Hauptachsen­transformation

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was die Hauptachsen­transformation ist.

Definition 

Die Hauptachsen­transformation ist ein Verfahren der linearen Algebra, um Gleichungen sogenannter Hyperflächen zweiter Ordnung in einer Normalform darstellen und klassifizieren zu können.

Der Einfachheit halber beschränken wir uns bei der folgenden Betrachtung auf den $\mathbb{R}^2$.

Um den Sinn und Zweck der Hauptachsen­transformation zu verstehen, ist es notwendig, zunächst einige Begriffe zu definieren:

  • Eine Quadrik ist die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung mit mehreren Unbekannten. Im $\mathbb{R}^2$ (d. h. bei zwei Unbekannten) bildet eine Quadrik in der Regel eine Kurve in der Ebene. Bei dieser Kurve handelt es sich um einen sog. Kegelschnitt.
  • Ein Kegelschnitt ist eine Kurve, die entsteht, wenn man die Oberfläche eines (Doppel-)Kegels mit einer Ebene schneidet. Enthält die Schnittebene die Kegelspitze, so entsteht als Schnitt entweder ein Punkt oder eine Gerade oder ein sich schneidendes Geradenpaar. Ist die Spitze nicht enthalten, so entsteht eine Ellipse, eine Parabel oder eine Hyperbel.
  • Hyperflächen sind geometrische Objekte, deren Dimension um genau eins geringer ist als die Dimension des Raumes, in dem sie dargestellt werden. Hyperflächen zweiter Ordnung im $\mathbb{R}^2$ bezeichnet man als Kegelschnitte. Zweite Ordnung meint, dass in der Bestimmungsgleichung die Variablen höchstens in der zweiten Potenz auftreten.

Mit diesem Wissen können wir die Definition der Hauptachsen­transformation vereinfachen zu

Die Hauptachsen­transformation ist ein Verfahren der linearen Algebra, um Gleichungen von Kegelschnitten in einer Normalform darstellen und klassifizieren zu können.

Zu Beginn einer Hauptachsen­transformation ist eine Kegelschnittgleichung gegeben:

Allgemeine Gleichung für Kegelschnitte

$$ ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0 $$

Diese wollen wir im Rahmen der Hauptachsen­transformation so umformen, dass wir erkennen, um welchen Kegelschnitt es sich handelt.

Klassifikation von Kegelschnitten 

Die folgende Tabelle enthält alle Lösungsfälle, die im Rahmen einer Hauptachsen­transformation vorkommen können. Ziel ist es, die Gleichung, die du als Lösung berechnet hast, mit den Gleichungen in dieser Tabelle zu vergleichen, um den in der Aufgabe gegebenen Kegelschnitt zu klassifizieren.

Ein Kegelschnitt ist eine Kurve, die entsteht, wenn man die Oberfläche eines Doppelkegels mit einer Ebene schneidet.

Nicht ausgeartete Kegelschnitte
Wenn die Schnittebene die Kegelspitze nicht enthält,
entstehen die nicht ausgearteten Kegelschnitte.
Ellipse$$\frac{x^2}{\alpha^2} + \frac{y^2}{\beta^2}= 1$$
Hyperbel$$\frac{x^2}{\alpha^2} - \frac{y^2}{\beta^2} = 1$$
Parabel$$\frac{x^2}{\alpha^2} = 2y$$
Ausgeartete Kegelschnitte
Wenn die Schnittebene durch die Kegelspitze geht,
entstehen die ausgearteten Kegelschnitte.
Punkt$$\frac{x^2}{\alpha^2} + y^2 = 0$$
Doppelgerade$$x^2 = 0$$
Zwei sich schneidende Geraden$$\frac{x^2}{\alpha^2} - y^2 = 0$$
Ausnahmen sind Quadriken, die keine Kegelschnitte sind
Zwei parallele Geraden$$\frac{x^2}{\alpha^2} = 1$$
Leere Menge$$\frac{x^2}{\alpha^2} + \frac{y^2}{\beta^2} = -1$$
oder

$$x^2 = -1$$

Dabei gilt: $\alpha > 0$ und $\beta > 0$.

Leider gibt es für die Normalformen von Kegelschnitten keine einheitliche Schreibweise. Die Lehrbücher unterscheiden sich teilweise sehr stark voneinander.

Vorgehensweise 

Eine Hauptachsen­transformation lässt sich in drei Schritte einteilen:

Drehung

Verschiebung

Klassifikation

Beispiel 1 

Gegeben ist die Gleichung eines Kegelschnitts

$$ 4x^2 + 2xy + 4y^2 + 10x - 6y - 20 = 0 $$

In der Abbildung ist der Kegelschnitt eingezeichnet. Wir sehen sofort, dass es sich um eine Ellipse handelt. An der gegebenen Gleichung lässt sich das jedoch nicht ablesen. Erst nach einigen Umformungen ist eine Klassifizierung möglich.

Abb. 1 

Drehung

Im 1. Schritt der Hauptachsen­transformation nehmen wir eine Drehung des Kegelschnitts vor.

Rechnerisch bedeutet das, dass der gemischte Term ($xy$) in der Gleichung verschwindet.

Die Gleichung des gedrehten Kegelschnitts lautet

$$ 5x^2 + 3y^2 + 2\sqrt{2}x - 8\sqrt{2}y - 20 = 0 $$

Abb. 2 

Verschiebung

Im 2. Schritt der Hauptachsen­transformation nehmen wir eine Verschiebung des Kegelschnitts vor.

Rechnerisch bedeutet das, dass die nicht-quadratischen Terme (d. h. $x$ und $y$) in der Gleichung verschwinden.

Die Gleichung des verschobenen (und gedrehten) Kegelschnitts lautet

$$ 5x^2 + 3y^2 - \frac{466}{15} = 0 $$

Abb. 3 

Klassifikation

Im 3. und letzten Schritt nehmen wir eine Klassifikation der Kegelschnittgleichung vor. Dazu vergleichen wir die in der Hauptachsen­transformation berechnete Gleichung $5x^2 + 3y^2 - \frac{466}{15} = 0$ mit den Gleichungen aus dem Abschnitt Klassifikation von Kegelschnitten.

Wenn wir den konstanten Term auf die rechte Seite bringen

$$ 5x^2 + 3y^2 = \frac{466}{15} $$

sehen wir sofort, dass die berechnete Kegelschnittgleichung am ehesten der Gleichung einer Ellipse, also

$$ \frac{x^2}{\alpha^2} + \frac{y^2}{\beta^2}= 1 $$

ähnelt.

Damit sind wir am Ziel: Wir haben rechnerisch herausgefunden, dass es sich um eine Ellipse handelt.

Das Prinzip sollte jetzt klar sein. Offen bleibt allerdings die Frage, welche einzelnen Rechenschritte für eine Drehung und Verschiebung des Kegelschnitts notwendig sind.

Drehung 

Ziel: Elimination des gemischten Terms ($xy$) aus der Gleichung

Graphische Bedeutung: Drehung (Rotation) des Kegelschnitts

Gleichung in Matrixdarstellung umformen

Matrix diagonalisieren

Charakteristisches Polynom berechnen

Nullstellen des charakteristischen Polynoms berechnen

Diagonalmatrix aufstellen

Transformationsmatrix berechnen

Eigenvektoren berechnen

Eigenvektoren normalisieren

Transformationsmatrix aufstellen

Matrixgleichung umformen

Matrixgleichung ausmultiplizieren

zu 1)

Im ersten Schritt müssen wir die gegebene Kegelschnittgleichung

$$ ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0 $$

in folgende Matrixform bringen

$$ x^T A x + u^T x + c = 0 $$

Diese Matrixdarstellung bedeutet ausgeschrieben

$$ \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_ {11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} u_1 & u_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} +c = 0 $$

Da es sich bei der Matrix $A$ laut Definition um eine symmetrische Matrix handelt, sind die beiden Einträge $a_{12}$ und $a_{21}$ identisch. Die Darstellung kann demnach vereinfacht werden zu:

$$ \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_ {11} & a_{s} \\ a_{s} & a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} u_1 & u_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} +c = 0 $$

$$ \fcolorbox{RoyalBlue}{RoyalBlue}{${\color{white}x^T A x}$} $$

Wenn wir den ersten Teil der Gleichung ausmultiplizieren

$$ x^T A x = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_ {11} & a_{s} \\ a_{s} & a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = a_{11}x^2 + 2a_{s}xy + a_{22}y^2 $$

und die Koeffizienten miteinander vergleichen

$$ {\color{red}a}x^2 + {\color{red}b}xy + {\color{red}c}y^2 + dx + ey + f = 0 $$

$$ {\color{red}a_{11}}x^2 + {\color{red}2a_{s}}xy + {\color{red}a_{22}}y^2 $$

können wir feststellen, dass gilt:

  • $a_{11} = a$
  • $2a_{s} = b \quad \Rightarrow \quad a_{s} = \frac{b}{2}$
  • $a_{22} = c$

$$ x^T A x = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & \frac{b}{2} \\ \frac{b}{2} & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$

$$ \fcolorbox{RoyalBlue}{RoyalBlue}{${\color{white}u^Tx}$} $$

Wenn wir den zweiten Teil der Gleichung ausmultiplizieren

$$ u^T x = \begin{pmatrix} u_1 & u_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = u_1 x + u_2 y $$

und die Koeffizienten miteinander vergleichen

$$ ax^2 + bxy + cy^2 + {\color{red}d}x +{\color{red}e}y + f = 0 $$

$$ {\color{red}u_1}x + {\color{red}u_2}y $$

können wir feststellen, dass gilt:

  • $u_1 = d$
  • $u_2 = e$

$$ u^T x = \begin{pmatrix} d & e \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$

$$ \fcolorbox{RoyalBlue}{RoyalBlue}{${\color{white}c}$} $$

Die konstante Zahl $c$ in der Matrixdarstellung

$$ x^T A x + u^T x + {\color{red}c} = 0 $$

entspricht schließlich der konstanten Zahl $f$ in der allgemeinen Kegelschnittgleichung

$$ ax^2 + bxy + cy^2 + dx +ey +{\color{red}f}= 0 $$

  • $c = f$

Die Matrixdarstellung einer Kegelschnittgleichung

$$ ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0 $$

lautet demnach

$$ \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & \frac{b}{2} \\ \frac{b}{2} & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} d & e \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} +f = 0 $$

zu 2)

Im zweiten Schritt müssen wir die Matrix diagonalisieren.

Wie bereits erwähnt, handelt es sich bei der Matrix $A$ um eine symmetrische Matrix. Dies ist ganz praktisch, denn symmetrische Matrizen sind stets diagonalisierbar – d. h. eine Überprüfung auf Diagonalisierbarkeit entfällt!

zu 3)

Mathematisch betrachtet handelt es sich bei der Drehung der Quadrik um eine sog. Koordinatentransformation. Dabei werden Koordinaten von einem Koordinatensystem in ein anderes übertragen.

Um die Koordinatentransformation durchzuführen, brauchen wir eine Transformationsmatrix. Dabei handelt es sich um eine orthogonale Matrix. Mit ihrer Hilfe können wir die Quadrik in ein anderes Koordinatensystem übertragen, ohne dass sich deren Form oder Größe ändert. Es wird somit eine kongruente Abbildung erzeugt.

zu 4)

Die Matrixgleichung

$$ x^T A x + u^T x + c = 0 $$

soll umgeformt werden zu

$$ x^T TDT^T x + u^T T T^T x + c = 0 $$

  • $D$ ist die Diagonalmatrix, die in Schritt 2 berechnet wird
  • $T$ ist die Transformationsmatrix, die in Schritt 3 berechnet wird

Die beiden Gleichungen

$x^T {\color{red}A} x + u^T x + c = 0$ und

$$ x^T {\color{red}TDT^T} x + u^T {\color{red}TT^T} x + c = 0 $$

sind gleichwertig, da gilt:

  • $A = TDT^T$ (Eigenschaft einer diagonalisierbaren Matrix)
  • $TT^T = 1$ (Eigenschaft einer orthogonalen Matrix)

Jetzt führen wir die neue Koordinate $y$ ein, um die Koordinatentransformation durchzuführen.

Wir definieren: $x = Ty$.

Jetzt multiplizieren wir die Gleichung (von links) mit $T^T$, um die Gleichung nach $y$ aufzulösen

$$ x = Ty \quad |\, \cdot T^T $$

$$ T^Tx = T^TTy \quad |\, T^T T = 1 $$

$$ T^Tx = y $$

Darüber hinaus gilt: $x^T = (Ty)^T = y^T T^T$

Jetzt multiplizieren wir die Gleichung (von rechts) mit $T$, um die Gleichung nach $y^T$ aufzulösen

$$ x^T = y^T T^T \quad |\, \cdot T $$

$$ x^T T = y^T T^T T \quad |\, T^T T = 1 $$

$$ x^T T = y^T $$

Mithilfe der beiden Gleichungen $y = T^Tx$ und $y^T = x^T T$, die wir gerade hergeleitet haben, können wir die Matrixgleichung

$$ x^TTDT^T x + u^T TT^T x + c = 0 $$

umformen zu

$$ y^T D y + u^T T y + c = 0 $$

Verschiebung 

Ziel: Elimination der nicht-quadratischen Terme ($x$ und $y$) aus der Gleichung

Graphische Bedeutung: Verschiebung (Translation) des Kegelschnitts

Hierzu müssen wir eine quadratische Ergänzung durchzuführen, die aus folgenden Schritten besteht:

Faktor vor dem quadratischen Term ($\boldsymbol{x^2}$ bzw. $\boldsymbol{y^2}$) ausklammern

Zahl $\boldsymbol{p}$ vor der einfachen Variable ($\boldsymbol{x}$ bzw. $\boldsymbol{y}$) herausfinden

$\boldsymbol{\left(\frac{p}{2}\right)^2}$ berechnen

Quadratische Ergänzung

Ausmultiplizieren

Binomische Formel anwenden

Binome durch $\boldsymbol{x}$ bzw. $\boldsymbol{y}$ ersetzen

Klassifikation 

Im letzten Schritt vergleichen wir die Gleichung des gedrehten (1. Schritt) und verschobenen (2. Schritt) Kegelschnitts mit den Gleichungen aus der Tabelle des Abschnitts Klassifikation von Kegelschnitten.

Beispiel 

Beispiel 2 

Gegeben ist folgende Kegelschnittgleichung

$$ 4x^2 + 2xy + 4y^2 + 10x - 6y - 20 = 0 $$

Drehung 

Gleichung in Matrixdarstellung umformen

Allgemein

$$ ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0 $$

$$ \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & \frac{b}{2} \\ \frac{b}{2} & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} d & e \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} +f = 0 $$

Auf das Beispiel angewendet

$$ 4x^2 + 2xy + 4y^2 + 10x - 6y - 20 = 0 $$

$$ \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 10 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} -20 = 0 $$

Matrix diagonalisieren

Jetzt müssen wir die Matrix $A$ diagonalisieren

$$ A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} $$

Charakteristisches Polynom berechnen

$$ \begin{align*} \begin{vmatrix} (4-\lambda) & 1 \\ 1 & (4-\lambda) \end{vmatrix} &= (4-\lambda) \cdot (4-\lambda) - 1 \cdot 1 \\[5px] &= 16 - 8\lambda + \lambda^2 - 1 \\[5px] &= \lambda^2 - 8\lambda + 15 \end{align*} $$

Nullstellen des charakteristischen Polynoms berechnen

Mithilfe der Mitternachtsformel erhalten wir

$$ \lambda_1 = 5 $$

$$ \lambda_2 = 3 $$

Das sind die Eigenwerte der Matrix $A$.

Diagonalmatrix aufstellen

Die Elemente der Hauptdiagonale der Diagonalmatrix entsprechen den berechneten Eigenwerten.

$$ D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} $$

Hinweis: Die Anordnung der Eigenwerte auf der Hauptdiagonale ist beliebig. Es gibt in diesem Fall also zwei Möglichkeiten die Diagonalmatrix aufzustellen.

Transformationsmatrix berechnen

Eigenvektoren berechnen

Rechenansatz aufstellen

$$ A \cdot \vec{x} = \lambda \cdot \vec{x} $$

$$ \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \lambda \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$

Ausmultiplizieren des Rechenansatzes führt zu folgendem Gleichungssystem

$$ \begin{align*} 4x + y &= \lambda x \\ x + 4y &= \lambda y \end{align*} $$

Dieses Gleichungssystem lässt sich vereinfachen, indem man 1. Zeile - $4\,\cdot$ 2. Zeile rechnet, um das $x$ zu eliminieren:

$$ -15y = \lambda x - 4\lambda y $$

$$ 4\lambda y-15y = \lambda x $$

$$ (4\lambda-15)y = \lambda x $$

Nun setzen wir nacheinander die beiden Eigenwerte $\lambda_1 = 5$ und $\lambda_2 = 3$ ein, um die jeweiligen Eigenvektoren zu berechnen.

$$ \fcolorbox{RoyalBlue}{RoyalBlue}{${\color{white}\lambda_1 = 5}$} $$

Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda_1 = 5$

$$ (4 \cdot 5-15)y = 5x $$

$$ 5y = 5x $$

$$ x = y $$

Das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen. Eine spezielle Lösung erhält man, indem man für $x$ oder $y$ einen beliebigen Wert einsetzt.

Wir setzen $x = 1$ und erhalten damit den folgenden Eigenvektor

$$ \vec{x}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$

$$ \fcolorbox{RoyalBlue}{RoyalBlue}{${\color{white}\lambda_2 = 3}$} $$

Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda_2 = 3$

$$ (4 \cdot 3 -15)y = 3x $$

$$ -3y = 3x $$

$$ y = -x $$

$$ x = -y $$

Das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen. Eine spezielle Lösung erhält man, indem man für $x$ oder $y$ einen beliebigen Wert einsetzt.

Wir setzen $x = -1$ und erhalten damit den folgenden Eigenvektor

$$ \vec{x}_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} $$

Anmerkung

Warum wir hier $x = -1$ und nicht $x = 1$ einsetzen, erfährst du im Schritt 3.3!

Eigenvektoren normalisieren

Ein normalisierter Vektor ist ein Vektor der Länge $1$.

Damit die beiden Eigenvektoren die Länge $1$ haben, müssen wir sie durch ihre jeweilige Länge dividieren (siehe Einheitsvektor).

Länge des ersten Eigenvektors berechnen

$$ |\vec{x}_1| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $$

Der normalisierte (erste) Eigenvektor lautet demnach

$$ \vec{n}_1 = \frac{1}{|\vec{x}_1|} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$

Länge des zweiten Eigenvektors berechnen

$$ |\vec{x}_2| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2} $$

Der normalisierte (zweite) Eigenvektor lautet demnach

$$ \vec{n}_2 = \frac{1}{|\vec{x}_2|} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} $$

Transformationsmatrix aufstellen

Die Spalten der Transformationsmatrix sind die normierten Eigenvektoren der Matrix $A$.

$$ T = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}1 & \frac{1}{\sqrt{2}}(-1) \\ \frac{1}{\sqrt{2}}1 & \frac{1}{\sqrt{2}}1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $$

Die Determinante der Transformationsmatrix ist $+1$. Es handelt sich also um eine Drehmatrix.

Anmerkung

Wäre die Determinante der Transformationsmatrix gleich $-1$, würde es sich um eine Spiegelungsmatrix handeln. Da wir die Figur aber nur drehen wollen, müssen wir in diesem Schritt darauf achten, dass die Determinante der Transformationsmatrix den Wert $+1$ annimmt. Beeinflussen können wir das durch entsprechende Wahl der Eigenvektoren (siehe Schritt 3.1 ganz unten).

Matrixgleichung umformen

Mithilfe der in Schritt 2 berechneten Diagonalmatrix $D$ und der in Schritt 3 berechneten Transformationsmatrix $T$ können wir die ursprüngliche Matrixgleichung

$$ x^T A x + u^T x + c = 0 $$

umformen zu

$$ y^T {\color{red}D} y + u^T {\color{red}T} y + c = 0 $$

Das $y$ bzw. $y^T$ soll andeuten (im Vergleich zu dem $x$ bzw. $x^T$ der ursprünglichen Gleichung), dass eine Koordinatentransformation stattgefunden hat. Zur Vereinfachung benennen wir im Folgenden die Einträge des Vektors $y$ genauso wie die Einträge des ursprünglichen Vektors $x$.

Die ursprüngliche Gleichung lautete

$$ \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 10 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} -20 = 0 $$

Die neue Gleichung lautet

$$ \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} {\color{red}\begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 10 & -6 \end{pmatrix} {\color{red}\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} -20 = 0 $$

Matrixgleichung ausmultiplizieren

Teil 1

$$ {\color{red}\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 10 & -6 \end{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} -20 = 0 $$

$$ \begin{pmatrix} x \cdot 5 + y \cdot 0 & x \cdot 0 + y \cdot 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 10 & -6 \end{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} -20 = 0 $$

$$ \begin{pmatrix} 5x & 3y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 10 & -6 \end{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} -20 = 0 $$

Teil 2

$$ \begin{pmatrix} 5x & 3y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + {\color{red}\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 10 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} -20 = 0 $$

$$ \begin{pmatrix} 5x & 3y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 10 \cdot 1 + (-6) \cdot 1 & 10 \cdot (-1) + (-6) \cdot 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} -20 = 0 $$

$$ \begin{pmatrix} 5x & 3y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 10 - 6 & - 10 - 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} -20 = 0 $$

$$ \begin{pmatrix} 5x & 3y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 4 & -16 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} -20 = 0 $$

$$ \begin{pmatrix} 5x & 3y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{4}{\sqrt{2}} & \frac{-16}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} -20 = 0 $$

Nenner rational machen
(Wurzel im Nenner beseitigen, um Weiterrechnen zu vereinfachen)

$$ \begin{pmatrix} 5x & 3y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{4}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} & \frac{-16}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} -20 = 0 $$

$$ \begin{pmatrix} 5x & 3y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{4 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} & \frac{-16 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} -20 = 0 $$

$$ \begin{pmatrix} 5x & 3y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2 \cdot 2}} & \frac{-16\sqrt{2}}{\sqrt{2 \cdot 2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} -20 = 0 $$

$$ \begin{pmatrix} 5x & 3y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{4}} & \frac{-16\sqrt{2}}{\sqrt{4}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} -20 = 0 $$

$$ \begin{pmatrix} 5x & 3y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{4\sqrt{2}}{2} & \frac{-16\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} -20 = 0 $$

$$ \begin{pmatrix} 5x & 3y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2\sqrt{2} & -8\sqrt{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} -20 = 0 $$

$$ 5x^2 + 3y^2 + 2\sqrt{2}x - 8\sqrt{2}y - 20 = 0 $$

Der gemischte Term ($xy$) der ursprünglichen Gleichung wurde eliminiert!
$\Rightarrow$ Die Drehung ist damit vollzogen!

Die ursprüngliche Gleichung lautete $$ 4x^2 + {\color{blue}2xy} + 4y^2 + 10x - 6y - 20 = 0 $$ Nach der Drehung fällt der gemischte Term (blau hervorgehoben) weg.

In der Abbildung sind die beiden normierten Eigenvektoren in rot eingezeichnet. Sie stehen senkrecht aufeinander.

Abb. 4 

Die normierten Eigenvektoren sind die Basisvektoren des neuen Koordinatensystems.

Der gemischte Term ist nach der 1. Koordinatentransformation verschwunden $$ 5x^2 + 3y^2 + 2\sqrt{2}x - 8\sqrt{2}y - 20 = 0 $$

Der Kegelschnitt wird so gedreht, dass seine Symmetrieachsen (Hauptachsen) danach parallel zu den Koordinatenachsen sind.

Abb. 5 

Verschiebung 

Damit die nicht-quadratischen Terme ($x$ und $y$) verschwinden, müssen wir eine quadratische Ergänzung durchführen. Um genau zu sein, müssen wir sogar zwei quadratische Ergänzungen durchführen: einmal für die Variable $x$ und einmal für die Variable $y$.

Faktor vor dem quadratischen Term ($\boldsymbol{x^2}$ bzw. $\boldsymbol{y^2}$) ausklammern

$$ 5x^2 + 3y^2 + 2\sqrt{2}x - 8\sqrt{2}y - 20 = 0 $$

$$ 5x^2 + 2\sqrt{2}x + 3y^2 - 8\sqrt{2}y - 20 = 0 $$

$$ 5\left(x^2 + \frac{2\sqrt{2}}{5}x\right) + 3\left(y^2 + \frac{-8\sqrt{2}}{3}y\right) - 20 = 0 $$

$$ 5\left(x^2 + \frac{2\sqrt{2}}{5}x\right) + 3\left(y^2 - \frac{8\sqrt{2}}{3}y\right) - 20 = 0 $$

Zahl $\boldsymbol{p}$ vor der einfachen Variable ($\boldsymbol{x}$ bzw. $\boldsymbol{y}$) herausfinden

$$ p_x = \frac{2\sqrt{2}}{5} $$

$$ p_y = \frac{8\sqrt{2}}{3} $$

$\boldsymbol{\left(\frac{p}{2}\right)^2}$ berechnen

$$ \left(\frac{p_x}{2}\right)^2 = \left(\frac{\frac{2\sqrt{2}}{5}}{2}\right)^2 = \frac{2}{25} $$

$$ \left(\frac{p_y}{2}\right)^2 = \left(\frac{\frac{8\sqrt{2}}{3}}{2}\right)^2 = \frac{32}{9} $$

Quadratische Ergänzung

$$ 5\left(x^2 + \frac{2\sqrt{2}}{5}x + \frac{2}{25} - \frac{2}{25}\right) + 3\left(y^2 - \frac{8\sqrt{2}}{3}y + \frac{32}{9} - \frac{32}{9}\right) - 20 = 0 $$

Ausmultiplizieren

$$ {\color{red}5}\left(x^2 + \frac{2\sqrt{2}}{5}x + \frac{2}{25} {\color{red}\,-\,\frac{2}{25}}\right) {\color{red}\,+\,3}\left(y^2 - \frac{8\sqrt{2}}{3}y + \frac{32}{9} {\color{red}\,-\,\frac{32}{9}}\right) - 20 = 0 $$

$$ 5\left(x^2 + \frac{2\sqrt{2}}{5}x + \frac{2}{25} \right) {\color{red}\,+\,5 \cdot \left(-\frac{2}{25}\right)} + 3\left(y^2 - \frac{8\sqrt{2}}{3}y + \frac{32}{9}\right) {\color{red}\,+\,3 \cdot \left(-\frac{32}{9}\right)} - 20 = 0 $$

$$ 5\left(x^2 + \frac{2\sqrt{2}}{5}x + \frac{2}{25}\right) {\color{red}\,-\,\frac{2}{5}} + 3\left(y^2 - \frac{8\sqrt{2}}{3}y + \frac{32}{9}\right) {\color{red}\,-\,\frac{32}{3}} - 20 = 0 $$

Zusammenfassen

$$ 5\left(x^2 + \frac{2\sqrt{2}}{5}x + \frac{2}{25}\right) + 3\left(y^2 - \frac{8\sqrt{2}}{3}y +\frac{32}{9}\right) - \frac{2}{5} - \frac{32}{3} - 20 = 0 $$

$$ 5\left(x^2 + \frac{2\sqrt{2}}{5}x + \frac{2}{25}\right) + 3\left(y^2 - \frac{8\sqrt{2}}{3}y + \frac{32}{9}\right) - \frac{466}{15} = 0 $$

Binomische Formel anwenden

Erforderliches Vorwissen

Ansatz

$$ 5\underbrace{\left(x^2 + \frac{2\sqrt{2}}{5}x + \frac{2}{25}\right)}_{a^2 + 2ab + b^2} + 3\underbrace{\left(y^2 - \frac{8\sqrt{2}}{3}y + \frac{32}{9}\right)}_{a^2 - 2ab + b^2} - \frac{466}{15} = 0 $$

Zwischenschritt 1

$$ b^2 = \frac{2}{25} \quad\Rightarrow\quad b = \sqrt{\frac{2}{25}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{25}} = \frac{\sqrt{2}}{5} $$

Zwischenschritt 2

$$ b^2 = \frac{32}{9} \quad\Rightarrow\quad b = \sqrt{\frac{32}{9}} = \frac{\sqrt{32}}{\sqrt{9}} = \frac{\sqrt{16 \cdot 2}}{\sqrt{9}} = \frac{\sqrt{16} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{9}} = \frac{4\sqrt{2}}{3} $$

Ergebnis

$$ 5\underbrace{\left(x + \frac{\sqrt{2}}{5}\right)^2}_{(a+b)^2} + 3\underbrace{\left(y - \frac{4\sqrt{2}}{3}\right)^2}_{(a-b)^2} - \frac{466}{15} = 0 $$

Aus der Form

$$ 5\left(x + {\color{red}\frac{\sqrt{2}}{5}}\right)^2 +3\left(y - {\color{red}\frac{4\sqrt{2}}{3}}\right)^2 - \frac{466}{15} = 0 $$

die wir mithilfe der quadratischen Ergänzung ermittelt haben, lassen sich die Koordinaten des Mittelpunkts $M$ der Ellipse ablesen:

$$ M\left(-{\color{red}\frac{\sqrt{2}}{5}}\left|{\color{red}\frac{4\sqrt{2}}{3}}\right.\right) $$

(Beachte die umgedrehten Vorzeichen!)

Ausgerechnet ergibt das ungefähr:

$$ M(-0{,}282|1{,}886) $$

Abb. 6 

Anmerkung

Diese Form der Gleichung ist vergleichbar mit der Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion, die du wahrscheinlich in deiner Schulzeit kennengelernt hast. Vielleicht erinnerst du dich: Die Scheitelpunktform berechnet man auch mithilfe der quadratischen Ergänzung und es lassen sich ebenfalls die Koordinaten eines Punktes – nämlich des Scheitelpunktes einer Parabel – ablesen.

Binome durch $\boldsymbol{x}$ bzw. $\boldsymbol{y}$ ersetzen

Wenn wir die beiden Binome

$$ 5{\color{red}\left(x + \frac{\sqrt{2}}{5}\right)}^2 +3{\color{red}\left(y - \frac{4\sqrt{2}}{3}\right)}^2 - \frac{466}{15} = 0 $$

durch $x$ und $y$ ersetzen

$$ 5{\color{red}x}^2 +3{\color{red}y}^2 - \frac{466}{15} = 0 $$

wird die Ellipse so verschoben, dass ihr Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt und ihre Hauptachse mit der $x$-Achse zusammenfällt.

Abb. 7 

Die nicht-quadratischen Terme ($x$ und $y$) der ursprünglichen Gleichung wurden eliminiert!
$\Rightarrow$ Die Verschiebung ist damit vollzogen!

Klassifikation 

Wir suchen in der Tabelle des Abschnitts Klassifikation von Kegelschnitten eine Gleichung, die der eben berechneten Gleichung $5x^2 + 3y^2 - \frac{466}{15} = 0$ ähnlich sieht.

Wenn wir den konstanten Term auf die rechte Seite bringen

$$ 5x^2 + 3y^2 = \frac{466}{15} $$

sehen wir sofort, dass die berechnete Kegelschnittgleichung am ehesten der Gleichung einer Ellipse, also

$$ \frac{x^2}{\alpha^2} + \frac{y^2}{\beta^2}= 1 $$

ähnelt.

Damit haben wir rechnerisch herausgefunden, dass sich hinter der gegebenen Kegelschnittgleichung eine Ellipse verbirgt.

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