1. Ableitung

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit der Bedeutung bzw. der Interpretation der ersten Ableitung. Falls du noch nicht weißt, wie man die erste Ableitung berechnet, solltest du dir den Themenbereich der Differentialrechnung durchlesen.

Wir wissen bereits, dass die Ableitung von \(f(x) = x^2\) gleich \(f'(x) = 2x\) ist. Doch was bedeutet das eigentlich?

Geometrisch entspricht die Ableitung einer Funktion der Tangentensteigung. Schauen wir uns dazu ein Beispiel an.

Im Koordinatensystem ist der Graph der Funktion \(f(x) = x^2\) (rot) sowie der Graph der Tangente (blau) eingezeichnet.

Du kannst in der Graphik den weißen Knopf verschieben, um leichter zu erkennen, dass Folgendes gilt:

Die Ableitung einer beliebigen Funktion an einer Stelle \(x_0\) ist definiert als die Steigung der Tangente im Punkt \((x_0;f(x_0))\) des Graphen von \(f\).

Ausblick: Im Kapitel Extremwerte berechnen werden wir lernen, dass ein notwendiges Kriterium für Extremwerte (= Hochpunkt oder Tiefpunkt) das Vorliegen einer waagrechten Tangente ist. In der obigen Graphik kannst du eine waagrechte Tangente erzeugen, wenn du den weißen Knopf auf \(x_0=0\) bewegst. Genau an dieser Stelle liegt nämlich der Tiefpunkt dieser quadratischen Funktion. Allgemein liegen waagrechte Tangenten an allen Punkten, für die die 1. Ableitung gleich Null ist: \(f'(x_0) = 0\);

Außerdem gilt Folgendes (was sich auch leicht in der obigen Graphik nachvollziehen lässt):

  • liegt \(x_0\) in einem Bereich, indem die Kurve steigt, gilt \(f'(x_0) > 0\)
  • liegt \(x_0\) in einem Bereich, indem die Kurve fällt, gilt \(f'(x_0) < 0\)

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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