Extremwerte berechnen

In diesem Kapitel lernst du, wie man die Extremwerte einer Funktion berechnet. Graphisch betrachtet handelt es sich dabei um Hochpunkte bzw. Tiefpunkte.

Einordnung 

Grundsätzlich gibt es zwei unterschiedliche Vorgehensweisen, um die Extremwerte einer Funktion zu berechnen. Der Unterschied der beiden Verfahren besteht in der Verwendung der 2. Ableitung: Bei dem einen Verfahren musst du die 2. Ableitung berechnen, bei dem anderen nicht.

Mit 2. Ableitung 

In der Schule lernt man meist, Extremwerte mithilfe der 2. Ableitung zu berechnen.

Ein Hochpunkt liegt vor, wenn gilt:

$$ f'(x_0) = 0 \quad \text{und} \quad f''(x_0) < 0 $$

Ein Tiefpunkt liegt vor, wenn gilt:

$$ f'(x_0) = 0 \quad \text{und} \quad f''(x_0) > 0 $$

Was auf den ersten Blick etwas kryptisch aussieht, ist eigentlich ganz einfach:

1. Ableitung berechnen

Nullstellen der 1. Ableitung berechnen

Funktionsgleichung der 1. Ableitung gleich Null setzen

Gleichung lösen

2. Ableitung berechnen

Nullstellen der 1. Ableitung in die 2. Ableitung einsetzen

$\boldsymbol{y}$-Koordinaten der Extrempunkte berechnen

zu 2)

Die Nullstellen der 1. Ableitung sind die $x$-Koordinaten der Extrempunkte.

zu 5)

Ein Punkt besteht im $\mathbb{R}^2$ immer aus zwei Koordinaten, weshalb man bei der Berechnung eines Hochpunktes bzw. Tiefpunktes nicht die $y$-Koordinate vergessen darf.

Beispiel 1 

Berechne die Extrempunkte der Funktion $f(x) = x^2$.

1. Ableitung berechnen

$$ f'(x) = 2x $$

Nullstellen der 1. Ableitung berechnen

Funktionsgleichung der 1. Ableitung gleich Null setzen

$$ 2x = 0 $$

Gleichung lösen

$$ x = 0 $$

2. Ableitung berechnen

$$ f''(x) = 2 $$

Nullstellen der 1. Ableitung in die 2. Ableitung einsetzen

Da in der 2. Ableitung kein $x$ vorkommt, sind wir bereits fertig.

Die 2. Ableitung ist immer größer Null: $f''(x) = 2 > 0$.

Aus diesem Grund liegt an der Stelle $x = 0$ ein Tiefpunkt vor.

$\boldsymbol{y}$-Koordinaten der Extrempunkte berechnen

$x$-Koordinate des Tiefpunktes in die ursprüngliche Funktion $f(x)$ einsetzen

$$ y = f(0) = 0^2 = 0 $$

$\Rightarrow$ Die Funktion besitzt einen Tiefpunkt bei $(0|0)$.

Graphische Darstellung

Im Koordinatensystem ist die Funktion $f(x) = x^2$ eingezeichnet. Außerdem ist der Extremwert (= Tiefpunkt) der Funktion rot markiert.

Abb. 1 

Beispiel 2 

Berechne die Extrempunkte der Funktion $f(x) =\frac{2}{3}x^3 + 3x^2 + 4x$.

1. Ableitung berechnen

$$ f'(x) = 2x^2 + 6x + 4 $$

Nullstellen der 1. Ableitung berechnen

Funktionsgleichung der 1. Ableitung gleich Null setzen

$$ 2x^2 + 6x + 4 = 0 $$

Gleichung lösen

Es handelt sich um eine quadratische Gleichung, die wir mithilfe der Mitternachtsformel lösen. Alternativ könnte man z. B. auch die pq-Formel oder den Satz von Vieta verwenden.

$$ \begin{align*} x_{1, 2} &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\[5px] &= \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2} \\[5px] &= \frac{-6 \pm 2}{4} \end{align*} $$

Fallunterscheidung

$$ x_{1} = \frac{-6 - 2}{4} = -2 $$

$$ x_{2} = \frac{-6 + 2}{4} = -1 $$

2. Ableitung berechnen

$$ f''(x) = 4x + 6 $$

Nullstellen der 1. Ableitung in die 2. Ableitung einsetzen

$$ f''(-2) = 4 \cdot (-2) + 6 = -2 < 0 \quad \Rightarrow \text{ Hochpunkt} $$

$$ f''(-1) = 4 \cdot (-1) + 6 = 2 > 0 \quad \Rightarrow \text{ Tiefpunkt} $$

$\boldsymbol{y}$-Koordinaten der Extrempunkte berechnen

$x$-Koordinate des Hochpunktes in die ursprüngliche Funktion $f(x)$ einsetzen

$$ y = f(-2) = \frac{2}{3} \cdot (-2)^3 + 3\cdot (-2)^2 + 4\cdot (-2) = -\frac{4}{3} $$

$\Rightarrow$ Die Funktion besitzt einen Hochpunkt bei $\left(-2|{-\frac{4}{3}}\right)$.

$x$-Koordinate des Tiefpunktes in die ursprüngliche Funktion $f(x)$ einsetzen

$$ y = f(-1) = \frac{2}{3} \cdot (-1)^3 + 3\cdot (-1)^2 + 4\cdot (-1) = -\frac{5}{3} $$

$\Rightarrow$ Die Funktion besitzt einen Tiefpunkt bei $\left(-1|{-\frac{5}{3}}\right)$.

Graphische Darstellung

Im Koordinatensystem ist die Funktion $f(x) =\frac{2}{3}x^3 + 3x^2 + 4x$ eingezeichnet. Außerdem sind die Extremwerte der Funktion rot markiert.

Abb. 2 

Ohne 2. Ableitung 

Eine weitere Möglichkeit, die Extremwerte einer Funktion zu berechnen, basiert auf der Untersuchung des Monotonieverhaltens. Dabei fragen wir uns, an welchen Stellen die 1. Ableitung ihr Vorzeichen wechselt.

Die Funktion $f$ ist streng monoton steigend, wenn $f'(x) > 0$ gilt.

Die Funktion $f$ ist streng monoton fallend, wenn $f'(x) < 0$ gilt.

Dahinter verbirgt sich folgendes Vorgehen:

1. Ableitung berechnen

Nullstellen der 1. Ableitung berechnen

Funktionsgleichung der 1. Ableitung gleich Null setzen

Gleichung lösen

Intervalle aufstellen

Montonietabelle anlegen

Vorzeichen der Intervalle berechnen

Ergebnis interpretieren

$\boldsymbol{y}$-Koordinaten der Extrempunkte berechnen

zu 6)

  • Wechselt die 1. Ableitung an einem Punkt von einem positiven auf ein negatives Vorzeichen, so liegt ein Hochpunkt vor.
  • Wechselt die 1. Ableitung an einem Punkt von einem negativen auf ein positives Vorzeichen, so liegt ein Tiefpunkt vor.

Beispiel 3 

Berechne die Extrempunkte der Funktion $f(x) = x^2$.

1. Ableitung berechnen

$$ f'(x) = 2x $$

Nullstellen der 1. Ableitung berechnen

Funktionsgleichung der 1. Ableitung gleich Null setzen

$$ 2x = 0 $$

Gleichung lösen

$$ x = 0 $$

Intervalle aufstellen

Die berechnete Nullstelle teilt den relevanten Bereich in zwei Intervalle:

  1. Intervall: $\left]-\infty;0\right[$
  2. Intervall: $\left]0;+\infty\right[$

Montonietabelle anlegen

In der 1. Zeile der Monotonietabelle stehen die Intervalle.

In der 2. Zeile der Monotonietabelle notieren wir im 5. Schritt die Vorzeichen der Intervalle.

Das Grundgerüst der Tabelle sieht dementsprechend so aus:

$$ \begin{array}{c|cc} &\left]-\infty;0\right[ &\left]0;+\infty\right[\\ \hline f'(x) & & \end{array} $$

Vorzeichen der Intervalle berechnen

Um das Vorzeichen eines Intervalls zu berechnen, setzen wir eine beliebige Zahl des Intervalls in die 1. Ableitung ein.

  • Aus dem Intervall $\left]-\infty;0\right[$ wählen wir die Zahl $-1$: $$ f'(-1) = 2 \cdot (-1) = -2 \quad \Rightarrow \text{Negatives Vorzeichen} $$

  • Aus dem Intervall $\left]0;+\infty\right[$ wählen wir die Zahl $1$: $$ f'(1) = 2 \cdot 1 = 2 \quad \Rightarrow \text{Positives Vorzeichen} $$

Diese Zwischenergebnisse notieren wir in der Monotonietabelle.

$$ \begin{array}{c|cc} &\left]-\infty;0\right[ &\left]0;+\infty\right[\\ \hline f'(x) & - & +\\ \end{array} $$

Ergebnis interpretieren

Da an der Stelle $x = 0$ die 1. Ableitung der Funktion von einem negativen auf ein positives Vorzeichen wechselt, befindet sich dort ein Tiefpunkt.

$\boldsymbol{y}$-Koordinaten der Extrempunkte berechnen

$$ f(0) = 0^2 = 0 $$

Die Koordinaten des Tiefpunktes lauten: $(0|0)$.

Graphische Darstellung

Im Koordinatensystem ist die Funktion $f(x) = x^2$ eingezeichnet. Außerdem ist der Extremwert (= Tiefpunkt) der Funktion rot markiert.

In der Abbildung ist schön zu erkennen, wie die 1. Ableitung der Funktion an der Stelle $x = 0$ ihr Vorzeichen wechselt. Da der Graph erst fällt (negatives Vorzeichen) und danach steigt (positives Vorzeichen), handelt es sich um einen Tiefpunkt.

Abb. 3 

Beispiel 4 

Berechne die Extrempunkte der Funktion $f(x) =\frac{2}{3}x^3 + 3x^2 + 4x$.

1. Ableitung berechnen

$$ f'(x) = 2x^2 + 6x + 4 $$

Nullstellen der 1. Ableitung berechnen

Funktionsgleichung der 1. Ableitung gleich Null setzen

$$ 2x^2 + 6x + 4 = 0 $$

Gleichung lösen

Die Nullstellen sind $x_1 = -2$ und $x_2 = -1$.

Intervalle aufstellen

Die berechneten Nullstellen teilen den relevanten Bereich in drei Intervalle:

  1. Intervall: $\left]-\infty;-2\right[$
  2. Intervall: $\left]-2;-1\right[$
  3. Intervall: $\left]-1;+\infty\right[$

Montonietabelle anlegen

In der 1. Zeile der Monotonietabelle stehen die Intervalle.

In der 2. Zeile der Monotonietabelle notieren wir im 5. Schritt die Vorzeichen der Intervalle.

Das Grundgerüst der Tabelle sieht dementsprechend so aus:

$$ \begin{array}{c|ccc} &\left]-\infty;-2\right[ &\left]-2;-1\right[ &\left]-1;+\infty\right[\\ \hline f'(x) & & & \end{array} $$

Vorzeichen der Intervalle berechnen

Um das Vorzeichen eines Intervalls zu berechnen, setzen wir eine beliebige Zahl des Intervalls in die erste Ableitung ein.

  • Aus dem Intervall $\left]-\infty;-2\right[$ wählen wir die Zahl $-3$: $$ f'(-3) = 2\cdot (-3)^2 + 6 \cdot (-3) + 4 = 4 \quad \Rightarrow \text{Positives Vorzeichen} $$

  • Aus dem Intervall $\left]-2;-1\right[$ wählen wir die Zahl $-1{,}5$: $$ f'(-1{,}5) = 2\cdot (-1{,}5)^2 + 6 \cdot (-1{,}5) + 4 = -0{,}5 \quad \Rightarrow \text{Negatives Vorzeichen} $$

  • Aus dem Intervall $\left]-1;+\infty\right[$ wählen wir die Zahl $0$: $$ f'(0) = 2\cdot (0)^2 + 6 \cdot (0) + 4 = 4 \quad \Rightarrow \text{Positives Vorzeichen} $$

Diese Zwischenergebnisse notieren wir in der Monotonietabelle.

$$ \begin{array}{c|ccc} &\left]-\infty;-2\right[ &\left]-2;-1\right[ &\left]-1;+\infty\right[\\ \hline f'(x) & + & - & + \end{array} $$

Ergebnis interpretieren

Da an der Stelle $x = -2$ die 1. Ableitung der Funktion von einem positiven auf ein negatives Vorzeichen wechselt, befindet sich dort ein Hochpunkt.

Da an der Stelle $x = -1$ die 1. Ableitung der Funktion von einem negativen auf ein positives Vorzeichen wechselt, befindet sich dort ein Tiefpunkt.

$\boldsymbol{y}$-Koordinaten der Extrempunkte berechnen

$$ y = f(-2) = \frac{2}{3} \cdot (-2)^3 + 3\cdot (-2)^2 + 4\cdot (-2) = -\frac{4}{3} $$

Die Koordinaten des Hochpunktes lauten: $\left(-2|{-\frac{4}{3}}\right)$.

$$ y = f(-1) = \frac{2}{3} \cdot (-1)^3 + 3\cdot (-1)^2 + 4\cdot (-1) = -\frac{5}{3} $$

Die Koordinaten des Tiefpunktes lauten: $\left(-1|{-\frac{5}{3}}\right)$.

Graphische Darstellung

Im Koordinatensystem ist die Funktion $f(x) = \frac{2}{3}x^3 + 3x^2 + 4x$ eingezeichnet. Außerdem sind die Extremwerte der Funktion rot markiert.

In der Abbildung ist schön zu erkennen, wie die 1. Ableitung der Funktion an den Stellen $x = -2$ und $x = -1$ ihr Vorzeichen wechselt.

Abb. 4 

Verfahren 1 oder Verfahren 2? 

In diesem Kapitel haben wir zwei Verfahren kennengelernt, um die Extremwerte einer Funktion zu berechnen. Es stellt sich die Frage, wann man welches Verfahren am besten einsetzt.

Gründe für Verfahren 1 (Mit 2. Ableitung)

Wenn du in einer Aufgabenstellung neben der Berechnung der Extremwerte auch nach dem Krümmungsverhalten oder nach Wendepunkten gefragt wirst, so verwende dieses Verfahren. Da du die 2. Ableitung ohnehin berechnen musst, kannst du diese auch direkt einsetzen, um die Extremwerte zu berechnen.

Gründe für Verfahren 2 (Ohne 2. Ableitung)

Wenn du die 2. Ableitung im Verlauf einer Aufgabe nicht (!) brauchst, so spar es dir, diese zu berechnen und verwende eine Monotonietabelle zur Berechnung der Extremwerte. Bei gebrochenrationalen Funktionen kann es oftmals sehr schreibaufwendig sein, die 2. Ableitung zu berechnen.

Fazit

Lies dir die Aufgabenstellung vollständig durch und überlege, ob du die 2. Ableitung brauchst. Unter Umständen kannst du dir auf diese Weise eine Menge wertvoller Zeit sparen.

Formelsammlung 

Bedingung
Hochpunkt berechnen$f'(x_0) = 0 \quad \text{und} \quad f''(x_0) < 0$
Tiefpunkt berechnen$f'(x_0) = 0 \quad \text{und} \quad f''(x_0) > 0$
Wendepunkt berechnen$\begin{align*}f''(x_0) &= 0 \\[5px]f'''(x_0) &\neq 0\end{align*}$
Sattelpunkt berechnen$\begin{align*}f''(x_0) &= 0 \\[5px]f'''(x_0) & \neq 0 \end{align*}$
(Bedingung für einen Wendepunkt)

und

$f'(x_0) = 0$
(Bedingung für eine waagrechte Tangente)

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