Umkehrfunktion bilden
(Quadratische Funktionen)

In diesem Kapitel lernen wir, die Umkehrfunktion einer quadratischen Funktion zu bilden.

Notwendiges Vorwissen: Umkehrfunktion

Problemstellung

Bislang haben wir immer aus dem \(x\)-Wert (Argument) einen \(y\)-Wert (Funktionswert) berechnet.

Beispiel

Du bist im Urlaub in den USA und willst Euro (€) in US-Dollar ($) umtauschen.

Der Wechselkurs lässt sich durch folgende Funktion darstellen:
\(f\colon\; \text{Euro } x \longmapsto \text{US-Dollar } y\)
Die Funktion \(f\) ordnet jedem Euro-Betrag \(x\) einen Betrag \(y\) in Dollar zu.

In einigen Fällen ist es aber genau andersherum:
Gegeben ist der Funktionswert \(y\) einer Funktion. Gesucht ist der dazugehörige \(x\)-Wert.

Beispiel (Fortsetzung)

Beim Shopping in New York entdeckst du ein schönes Smartphone.
Du fragst dich, welchem Euro-Betrag der angegebene Preis entspricht.

Der Wechselkurs lässt sich durch folgende Funktion darstellen:
\(f^{-1}\colon\; \text{US-Dollar } y \longmapsto \text{Euro } x\)
Die Funktion \(f^{-1}\) ordnet jedem Dollar-Betrag \(y\) einen Betrag \(x\) in Euro zu.

\(f^{-1}\) heißt Umkehrfunktion von \(f\).

Es gibt nicht immer eine Umkehrfunktion: Eine Umkehrfunktion existiert nur dann, wenn jedem \(y\) genau ein \(x\) zugeordnet ist. Bei quadratischen Funktionen ist diese Bedingung nicht erfüllt.


Die Abbildung zeigt den Graphen der
quadratischen Funktion \(f\colon\; y = x^2\).

Quadratische Funktionen besitzen die Eigenschaft, dass jedem \(y\) zwei \(x\) zugeordnet sind. Beispielsweise gehören zu dem \(y\)-Wert \(y = 4\) die \(x\)-Werte \(x = -2\) und \(x = 2\).

Daraus folgt, dass \(f\colon\; y = x^2\) für \(x \in \mathbb{R}\)
nicht umkehrbar ist.

Wenn wir im obigen Beispiel jedoch die Definitionsmenge so beschränken, dass die Funktion im betrachteten Intervall entweder nur steigt (rechter Parabelast) oder nur fällt (linker Parabelast), ist wieder jedem \(y\) ein \(x\) eindeutig zugeordnet und die Funktion somit umkehrbar. Allgemein gilt:

Jede streng monoton steigende oder fallende Funktion ist umkehrbar.

Anschaulich erkennt man die Umkehrbarkeit einer Funktion \(f\) daran, dass jede Parallele zur x-Achse den Graph von \(f\) höchstens einmal schneidet.

Umkehrfunktion berechnen

Bei quadratischen Funktionen müssen wir eine Fallunterscheidung durchführen, um die Umkehrfunktion zu berechnen. Dabei gibt es stets zwei Fälle zu unterscheiden:

In der Abbildung ist der Graph der Funktion \(f\colon\; y = x^2\) eingezeichnet. Der Scheitelpunkt, der in diesem Fall bei \(x = 0\) ist, markiert die Stelle, die den linken vom rechten Ast trennt.

Mathematisch betrachtet unterscheiden wir demnach zwischen folgenden Fällen:
1. Fall: \(x \leq 0 \quad \Rightarrow \mathbb{D}_f = ]-\infty;0]\)
2. Fall: \(x \geq 0 \quad \Rightarrow \mathbb{D}_f = [0;\infty[\)

Für jeden dieser beiden Fälle führen wir folgende Schritte aus:

Vorgehensweise

  1. Funktionsgleichung nach \(x\) auflösen
  2. \(x\) und \(y\) vertauschen

Beispiel

Gesucht ist die Umkehrfunktion von \(f\colon\; y = x^2\) mit \(\mathbb{D}_f = \mathbb{R}\).

\({\fcolorbox{red}{}{\(\text{Fall 1: } x \leq 0\)}}\)

Für \(x \leq 0\) ist die Funktion \(y = x^2\) streng monoton fallend und somit umkehrbar.

1.) Funktionsgleichung nach \(x\) auflösen

\(\begin{align*}
y &= x^2 &&{\color{gray}| \sqrt{\phantom{x}}}\\[5pt]
\sqrt{y} &= |x| &&{\color{gray}|\text{ Seiten vertauschen}}\\[5pt]
|x| &= \sqrt{y} &&{\color{gray}|\text{ Betrag auflösen: } |x| = -x \text{ wegen } x \leq 0}\\[5pt]
-x &= \sqrt{y} &&{\color{gray}| \cdot (-1)}\\[5pt]
x &= -\sqrt{y}
\end{align*}\)

2.) \(x\) und \(y\) vertauschen

\(y = -\sqrt{x}\)

Um die Graphen von \(f\) und \(f^{-1}\) ordentlich zu zeichnen, fertigen wir zwei Wertetabellen an.

\(\phantom{^{-1}}f\colon\;
\begin{array}{r|c|c|c|c|c}
x & -2 & -1,5 & -1 & -0,5 & 0 \\
\hline
y & 4 & 2,25 & 1 & 0,25 & 0
\end{array}\)

Die Wertetabelle von \(f^{-1}\) erhält man durch Vertauschen der Zeilen der Wertetabelle von \(f\).

\(f^{-1}\colon\;
\begin{array}{r|c|c|c|c|c}
x & 4 & 2,25 & 1 & 0,25 & 0 \\
\hline
y & -2 & -1,5 & -1 & -0,5 & 0
\end{array}\)


Die Abbildung zeigt folgende Graphen:

- die Funktion \(f\colon\; y = x^2\)
  mit \(\mathbb{D}_f = ]-\infty;0]\) und \(\mathbb{W}_f = [0;\infty[\)

- die Winkelhalbierende \(w\colon\; y = x\)

- die Umkehrfunktion \(f^{-1}\colon\; y = \sqrt{x}\)
  mit \(\mathbb{D}_{f^{-1}} = [0;\infty[\) und \(\mathbb{W}_{f^{-1}} = ]-\infty;0]\)

\({\fcolorbox{green}{}{\(\text{Fall 2: } x \geq 0\)}}\)

Für \(x \geq 0\) ist die Funktion \(y = x^2\) streng monoton steigend und somit umkehrbar.

1.) Funktionsgleichung nach \(x\) auflösen

\(\begin{align*}
y &= x^2 &&{\color{gray}| \sqrt{\phantom{x}}}\\[5pt]
\sqrt{y} &= |x| &&{\color{gray}|\text{ Seiten vertauschen}}\\[5pt]
|x| &= \sqrt{y} &&{\color{gray}|\text{ Betrag auflösen: } |x| = x \text{ wegen } x \geq 0}\\[5pt]
x &= \sqrt{y}
\end{align*}\)

2.) \(x\) und \(y\) vertauschen

\(y = \sqrt{x}\)

Um die Graphen von \(f\) und \(f^{-1}\) ordentlich zu zeichnen, fertigen wir zwei Wertetabellen an.

\(\phantom{^{-1}}f\colon\;
\begin{array}{r|c|c|c|c|c}
x & 0 & 0,5 & 1 & 1,5 & 2 \\
\hline
y & 0 & 0,25 & 1 & 2,25 & 4
\end{array}\)

Die Wertetabelle von \(f^{-1}\) erhält man durch Vertauschen der Zeilen der Wertetabelle von \(f\).

\(f^{-1}\colon\;
\begin{array}{r|c|c|c|c|c}
x & 0 & 0,25 & 1 & 2,25 & 4 \\
\hline
y & 0 & 0,5 & 1 & 1,5 & 2
\end{array}\)


Die Abbildung zeigt folgende Graphen:

- die Funktion \(f\colon\; y = x^2\)
  mit \(\mathbb{D}_f = [0;\infty[\) und \(\mathbb{W}_f = [0;\infty[\)

- die Winkelhalbierende \(w\colon\; y = x\)

- die Umkehrfunktion \(f^{-1}\colon\; y = \sqrt{x}\)
  mit \(\mathbb{D}_{f^{-1}} = [0;\infty[\) und \(\mathbb{W}_{f^{-1}} = [0;\infty[\)

Die Umkehrfunktion der Funktion \(f\colon\; y = x^2\) ist

\(\begin{equation*}
f^{-1}\colon\; y =
\begin{cases}
\sqrt{x}&\text{für \(\mathbb{D}_f = [0;\infty[\)} \\
-\sqrt{x}&\text{für \(\mathbb{D}_f = ]-\infty;0]\)}
\end{cases}
\end{equation*}\)

Ist dir aufgefallen, dass die Graphen von \(f\) und \(f^{-1}\) symmetrisch zueinander sind?

Der Graph der Umkehrfunktion \(f^{-1}\) ist die Spiegelung
des Graphen der Funktion \(f\) an der Winkelhalbierenden.

Da bei der Umkehrfunktion im Vergleich zur zugehörigen Funktion \(x\) und \(y\) vertauscht sind, gilt:

  • Definitionsmenge der Umkehrfunktion \(\mathbb{D}_{f^{-1}}\) = Wertemenge der Funktion \(\mathbb{W}_{f}\)
  • Wertemenge der Umkehrfunktion \(\mathbb{W}_{f^{-1}}\) = Definitionsmenge der Funktion \(\mathbb{D}_{f}\)

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Mehr zu quadratischen Funktionen

Im Zusammenhang mit quadratischen Funktionen gibt es einige Fragestellungen, die in Prüfungen immer wieder abgefragt werden. Aus diesem Grund empfiehlt es sich, die nachfolgenden Kapitel systematisch durchzuarbeiten. Viel Erfolg dabei!

Parabel zeichnen  
Parabel nach links oder rechts verschieben \(f(x) = (x-d)^2\)
Parabel nach oben oder unten verschieben \(f(x) = x^2 + c\)
Parabel strecken oder stauchen \(f(x) = ax^2\)
Punktprobe Liegt \(\text{P}\) auf \(\text{G}_f\)?
y-Achsenabschnitt berechnen \(x = 0\)
Nullstellen berechnen \(y = 0\)
Funktionsgleichung bestimmen \(f(x) = \dotsc\)
Quadratische Ergänzung \(x^2 +px + \left(\frac{p}{2}\right)^2-\left(\frac{p}{2}\right)^2\)
Scheitelpunktform berechnen \(f(x) = a(x-d)^2 + e\)
Scheitelpunkt berechnen \(S(x_s|y_s)\)
Faktorisierte Form \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\)
Lagebeziehungen  
Lagebeziehung Parabel-Parabel  
Lagebeziehung Parabel-Gerade  
Umkehrfunktion  
Umkehrfunktion bilden  
Aufgaben mit Lösungen  
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Andreas Schneider

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Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider

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