22}} \end{pmatrix}\)

Konkretes Beispiel

\(A=\begin{pmatrix} 8 & 7 \\ 6 & 5 \end{pmatrix}; \qquad B=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix};\)

\(A - B = \begin{pmatrix} 8-1 & 7-2 \\ 6-3 & 5-4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 7 & 5 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}\)

Bezeichnung der Ergebnismatrix

Das Ergebnis der Subtraktion (also die Matrix \(D = A - B\)) heißt Differenzmatrix.

Dimension der Ergebnismatrix

Die Differenzmatrix \(D\) besitzt genauso viele Zeilen und Spalten wie die Matrizen \(A\) und \(B\).

Rechnen mit Matrizen

Hinweis: Die Division von Matrizen ist nicht definiert. In manchen Fällen ist aber eine Multiplikation mit der Kehrmatrix (> Inverse Matrix) möglich: \(A / B = A \cdot B^{-1}\).