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Extremwerte berechnen

In diesem Kapitel lernst du, wie man die Extremwerte einer Funktion berechnet. Graphisch betrachtet handelt es sich dabei um Hochpunkte bzw. Tiefpunkte.

Grundsätzlich gibt es zwei unterschiedliche Herangehensweisen, um die Extremwerte einer Funktion zu berechnen. Der Unterschied der beiden Verfahren besteht in der Verwendung der zweiten Ableitung. Bei dem einen Verfahren musst du die zweite Ableitung berechnen, bei anderen kannst du dir die zweite Ableitung sparen.

Extremwerte berechnen - mit 2. Ableitung!

In der Schule lernt man meist, Extremwerte mit Hilfe der zweiten Ableitung zu berechnen.

In diesem Zusammenhang solltest du folgende Definitionen kennen:

Ein Hochpunkt liegt vor, wenn gilt:

\(f'(x_0) = 0 \qquad \text{und} \qquad f''(x_0) < 0\)

Ein Tiefpunkt liegt vor, wenn gilt:

\(f'(x_0) = 0 \qquad \text{und} \qquad f''(x_0) > 0\)

Was auf den ersten Blick vielleicht etwas kryptisch aussieht, ist eigentlich ganz einfach:

  1. Erste Ableitung berechnen
  2. Nullstellen der ersten Ableitung berechnen
  3. Zweite Ableitung berechnen
  4. Nullstellen der ersten Ableitung in die zweite Ableitung einsetzen
    \(\rightarrow\) ist die zweite Ableitung dann kleiner Null, handelt es sich um einen Hochpunkt
    \(\rightarrow\) ist die zweite Ableitung hingegen größer Null, handelt es sich um einen Tiefpunkt
  5. y-Koordinaten der Hochpunkte/Tiefpunkte berechnen

Beispiel 1

Die Funktion \(f(x) = x^2\) ist auf Extremwerte zu untersuchen.

1.) Erste Ableitung berechnen

\(f'(x) = 2x\)

2.) Nullstellen der ersten Ableitung berechnen

Ansatz: \(f'(x) = 0\)

\(f'(x) = 2x = 0 \qquad \rightarrow \qquad x = 0\)

3.) Zweite Ableitung berechnen

\(f''(x) = 2\)

4.) Nullstellen der ersten Ableitung in die zweite Ableitung einsetzen

Da in der zweiten Ableitung kein x vorkommt, sind wir bereits fertig!

Die zweite Ableitung ist immer größer Null: \(f''(x) = 2 > 0\).

...aus diesem Grund liegt an der Stelle \(x = 0\) ein Tiefpunkt vor.

5.) y-Koordinate des Tiefpunktes berechnen

Unsere Aufgabe ist es, einen HochPUNKT bzw. einen TiefPUNKT zu berechnen. Ein Punkt bestimmt immer aus zwei Koordinaten, weshalb man die Berechnung der y-Koordinante nicht vergessen darf!

Dazu setzen wir den bereits bekannten x-Wert des Tiefpunktes in die ursprüngliche Funktion \(f(x)\) ein:

\(y = f(0) = 0^2 = 0\)

Zusammenfassung

Die Funktion besitzt einen Tiefpunkt an der Stelle (0|0).

Im Koordinatensystem ist die Funktion \(f(x) = x^2\) eingezeichnet. Außerdem ist der Extremwert (= Tiefpunkt) der Funktion rot markiert.

Beispiel 2

Die Funktion \(f(x) =\frac{2}{3}x^3 + 3x^2 + 4x\) ist auf Extremwerte zu untersuchen.

1.) Erste Ableitung berechnen

\(f'(x) = 2x^2 + 6x + 4\)

2.) Nullstellen der ersten Ableitung berechnen

Ansatz: \(f'(x) = 0\)

\(f'(x) = 2x^2 + 6x + 4 = 0\)

Es handelt sich um eine quadratische Gleichung, die wir mit Hilfe der Mitternachtsformel lösen. Alternativ könnte man z.B. auch die pq-Formel oder den Satz von Vieta verwenden.

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2} = \frac{-6 \pm 2}{4}\]

\[x_{1} = \frac{-6 - 2}{4} = -2\]

\[x_{2} = \frac{-6 + 2}{4} = -1\]

3.) Zweite Ableitung berechnen

\(f''(x) = 4x + 6\)

4.) Nullstellen der ersten Ableitung in die zweite Ableitung einsetzen

\(f''(-2) = 4 \cdot (-2) + 6 = -2 < 0 \qquad \text{an der Stelle \(x = -2\) ist ein Hochpunkt}\)

\(f''(-1) = 4 \cdot (-1) + 6 = 2 > 0 \qquad \text{an der Stelle \(x = -1\) ist ein Tiefpunkt}\)

5.) y-Koordinate des Hochpunktes/Tiefpunktes berechnen

Unsere Aufgabe ist es, einen HochPUNKT bzw. einen TiefPUNKT zu berechnen. Ein Punkt bestimmt immer aus zwei Koordinaten, weshalb man die Berechnung der y-Koordinante nicht vergessen darf!

Dazu setzen wir den bereits bekannten x-Wert des Hochpunktes/Tiefpunktes in die ursprüngliche Funktion \(f(x\) ein:

\(y = f(-2) = \frac{2}{3} \cdot (-2)^3 + 3\cdot (-2)^2 + 4\cdot (-2) = -\frac{4}{3}\)

\(y = f(-1) = \frac{2}{3} \cdot (-1)^3 + 3\cdot (-1)^2 + 4\cdot (-1) = -\frac{5}{3}\)

Zusammenfassung

Die Funktion besitzt einen Hochpunkt an der Stelle \(\left(-2|-\frac{4}{3}\right)\).

Die Funktion besitzt einen Tiefpunkt an der Stelle \(\left(-1|-\frac{5}{3}\right)\).

Im Koordinatensystem ist die Funktion \(f(x) =\frac{2}{3}x^3 + 3x^2 + 4x\) eingezeichnet. Außerdem sind die Extremwerte der Funktion rot markiert.

Extremwerte berechnen - ohne 2. Ableitung!

Eine weitere Möglichkeit, die Extremwerte einer Funktion zu berechnen, basiert auf der Untersuchung des Monotonieverhaltens.

Dabei sollten dir folgende Definitionen geläufig sein:

Die Funktion \(f\) ist streng monoton steigend, wenn \(f'(x) > 0\) gilt.

Die Funktion \(f\) ist streng monoton fallend, wenn \(f'(x) < 0\) gilt.

Vereinfacht gesagt geht es darum, zu überprüfen an welchen Punkten die erste Ableitung der Funktion ihr Vorzeichen wechselt. An diesen Punkten liegen die Extremwerte der Funktion.

Hinter den obigen Definitionen verbirgt sich folgendes Vorgehen:

  1. Erste Ableitung berechnen
  2. Nullstellen der ersten Ableitung berechnen
  3. Intervalle benennen
  4. Monotonietabelle aufstellen
  5. Vorzeichen der Intervalle berechnen
  6. Ergebnis interpretieren
    \(\rightarrow\) wechselt die erste Ableitung an einem Punkt von einem positiven auf ein negatives Vorzeichen, so liegt ein Hochpunkt vor
    \(\rightarrow\) wechselt die erste Ableitung an einem Punkt von einem negativen auf ein positives Vorzeichen, so liegt ein Tiefpunkt vor
  7. y-Koordinaten der Hochpunkte/Tiefpunkte berechnen

Beispiel 1

Die Funktion \(f(x) = x^2\) ist auf Extremwerte zu untersuchen.

1.) Erste Ableitung berechnen

\(f'(x) = 2x\)

2.) Nullstellen der ersten Ableitung berechnen

\(2x = 0 \qquad \rightarrow \quad x = 0\)

3.) Intervalle benennen

Die berechnete Nullstelle teilt den relevanten Bereich in zwei Intervalle.

  1. Intervall: \(\left]-\infty;0\right[\)
  2. Intervall: \(\left]0;+\infty\right[\)

4.) Monotonietabelle aufstellen

In der ersten Zeile der Monotonietabelle stehen die Intervalle.

In der zweiten Zeile der Monotonietabelle notieren wir im 5. Schritt die Vorzeichen der Intervalle.

Das Grundgerüst der Tabelle sieht dementsprechend so aus:

\(\begin{array}{c|cc}
&\left]-\infty;0\right[ &\left]0;+\infty\right[\\ \hline
f'(x) & &
\end{array}\)

5.) Vorzeichen der Intervalle berechnen

Um das Vorzeichen eines Intervalls zu berechnen, setzen wir eine beliebige Zahl des Intervalls in die erste Ableitung ein.

  • Aus dem Intervall \(\left]-\infty;0\right[\) wählen wir die Zahl "-1":
    \(f'(-1) = 2 \cdot (-1) = -2 \quad \rightarrow \text{negatives Vorzeichen}\)

  • Aus dem Intervall \(\left]0;+\infty\right[\) wählen wir die Zahl "1":
    \(f'(1) = 2 \cdot 1 = 2 \quad \rightarrow \text{positives Vorzeichen}\)

Diese Zwischenergebnisse notieren wir in der Monotonietabelle.

\(\begin{array}{c|cc}
&\left]-\infty;0\right[ &\left]0;+\infty\right[\\ \hline
f'(x) & - & +\\
\end{array}\)

6.) Ergebnis interpretieren

Da an der Stelle \(x = 0\) die erste Ableitung der Funktion von einem negativen auf ein positives Vorzeichen wechselt, befindet sich dort ein Tiefpunkt.

7.) y-Koordinate des Tiefpunktes berechnen

\(f(0) = 0^2 = 0\)

Die Koordinaten des Tiefpunktes lauten: (0|0).

Im Koordinatensystem ist die Funktion \(f(x) = x^2\) eingezeichnet. Außerdem ist der Extremwert (= Tiefpunkt) der Funktion rot markiert.

In der Graphik ist schön zu erkennen, wie die erste Ableitung der Funktion an der Stelle \(x = 0\) ihr Vorzeichen wechselt. Da der Graph erst fällt (negatives Vorzeichen) und danach steigt (positives Vorzeichen), handelt es sich um einen Tiefpunkt.

Beispiel 2

Die Funktion \(f(x) =\frac{2}{3}x^3 + 3x^2 + 4x\) ist auf Extremwerte zu untersuchen.

1.) Erste Ableitung berechnen

\(f'(x) = 2x^2 + 6x + 4\)

2.) Nullstellen der ersten Ableitung berechnen

Die Nullstellen sind \(x_1 = -2\) und \(x_2 = -1\).

3.) Intervalle benennen

Die berechneten Nullstellen teilen den relevanten Bereich in drei Intervalle.

  1. Intervall: \(\left]-\infty;-2\right[\)
  2. Intervall: \(\left]-2;-1\right[\)
  3. Intervall: \(\left]-1;+\infty\right[\)

4.) Monotonietabelle aufstellen

In der ersten Zeile der Monotonietabelle stehen die Intervalle.

In der zweiten Zeile der Monotonietabelle notieren wir im 5. Schritt die Vorzeichen der Intervalle.

Das Grundgerüst der Tabelle sieht dementsprechend so aus:

\(\begin{array}{c|ccc}
&\left]-\infty;-2\right[ &\left]-2;-1\right[ &\left]-1;+\infty\right[\\ \hline
f'(x) & & &
\end{array}\)

5.) Vorzeichen der Intervalle berechnen

Um das Vorzeichen eines Intervalls zu berechnen, setzen wir eine beliebige Zahl des Intervalls in die erste Ableitung ein.

  • Aus dem Intervall \(\left]-\infty;-2\right[\) wählen wir die Zahl "-3":
    \(f'(-3) = 2\cdot (-3)^2 + 6 \cdot (-3) + 4 = 4 \quad \rightarrow \text{positives Vorzeichen}\)

  • Aus dem Intervall \(\left]-2;-1\right[\) wählen wir die Zahl "-1,5":
    \(f'(-1,5) = 2\cdot (-1,5)^2 + 6 \cdot (-1,5) + 4 = -0,5 \quad \rightarrow \text{negatives Vorzeichen}\)

  • Aus dem Intervall \(\left]-1;+\infty\right[\) wählen wir die Zahl "0":
    \(f'(0) = 2\cdot (0)^2 + 6 \cdot (0) + 4 = 4 \quad \rightarrow \text{positives Vorzeichen}\)

Diese Zwischenergebnisse notieren wir in der Monotonietabelle.

\(\begin{array}{c|ccc}
&\left]-\infty;-2\right[ &\left]-2;-1\right[ &\left]-1;+\infty\right[\\ \hline
f'(x) &+&-&+
\end{array}\)

6.) Ergebnis interpretieren

Da an der Stelle \(x = -2\) die erste Ableitung der Funktion von einem positiven auf ein negatives Vorzeichen wechselt, befindet sich dort ein Hochpunkt.

Da an der Stelle \(x = -1\) die erste Ableitung der Funktion von einem negativen auf ein positives Vorzeichen wechselt, befindet sich dort ein Tiefpunkt.

7.) y-Koordinate des Hochpunktes/Tiefpunktes berechnen

\(y = f(-2) = \frac{2}{3} \cdot (-2)^3 + 3\cdot (-2)^2 + 4\cdot (-2) = -\frac{4}{3}\)

Die Koordinaten des Hochpunktes lauten: \(\left(-2|-\frac{4}{3}\right)\).

\(y = f(-1) = \frac{2}{3} \cdot (-1)^3 + 3\cdot (-1)^2 + 4\cdot (-1) = -\frac{5}{3}\)

Die Koordinaten des Tiefpunktes lauten: \(\left(-1|-\frac{5}{3}\right)\).

Im Koordinatensystem ist die Funktion \(f(x) =\frac{2}{3}x^3 + 3x^2 + 4x\) eingezeichnet. Außerdem sind die Extremwerte der Funktion rot markiert.

In der Graphik ist schön zu erkennen, wie die erste Ableitung der Funktion an den Stellen \(x = -2\) und \(x = -1\) ihr Vorzeichen wechselt.

Verfahren 1 oder Verfahren 2?

In diesem Kapitel haben wir zwei Verfahren kennengelernt, um die Extremwerte einer Funktion zu berechnen. Es stellt sich die Frage, wann man welches Verfahren am besten einsetzt.

Gründe für Verfahren 1 (mit zweiter Ableitung)

Wenn du in einer Aufgabenstellung neben der Berechnung der Extremwerte auch nach dem Krümmungsverhalten oder nach Wendepunkten gefragt wirst, so verwende dieses Verfahren. Da du die zweite Ableitung ohnehin berechnen musst, kannst du diese auch direkt einsetzen, um die Extremwerte zu berechnen.

Gründe für Verfahren 2 (ohne zweite Ableitung)

Wenn du die zweite Ableitung im Verlauf einer Aufgabe nicht (!) brauchst, so spar es dir, diese zu berechnen und verwende eine Monotonietabelle zur Berechnung der Extremwerte. Bei gebrochenrationalen Funktionen kann es oftmals sehr schreibaufwendig sein, die zweite Ableitung zu berechnen. Es kann sich also lohnen, auf diese zu verzichten, sofern du die zweite Ableitung - wie gesagt - im weiteren Verlauf der Aufgabe nicht benötigst.

Fazit

Lies dir die Aufgabenstellung vollständig durch und überlege, ob du die zweite Ableitung brauchst. Unter Umständen kannst du dir auf diese Weise eine Menge wertvoller Zeit sparen.

Extremwerte - Formelsammlung

In der folgenden Übersicht findest du eine Formelsammlung zur Berechnung der Extremwerte.

  Bedingung
Hochpunkt berechnen \(f'(x_0) = 0 \qquad \text{und} \qquad f''(x_0) < 0\)
Tiefpunkt berechnen \(f'(x_0) = 0 \qquad \text{und} \qquad f''(x_0) > 0\)
Wendepunkt berechnen \(f''(x_0) = 0\)
\(f'''(x_0) \neq 0\)
Sattelpunkt berechnen \(\left.\begin{align*} f''(x_0) &= 0\\ f'''(x_0)& \neq 0 \end{align*}\right\}\) Bedingung für einen Wendepunkt
und
\(f'(x_0) = 0\) (Bedingung für eine waagrechte Tangente)

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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