Ableitungsregeln

Um die Ableitung einer Funktion korrekt zu berechnen, muss man einige Ableitungsregeln kennen. Je nach Aussehen der Funktion, kommen dabei eine oder mehrere der nachfolgenden Regeln zum Einsatz.

Ableitung einer Konstanten

Die Ableitung einer Konstanten ist Null.

\(f(x) = C \quad \rightarrow \quad f'(x) = 0\)

Beispiel

\(f(x) = 5 \quad \rightarrow \quad f'(x) = 0\)

\(f(x) = -8 \quad \rightarrow \quad f'(x) = 0\)

Ableitung von x

Die Ableitung von \(x\) ist 1.

\(f(x) = x \quad \rightarrow \quad f'(x) = 1\)

Beispiel

\(f(x) = x + 5 \quad \rightarrow \quad f'(x) = 1 + 0 = 1\)

\(f(x) =  x - 8 \quad \rightarrow \quad f'(x) = 1 - 0 = 1\)

Potenzregel

Die Potenzregel ist - vereinfacht gesagt - immer dann anzuwenden, wenn etwas im Exponenten der x-Funktion steht. Wie der Name bereits vermuten lässt, handelt es sich dabei um Potenzfunktionen \(f(x) = x^n\).

Die Potenzregel lautet

\(f(x) = x^n \quad \rightarrow \quad f'(x) = n \cdot x^{n-1}\)

Was zunächst vielleicht etwas kompliziert aussieht, ist eigentlich ganz einfach:

1. Schreibe den Exponenten der x-Funktion mit einem Mal-Zeichen vor das x.

2. Ziehe von dem Exponenten "1" ab.

Beispiel

\(f(x) = x^3 \quad \rightarrow \quad f'(x) = 3 \cdot x^{3-1} = 3 \cdot x^2\)

\(f(x) = x^{-5} \quad \rightarrow \quad f'(x) = -5 \cdot x^{-5-1} = -5 \cdot x^{-6}\)

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Faktorregel

Wenn vor dem \(x\) ein konstanter Faktor steht, wendet man die Faktorregel an.

Die Faktorregel lautet

\(f(x) = c \cdot g(x) \quad \rightarrow  \quad f'(x) = c \cdot g'(x)\)

Beim Ableiten bleibt der konstante Faktor unverändert erhalten.

Beispiel

\(f(x) = 2 \cdot x^3 \quad \rightarrow \quad f'(x) = 2 \cdot \left(3 \cdot x^{3-1}\right) = 6 \cdot x^2\)

\(f(x) = - 4 \cdot x^{-5} \quad \rightarrow \quad f'(x) = -4 \cdot \left(-5 \cdot x^{-5-1}\right) = 20 \cdot x^{-6}\)

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Summenregel

Kommt auf beiden (!) Seiten des Plus-Zeichens ein \(x\) vor, ist die Summenregel anzuwenden.

Die Summenregel lautet

\(f(x) = g(x) + h(x) \quad \rightarrow  \quad f'(x) = g'(x) + h'(x)\)

Eine Summe wird abgeleitet, indem man jeden Summanden für sich ableitet und die Ableitungen addiert.

Beispiel

\(f(x) = x^3 + x \quad \rightarrow \quad f'(x) = 3x^2 + 1\)

\(f(x) = 4x^5 + x^4 \quad \rightarrow \quad f'(x) = 20 \cdot x^4 + 4x^3\)

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Differenzregel

Kommt auf beiden (!) Seiten des Minus-Zeichens ein \(x\) vor, ist die Differenzregel anzuwenden.

Die Differenzregel lautet

\(f(x) = g(x) - h(x) \quad \rightarrow  \quad f'(x) = g'(x) - h'(x)\)

Die Differenzregel unterscheidet sich von der Summenregel nur durch das Vorzeichen.

Beispiel

\(f(x) = x^3 - x \quad \rightarrow \quad f'(x) = 3x^2 - 1\)

\(f(x) = 4x^5 - x^4 \quad \rightarrow \quad f'(x) = 20 \cdot x^4 - 4x^3\)

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Produktregel

Kommt auf beiden (!) Seiten des Mal-Zeichens ein \(x\) vor, ist die Produktregel anzuwenden.

Die Produktregel lautet

\(f(x) = g(x) \cdot h(x) \quad \rightarrow  \quad f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)\)

Was zunächst vielleicht kompliziert aussieht, ist eigentlich ganz einfach:

1. Berechne die Ableitungen der beiden Teilfunktionen \(g(x)\) und \(h(x)\).

2. Setze die entsprechenden Teilfunktionen in die Formel ein.

Beispiel

\(f(x) = x^3 \cdot x^5\)

Zuerst berechnen wir die Ableitungen der beiden Funktionen links und rechts vom Mal-Zeichen

\(g(x) = x^3 \quad \rightarrow \quad g'(x) = 3x^2\)

\(h(x) = x^5 \quad \rightarrow \quad h'(x) = 5x^4\)

Jetzt setzen wir entsprechend in die Formel ein

\(f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)\)

\(f'(x) = 3x^2 \cdot x^5 + x^3 \cdot 5x^4 = 3x^7 + 5x^7 = 8x^7\)

Hinweis: Man könnte den Term auch vor dem Ableiten mit Hilfe der Potenzgesetze vereinfachen und sich so die Arbeit mit der Produktregel sparen. Zum Erlernen der Produktregel eignet sich dieses "einfache" Beispiel jedoch hervorragend.

...mehr zur Produktregel

Quotientenregel

Kommt im Zähler und (!) im Nenner eines Bruchs ein x vor, ist die Quotientenregel anzuwenden.

Die Quotientenregel lautet

\[f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} \quad \rightarrow  \quad f'(x)=\frac{h(x) \cdot g'(x) - g(x) \cdot h'(x)}{\left[h(x)\right]^2}\]

Was zunächst vielleicht kompliziert aussieht, ist eigentlich ganz einfach:

1. Berechne die Ableitungen der beiden Teilfunktionen \(g(x)\) und \(h(x)\).

2. Setze die entsprechenden Teilfunktionen in die Formel ein.

Beispiel

\[f(x) = \frac{x^3}{x^5}\]

Zuerst berechnen wir die Ableitungen der Funktionen im Zähler und im Nenner

\(g(x) = x^3 \quad \rightarrow \quad g'(x) = 3x^2\)

\(h(x) = x^5 \quad \rightarrow \quad h'(x) = 5x^4\)

Jetzt setzen wir entsprechend in die Formel ein

\[f'(x)=\frac{h(x) \cdot g'(x) - g(x) \cdot h'(x)}{\left[h(x)\right]^2}\]

\[f'(x)=\frac{x^5 \cdot 3x^2 - x^3 \cdot 5x^4}{\left[x^5\right]^2}\]

Unter Beachtung der Potenzgesetze lässt sich das Ergebnis vereinfachen zu

\[f'(x)=\frac{x^5 \cdot 3x^2 - x^3 \cdot 5x^4}{\left[x^5\right]^2}=\frac{3x^7 - 5x^7}{x^{10}} = \frac{-2x^7}{x^{10}} = -2x^{-3}\]

Hinweis: Man könnte die Gleichung vor dem Ableiten mit Hilfe der Potenzgesetze vereinfachen und sich so die Arbeit mit der Quotientenregel sparen. Zum Erlernen der Quotientenregel eignet sich dieses "einfache" Beispiel jedoch hervorragend.

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Kettenregel

Die Kettenregel ist bei Funktionen anzuwenden, die als Verkettung von zwei Funktionen vorliegen. Es geht also um den Fall, wenn zwei verschiedene Funktionen ineinander verschachtelt sind. Was das genau bedeutet, wird an dem nachfolgenden Beispiel deutlich.

Die Kettenregel lautet

\(f(x) = g(h(x)) \quad \rightarrow \quad f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)\)

Was zunächst vielleicht kompliziert aussieht, ist eigentlich ganz einfach:

1. Identifiziere die äußere und die innere Funktion.

2. Berechne die Ableitungen der beiden Teilfunktionen \(g(x)\) und \(h(x)\).

3. Setze die entsprechenden Teilfunktionen in die Formel ein.

Übrigens bezeichnet man \(g(v)\) als äußere Funktion, \(g'(v)\) entsprechend als äußere Ableitung. \(h(x)\) ist dann die innere Funktion und \(h'(x)\) die innere Ableitung. Die Multiplikation mit \(h'(x)\) wird als "nachdifferenzieren" bezeichnet.

Beispiel

\(f(x) = \left(x^4+5\right)^2\)

Hinweis: Selbstverständlich könnte man die Gleichung einfach ausmultiplizieren und sich so die Arbeit mit der Kettenregel sparen. Da sich die Kettenregel aber oftmals nicht umgehen lässt, sollte man sie ebenso gut beherrschen wie die anderen Ableitungsregeln.

Die äußere Funktion ist: \(g(v) = v^2 \quad \rightarrow \quad g'(v) = 2v\)

Die innere Funktion ist: \(h(x) = x^4+5 \quad \rightarrow \quad h'(x) = 4x^3\)

Jetzt setzen wir entsprechend in die Formel ein

\(f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)\)

\(f'(x) = 2\left(x^4+5\right) \cdot  4x^3\)

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Ableitung besonderer Funktionen

Es gibt einige Funktionen, die man sich genauer anschauen sollte. Aus diesem Grund haben wir zu diesen Funktionen jeweils einen eigenen Artikel geschrieben:

...keine Sorge! Die oben genannten Ableitungsregeln gelten für alle Funktionen gleichermaßen.

Andreas Schneider

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Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider

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