Quadratische Ergänzung

Die quadratische Ergänzung ist ein Verfahren zum Umformen von Termen, in denen eine Variable quadratisch (z.B. \(x^2\)) vorkommt.

Beispiele für Terme mit quadratischer Variable

\(f(x) = 3x^2 + 6x + 7\)

\(f(x) = 2x^2 - 4x\)

\(f(x) = -x^2 + 2x\)

Im Rahmen der quadratischen Ergänzung wird der Term so umgeformt,
dass die 1. Binomische Formel oder 2. Binomische Formel angewendet werden kann.

Wiederholung: Binomische Formeln

\(a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 \tag{1. Binomische Formel}\)

\(a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 \tag{2. Binomische Formel}\)

Am Ende entsteht mit Hilfe der binomischen Formel ein sog. "quadriertes Binom" - also z.B. \((a+b)^2\) oder \((a-b)^2\).

Zusammenfassend können wir die quadratische Ergänzung folgendermaßen definieren

Die quadratische Ergänzung ist ein Verfahren zum Umformen von Termen, in denen eine Variable quadratisch vorkommt. Dabei wird der Term so umgeformt, dass die erste oder zweite binomische Formel angewendet werden kann. Ziel ist es, dass am Ende ein quadriertes Binom entsteht.

Jetzt bleibt natürlich die Frage, warum man sich die Mühe macht und einen Term so umformt, dass ein quadriertes Binom entsteht. Die Antwort ist einfach: Mit Hilfe der quadratischen Ergänzung kann man eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform bringen oder quadratische Gleichungen lösen.

Quadratische Ergänzung durchführen

Im Folgenden schauen wir uns die quadratische Ergänzung anhand eines Beispiels etwas genauer an. Um Fehler zu vermeiden, gehen wir beim Rechnen nach folgendem Schema vor:

Vorgehensweise

  1. Koeffizient von \(x^2\) aus \(x^2\) und \(x\) ausklammern
  2. Quadratische Ergänzung
  3. Negativen Term der quadratischen Ergänzung ausmultiplizieren
  4. Binomische Formel auf Klammer anwenden

Beispiel

Gegeben ist folgende quadratische Gleichung

\(f(x) = 2x^2 + 12x\)

Unsere Aufgabe ist es, diese Gleichung mit Hilfe der quadratischen Ergänzung in ein quadriertes Binom umzuformen. Dabei besprechen wir das Beispiel zunächst in einer "Kurzfassung", damit du die wesentlichen Schritte auf einen Blick hast. Danach gibt es eine "Ausführliche Erklärung", in der auf die einzelnen Schritte ausführlich eingegangen wird.

> Kurzfassung <

\(f(x) = 2x^2 + 12x\)

1.) Koeffizient von \(x^2\) aus \(x^2\) und \(x\) ausklammern

\(f(x) = 2 \cdot (x^2 + 6x)\)

2.) Quadratische Ergänzung

\(f(x) = 2 \cdot \left(x^2 + {\color{red}6}x + \left(\frac{{\color{red}6}}{2}\right)^2 - \left(\frac{{\color{red}6}}{2}\right)^2\right)\)

\(\phantom{f(x)} = 2 \cdot (x^2 + 6x {\color{blue}\:+\:9} {\color{blue}\:-\:9})\)

3.) Negativen Term der quadratischen Ergänzung ausmultiplizieren

\(f(x) = {\color{red}2} \cdot \left(x^2 + 6x + 9 {\color{red}\:-\:9}\right)\)

\(\phantom{f(x)} = 2 \cdot \left(x^2 + 6x + 9\right) + {\color{red}2} \cdot ({\color{red}-9})\)

\(\phantom{f(x)} = 2 \cdot \left(x^2 + 6x + 9\right) - 18\)

4.) Binomische Formel auf Klammer anwenden

\(f(x) = 2 \cdot \left(x^2 + {\color{red}6}x + 9\right) - 18\)

\(\phantom{f(x)} = 2 \cdot \left(x+\frac{{\color{red}6}}{2}\right)^2 - 18\)

\(\phantom{f(x)} = 2 \cdot (x+3)^2 - 18\)

> Ausführliche Erklärung (Herleitung) <

Damit wir aus dem gegebenen Term

\(f(x) = 2x^2 + 12x\)

ein quadriertes Binom (z.B. \((a+b)^2\)) machen können, müssen wir den Term zunächst so umformen, dass wir die binomische Formel anwenden können.

\(a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 \tag{1. Binomische Formel}\)

An Stelle von \(a\) verwenden wir in der binomischen Formel im Folgenden die Variable \(x\).

\(x^2 + 2xb + b^2 = (x+b)^2\)

Vergleichen wir die beiden Terme

\(2x^2 + 12x\) und \(x^2 + 2xb + b^2\) miteinander, so stellen wir zwei interessante Dinge fest:

  1. Vor dem \(x^2\) darf kein Faktor sein
  2. \(b^2\) fehlt in dem Term \(2x^2 + 12x\), d.h. wir müssen einen quadrierten Term sinnvoll ergänzen (daher der Name "Quadratische Ergänzung"), so dass wir danach die binomische Formel anwenden können

1.) Koeffizient von \(x^2\) aus \(x^2\) und \(x\) ausklammern

\(f(x) = 2(x^2 + 6x)\)

Mit diesem Schritt sind wir den Faktor vor dem \(x^2\) los und dem Term \(x^2 + 2xb + b^2\) ein Stückchen nähergekommen.

2.) Quadratische Ergänzung

Was fehlt jetzt noch? Immer noch \(b^2\)!

Vergleichen wir die beiden Terme \(x^2 + 6x\) und \(x^2 + 2xb + b^2\) miteinander, so erkennen wir, dass gilt

  • \(6x = 2xb\)

Zunächst kürzen wir das \(x\) weg...

\(6 = 2b\)

...danach lösen wir die Gleichung nach \(b\) auf

\(b = \frac{6}{2}\)

Gesucht ist aber \(b^2\) also müssen wir die Gleichung noch quadrieren: \(b^2 = \left(\frac{6}{2}\right)^2 = 9\)

Super! Wir haben die beiden Probleme, die wir zu Beginn hatten, beseitigt.

  1. Beim Vergleich der beiden Terme \(2x^2 + 12x\) und \(x^2 + 2xb + b^2\) hatten wir zu Beginn festgestellt, dass uns die "2" vor dem \(x^2\) stört. Durch Ausklammern haben wir dieses Problem behoben: \(2(x^2 + 6x)\).
  2. Außerdem hat im ersten Term \(b^2\) gefehlt. Wir wissen jetzt: \(b^2 = 9\)

Jetzt stehen wir vor einem neuen Problem. Was machen wir mit der "9"? Wir dürfen natürlich nicht einfach irgendwelche Zahlen zu Gleichungen addieren. Das würde ja das Ergebnis der Gleichung verändern!

Wir bedienen uns eines kleinen Tricks

\(1 - 1 = 0\)

.......bitte was? Du fragst dich völlig zu Recht, was das für ein toller Trick sein soll. Naja, dahinter steckt die Idee, dass wenn wir zu einer Gleichung eine Zahl addieren (z.B. +1) und danach die gleiche Zahl wieder abziehen (z.B. -1), sich die Gleichung nicht verändert. Nun wissen wir endlich, wie wir die berechnete "9" in unsere Gleichung bekommen:

\(f(x) = 2(x^2 + 6x + 9 - 9)\)

3.) Negativen Term der quadratischen Ergänzung ausmultiplizieren

Jetzt stört uns natürlich die "-9" in der Klammer, weshalb wir diese durch Ausmultiplizieren aus der Klammer holen.

\(f(x) = {\color{green}2}(x^2 + 6x + 9~{\color{green}-\:9})\)

\(\phantom{f(x)} = 2(x^2 + 6x + 9) + {\color{green}2} \cdot ({\color{green}-\:9})\)

\(\phantom{f(x)} = 2(x^2 + 6x + 9) - 18\)

4.) Binomische Formel auf Klammer anwenden

Endlich ist die Gleichung in der richtigen Form, um die binomische Formel anwenden zu können.

Die binomische Formel

\({\color{red}x^2 + 2xb + b^2} = {\color{blue}(x+b)^2} \tag{1. Binomische Formel}\)

auf unser Beispiel angewendet ergibt:

\({\color{red}x^2 + 6x + 9} = {\color{blue}(x+3)^2}\)

bzw.

\(f(x) = 2({\color{red}x^2 + 6x + 9}) - 18\)

wird zu

\(f(x) = 2{\color{blue}(x+3)^2} - 18\)

Wir sind am Ziel!

Mit Hilfe der quadratischen Ergänzung haben wir den ursprünglichen Term

\(f(x) = 2x^2 + 12x\)

in einen Term mit quadriertem Binom

\(f(x) = 2(x+3)^2 - 18\)

umgeformt.

Wie bereits erwähnt, formt man den Term auf diese Weise um, um die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion zu erhalten oder quadratische Gleichungen zu lösen.

Zusammenfassung

Ist ein Term in der Form

\(x^2 + px\)

gegeben, so lautet die Formel für die quadratische Ergänzung

\(x^2 + px +\left(\frac{p}{2}\right)^2 -\left(\frac{p}{2}\right)^2 = \left(x+ \frac{p}{2}\right)^2 -\left(\frac{p}{2}\right)^2\)

Anwendung: Scheitelpunktform berechnen

Berechne die Scheitelform der folgenden quadratischen Funktion

\(f(x) = 3x^2 + 6x + 7\)

1.) Koeffizient von \(x^2\) aus \(x^2\) und \(x\) ausklammern

\(f(x) = 3 \cdot (x^2 + 2x) + 7\)

2.) Quadratische Ergänzung

\(f(x) = 3 \cdot \left(x^2 + {\color{red}2}x + \left(\frac{{\color{red}2}}{2}\right)^2 - \left(\frac{{\color{red}2}}{2}\right)^2\right) + 7\)

\(\phantom{f(x)} = 3 \cdot (x^2 + 2x {\color{blue}\:+\:1} {\color{blue}\:-\:1}) + 7\)

3.) Negativen Term der quadratischen Ergänzung ausmultiplizieren

\(f(x) = {\color{red}3} \cdot \left(x^2 + 2x + 1 {\color{red}\:-\:1}\right) + 7\)

\(\phantom{f(x)} = 3 \cdot \left(x^2 + 2x + 1\right) + 7 + {\color{red}3} \cdot ({\color{red}-1})\)

\(\phantom{f(x)} = 3 \cdot \left(x^2 + 2x + 1\right) + 7 - 3\)

\(\phantom{f(x)} = 3 \cdot \left(x^2 + 2x + 1\right) + 4\)

4.) Binomische Formel auf Klammer anwenden

\(f(x) = 3 \cdot \left(x^2 + {\color{red}2}x + 1\right) + 4\)

\(\phantom{f(x)} = 3 \cdot \left(x+\frac{{\color{red}2}}{2}\right)^2 + 4\)

\(\phantom{f(x)} = 3 \cdot (x+1)^2 + 4\)

Als Ergebnis erhalten wir die quadratische Funktion in Scheitelpunktform.

Anwendung: Quadratische Gleichung lösen

Gegegeben ist die quadratische Gleichung

\(2x^2 - 12x - 32 = 0\)

Löse die lineare Gleichung mit Hilfe der quadratischen Ergänzung.

1.) Koeffizient von \(x^2\) aus \(x^2\) und \(x\) ausklammern

\(f(x) = 2 \cdot (x^2 - 6x) - 32\)

2.) Quadratische Ergänzung

\(f(x) = 2 \cdot \left(x^2 {\color{red}\:-\:6}x + \left(\frac{{\color{red}-6}}{2}\right)^2 - \left(\frac{{\color{red}-6}}{2}\right)^2\right) - 32\)

\(\phantom{f(x)} = 2 \cdot (x^2 - 6x {\color{blue}\:+\:9} {\color{blue}\:-\:9}) - 32\)

3.) Negativen Term der quadratischen Ergänzung ausmultiplizieren

\(f(x) = {\color{red}2} \cdot \left(x^2 - 6x + 9 {\color{red}\:-\:9}\right) - 32\)

\(\phantom{f(x)} = 2 \cdot \left(x^2 - 6x + 9\right) - 32 + {\color{red}2} \cdot ({\color{red}-9})\)

\(\phantom{f(x)} = 2 \cdot \left(x^2 - 6x + 9\right) - 32 - 18\)

\(\phantom{f(x)} = 2 \cdot \left(x^2 - 6x + 9\right) - 50\)

4.) Binomische Formel auf Klammer anwenden

\(f(x) = 2 \cdot \left(x^2 {\color{red}\:-\:6}x + 9\right) - 50\)

\(\phantom{f(x)} = 2 \cdot \left(x+\frac{{\color{red}-6}}{2}\right)^2 - 50\)

\(\phantom{f(x)} = 2 \cdot (x-3)^2 - 50\)

5.) Gleichung nach \(x\) auflösen

\(2 \cdot (x - 3)^2 - 50 = 0 \qquad |+50\)

\(2 \cdot (x - 3)^2 = 50 \qquad |:2\)

\((x - 3)^2 = 25 \qquad |\sqrt{}\)

\(\sqrt{(x - 3)^2} = \sqrt{25}\)

\(x - 3 = \pm 5\)

Da die Wurzel aus 25 sowohl +5 als auch -5 sein kann, ist eine Fallunterscheidung notwendig.

Fall 1: rechte Seite ist +5

\(x - 3 = {\color{red}5} \qquad |+3\)

\(x = 5 + 3 = 8\)

Fall 2: rechte Seite ist -5

\(x - 3 = {\color{red}-5} \qquad |+3\)

\(x = -5 + 3 = -2\)

Ergebnis

Die quadratische Gleichung

\(2x^2 - 12x - 32 = 0\)

besitzt die Lösungen

\(x_1 = -2 \qquad \text{und} \qquad x_2 = 8\)

Hinweis: Quadratische Gleichungen löst man normalerweise mit Hilfe der Mitternachtsformel. Wir wollten nur demonstrieren, dass es für die quadratische Ergänzung viele Anwendungsmöglichkeiten gibt.

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Mehr zu quadratischen Funktionen

Im Zusammenhang mit quadratischen Funktionen gibt es einige Fragestellungen, die in Prüfungen immer wieder abgefragt werden. Aus diesem Grund empfiehlt es sich, die nachfolgenden Kapitel systematisch durchzuarbeiten. Viel Erfolg dabei!

Parabel zeichnen  
Parabel nach links oder rechts verschieben \(f(x) = (x-d)^2\)
Parabel nach oben oder unten verschieben \(f(x) = x^2 + c\)
Parabel strecken oder stauchen \(f(x) = ax^2\)
Punktprobe Liegt \(\text{P}\) auf \(\text{G}_f\)?
y-Achsenabschnitt berechnen \(x = 0\)
Nullstellen berechnen \(y = 0\)
Funktionsgleichung bestimmen \(f(x) = \dotsc\)
Quadratische Ergänzung \(x^2 +px + \left(\frac{p}{2}\right)^2-\left(\frac{p}{2}\right)^2\)
Scheitelpunktform berechnen \(f(x) = a(x-d)^2 + e\)
Scheitelpunkt berechnen \(S(x_s|y_s)\)
Faktorisierte Form \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\)
Lagebeziehungen  
Lagebeziehung Parabel-Parabel  
Lagebeziehung Parabel-Gerade  
Umkehrfunktion  
Umkehrfunktion bilden  
Aufgaben mit Lösungen  
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Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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