Nullstellen berechnen

In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man Nullstellen berechnet.

Erforderliches Vorwissen

Einordnung 

Im Rahmen einer Untersuchung einer Funktion (Kurvendiskussion) interessiert man sich häufig für den Schnittpunkt des Funktionsgraphen mit der $x$-Achse. Dabei gilt:

Die $\boldsymbol{y}$-Koordinate eines Schnittpunktes mit der $x$-Achse ist Null.

Gegeben ist der Graph einer Funktion.

Die Koordinaten des Schnittpunktes mit der $x$-Achse lassen sich leicht ablesen: $\text{S}(3|{\color{red}0})$.

Abb. 1 

Da die $y$-Koordinate eines Schnittpunktes mit der $x$-Achse stets Null ist, wird meist nur nach der $x$-Koordinate gefragt. Diese $x$-Koordinate hat einen speziellen Namen:

Die $x$-Koordinate des Schnittpunktes eines Graphen mit der $x$-Achse heißt Nullstelle.

Eine Funktion kann mehrere Nullstellen haben.

Nullstellen wichtiger Funktionen 

Funktionsgleichung gleich Null setzen

Gleichung lösen

zu 1)

Nullstellen sind jene $x$-Werte, die eingesetzt in die Funktion den Funktionswert Null liefern.

Ansatz: $f(x) = 0$

zu 2)

Im Folgenden wird vorausgesetzt, dass du weißt, wie man Gleichungen löst.

Lineare Funktionen 

Lineare Funktionen haben höchstens eine Nullstelle.

Beispiel 1 

Berechne die Nullstelle der linearen Funktion $f(x) = 4x + 5$.

Funktionsgleichung gleich Null setzen

$$ 4x + 5 = 0 $$

Gleichung lösen

Die Lösung der linearen Gleichung berechnen wir mithilfe von Äquivalenzumformungen:

$$ \begin{align*} 4x + 5 &= 0 &&|\, -5 \\[5px] 4x &= -5 &&|\, :4 \\[5px] x &= -\frac{5}{4} = -1{,}25 \end{align*} $$

Die Nullstelle der Funktion $f(x) = 4x + 5$ ist $x = -1{,}25$.

Beispiel 2 

Berechne die Nullstelle der linearen Funktion $f(x) = 7x - 21$.

Funktionsgleichung gleich Null setzen

$$ 7x - 21 = 0 $$

Gleichung lösen

Die Lösung der linearen Gleichung berechnen wir mithilfe von Äquivalenzumformungen:

$$ \begin{align*} 7x - 21 &= 0 &&|\, +21 \\[5px] 7x &= 21 &&|\, :7 \\[5px] x &= \frac{21}{7} = 3 \end{align*} $$

Die Nullstelle der Funktion $f(x) = 7x - 21$ ist $x = 3$.

Mehr dazu: Nullstelle einer linearen Funktion berechnen

Quadratische Funktionen 

Quadratische Funktionen haben höchstens zwei Nullstellen.

Beispiel 3 

Berechne die Nullstellen der quadratischen Funktion $f(x) = x \cdot (x - 5) + 4$.

Funktionsgleichung gleich Null setzen

$$ x \cdot (x - 5) + 4 = 0 $$

Gleichung lösen

Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind

$$ x_1 = 1 $$

$$ x_2 = 4 $$

Beispiel 4 

Berechne die Nullstellen der quadratischen Funktion $f(x) = 6x + 2x^2 + 4$.

Funktionsgleichung gleich Null setzen

$$ 6x + 2x^2 + 4 = 0 $$

Gleichung lösen

Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind

$$ x_1 = -2 $$

$$ x_2 = -1 $$

Mehr dazu: Nullstellen einer quadratischen Funktion berechnen

Kubische Funktionen 

Kubische Funktionen haben höchstens drei Nullstellen.

Beispiel 5 

Berechne die Nullstellen der kubischen Funktion $f(x) = 2x^3 + 4x^2 - 2x - 4$.

Funktionsgleichung gleich Null setzen

$$ 2x^3 + 4x^2 - 2x - 4 = 0 $$

Gleichung lösen

Die Lösungen der kubischen Gleichung sind

$$ x_1 = 1 $$

$$ x_2 = -2 $$

$$ x_3 = -1 $$

Gebrochenrationale Funktionen 

Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion berechnen

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