Umkehrfunktion bilden (Quadratische Funktionen)

In diesem Kapitel lernen wir, die Umkehrfunktion einer quadratischen Funktion zu bilden.

Erforderliches Vorwissen

Einordnung 

Bislang haben wir immer aus dem $x$-Wert (Argument) einen $y$-Wert (Funktionswert) berechnet.

Beispiel 1 

Du bist im Urlaub in den USA und willst Euro (€) in US-Dollar ($) umtauschen.

Der Wechselkurs lässt sich durch folgende Funktion darstellen:

$$ f\colon\; \text{Euro } x \longmapsto \text{US-Dollar } y $$

Die Funktion $f$ ordnet jedem Euro-Betrag $x$ einen Betrag $y$ in Dollar zu.

In einigen Fällen ist es aber genau andersherum: Gegeben ist der Funktionswert $y$ einer Funktion. Gesucht ist der dazugehörige $x$-Wert.

Beispiel 2 

Beim Shopping in New York entdeckst du ein schönes Smartphone. Du fragst dich, welchem Euro-Betrag der angegebene Preis entspricht.

Der Wechselkurs lässt sich durch folgende Funktion darstellen:

$$ f^{-1}\colon\; \text{US-Dollar } y \longmapsto \text{Euro } x $$

Die Funktion $f^{-1}$ ordnet jedem Dollar-Betrag $y$ einen Betrag $x$ in Euro zu.

$f^{-1}$ heißt Umkehrfunktion von $f$.

Voraussetzung 

Es gibt nicht immer eine Umkehrfunktion:

Eine Umkehrfunktion existiert nur dann, wenn jedem $y$ genau ein $x$ zugeordnet ist.

Bei quadratischen Funktionen ist diese Bedingung nicht erfüllt.

Beispiel 3 

Die Abbildung zeigt den Graphen der quadratischen Funktion $f\colon\; y = x^2$.

Quadratische Funktionen besitzen die Eigenschaft, dass jedem $y$ – mit Ausnahme des Scheitelpunkts – zwei $x$ zugeordnet sind. Beispielsweise gehören zu dem $y$-Wert $y = 4$ die $x$-Werte $x = -2$ und $x = 2$.

Daraus folgt, dass $f\colon\; y = x^2$ für $x \in \mathbb{R}$ nicht umkehrbar ist.

Abb. 1 

Wenn wir jedoch die Definitionsmenge so beschränken, dass die Funktion im betrachteten Intervall entweder nur fällt (linker Parabelast) oder nur steigt (rechter Parabelast), ist wieder jedem $y$ ein $x$ eindeutig zugeordnet und die Funktion somit umkehrbar.

Allgemein gilt:

Jede streng monoton steigende oder fallende Funktion ist umkehrbar.

Anschaulich erkennt man die Umkehrbarkeit einer Funktion $f$ daran, dass jede Parallele zur $x$-Achse den Graphen von $f$ höchstens einmal schneidet.

Umkehrfunktion berechnen 

Bei quadratischen Funktionen müssen wir eine Fallunterscheidung durchführen, um die Umkehrfunktion zu berechnen. Dabei gibt es stets zwei Fälle zu unterscheiden:

In der Abbildung ist der Graph der Funktion $f\colon\; y = x^2$ eingezeichnet. Der Scheitelpunkt, der in diesem Fall bei $x = 0$ ist, markiert die Stelle, die den linken vom rechten Ast trennt.

Mathematisch betrachtet unterscheiden wir demnach zwischen folgenden Fällen:

  1. Fall: $x \leq 0 \quad \Rightarrow \mathbb{D}_f = ]-\infty;0]$
  2. Fall: $x \geq 0 \quad \Rightarrow \mathbb{D}_f = [0;\infty[$
Abb. 2 

Für jeden dieser beiden Fälle führen wir folgende Schritte aus:

Funktionsgleichung nach $\boldsymbol{x}$ auflösen

$\boldsymbol{x}$ und $\boldsymbol{y}$ vertauschen

Beispiel 4 

Gesucht ist die Umkehrfunktion von $f\colon\; y = x^2$ mit $\mathbb{D}_f = \mathbb{R}$.

Fall 1: $\boldsymbol{x \leq 0}$

Für $x \leq 0$ ist die Funktion $y = x^2$ streng monoton fallend und somit umkehrbar.

Funktionsgleichung nach $x$ auflösen

$$ \begin{align*} y &= x^2 &&{\color{gray}|\, \sqrt{\phantom{x}}} \\[5px] \sqrt{y} &= |x| &&{\color{gray}| \text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] |x| &= \sqrt{y} &&{\color{gray}| \text{ Betrag auflösen: } |x| = -x \text{ wegen } x \leq 0} \\[5px] -x &= \sqrt{y} &&{\color{gray}|\, \cdot (-1)} \\[5px] x &= -\sqrt{y} \end{align*} $$

$x$ und $y$ vertauschen

$$ y = -\sqrt{x} $$

Graphische Darstellung

Um die Graphen von $f$ und $f^{-1}$ ordentlich zu zeichnen, fertigen wir zwei Wertetabellen an.

$$ \phantom{^{-1}}f\colon\; \begin{array}{r|c|c|c|c|c} x & -2 & -1{,}5 & -1 & -0{,}5 & 0 \\ \hline y & 4 & 2{,}25 & 1 & 0{,}25 & 0 \end{array} $$

Die Wertetabelle von $f^{-1}$ erhält man durch Vertauschen der Zeilen der Wertetabelle von $f$.

$$ f^{-1}\colon\; \begin{array}{r|c|c|c|c|c} x & 4 & 2{,}25 & 1 & 0{,}25 & 0 \\ \hline y & -2 & -1{,}5 & -1 & -0{,}5 & 0 \end{array} $$

Die Abbildung zeigt folgende Graphen:

  • die Funktion $f\colon\; y = x^2$ mit $\mathbb{D}_f = ]-\infty;0]$ und $\mathbb{W}_f = [0;\infty[$

  • die Winkelhalbierende $w\colon\; y = x$

  • die Umkehrfunktion $f^{-1}\colon\; y = \sqrt{x}$ mit $\mathbb{D}_{f^{-1}} = [0;\infty[$ und $\mathbb{W}_{f^{-1}} = ]-\infty;0]$

Abb. 3 

Fall 2: $\boldsymbol{x \geq 0}$

Für $x \geq 0$ ist die Funktion $y = x^2$ streng monoton steigend und somit umkehrbar.

Funktionsgleichung nach $x$ auflösen

$$ \begin{align*} y &= x^2 &&{\color{gray}|\, \sqrt{\phantom{x}}} \\[5px] \sqrt{y} &= |x| &&{\color{gray}|\text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] |x| &= \sqrt{y} &&{\color{gray}|\text{ Betrag auflösen: } |x| = x \text{ wegen } x \geq 0} \\[5px] x &= \sqrt{y} \end{align*} $$

$x$ und $y$ vertauschen

$$ y = \sqrt{x} $$

Graphische Darstellung

Um die Graphen von $f$ und $f^{-1}$ ordentlich zu zeichnen, fertigen wir zwei Wertetabellen an.

$$ \phantom{^{-1}}f\colon\; \begin{array}{r|c|c|c|c|c} x & 0 & 0{,}5 & 1 & 1{,}5 & 2 \\ \hline y & 0 & 0{,}25 & 1 & 2{,}25 & 4 \end{array} $$

Die Wertetabelle von $f^{-1}$ erhält man durch Vertauschen der Zeilen der Wertetabelle von $f$.

$$ f^{-1}\colon\; \begin{array}{r|c|c|c|c|c} x & 0 & 0{,}25 & 1 & 2{,}25 & 4 \\ \hline y & 0 & 0{,}5 & 1 & 1{,}5 & 2 \end{array} $$

Die Abbildung zeigt folgende Graphen:

  • die Funktion $f\colon\; y = x^2$
    mit $\mathbb{D}_f = [0;\infty[$ und $\mathbb{W}_f = [0;\infty[$
  • die Winkelhalbierende $w\colon\; y = x$
  • die Umkehrfunktion $f^{-1}\colon\; y = \sqrt{x}$
    mit $\mathbb{D}_{f^{-1}} = [0;\infty[$ und $\mathbb{W}_{f^{-1}} = [0;\infty[$
Abb. 4 

Umkehrfunktion aufstellen

Die Umkehrfunktion der Funktion $f\colon\; y = x^2$ ist

$$ \begin{equation*} f^{-1}\colon\; y = \begin{cases} \sqrt{x} &\text{für } \mathbb{D}_f = [0;\infty[ \\[5px] -\sqrt{x} &\text{für } \mathbb{D}_f = ]-\infty;0] \end{cases} \end{equation*} $$

Dabei handelt es sich um eine abschnittsweise definierte Funktion.

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