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Nullstellen berechnen

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Berechnen von Nullstellen.

Im Rahmen einer Untersuchung einer Funktion (Kurvendiskussion) interessiert man sich häufig für den Schnittpunkt des Funktionsgraphen mit der x-Achse. Dabei gilt:

Die y-Koordinate eines Schnittpunktes mit der x-Achse ist Null.

Gegeben ist der Graph einer Funktion.

Die Koordinaten des Schnittpunktes mit der x-Achse lassen sich leicht ablesen: \(\text{S}(3|{\color{red}0})\).

Da die y-Koordinate eines Schnittpunktes mit der x-Achse stets Null ist, wird meist nur nach der x-Koordinate gefragt. Diese x-Koordinate hat einen speziellen Namen:

Die x-Koordinate des Schnittpunktes eines Graphen mit der x-Achse bezeichnet man als Nullstelle.

Da eine Funktion mehrere Nullstellen haben kann, gilt:

Nullstellen sind jene \(x\)-Werte, die eingesetzt in die Funktion den Funktionswert Null liefern. [Ansatz: \(f(x) = 0\)]

Der Typ der Funktion entscheidet, wie leicht/schwer es ist, die Nullstellen zu berechnen.

Nullstelle linearer Funktionen berechnen

Allgemein hat eine lineare Funktion folgende Gestalt

\(f(x) = mx + n\)

Vorgehensweise

  1. Funktion \(f(x)\) gleich Null setzen
  2. Gleichung nach \(x\) auflösen

Beispiel 1

\(f(x) = 4x + 5\)

1. Schritt: Funktion \(f(x)\) gleich Null setzen

\(f(x) = 4x + 5 = 0\)

2. Schritt: Gleichung nach \(x\) auflösen

\(4x + 5 = 0\)

\(4x = -5\)

\(x = -\frac{5}{4} = -1,25\)

Antwort: Die Nullstelle der Funktion \(f(x) = 4x + 5\) ist \(x = -1,25\).

Beispiel 2

\(f(x) = 7x - 21\)

1. Schritt: Funktion \(f(x)\) gleich Null setzen

\(f(x) = 7x - 21 = 0\)

2. Schritt: Gleichung nach \(x\) auflösen

\(7x - 21 = 0\)

\(7x = 21\)

\(x = \frac{21}{7} = 3\)

Antwort: Die Nullstelle der Funktion \(f(x) = 7x - 21\) ist \(x = 3\).

Nullstellen quadratischer Funktionen berechnen

Allgemein hat eine quadratische Funktion folgende Gestalt

\(f(x) = ax^2 + bx + c\)

Quadratische Gleichungen löst man am einfachsten mit der Mitternachtsformel (auch a-b-c-Formel genannt). Die Mitternachtsformel sieht folgendermaßen aus

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Vorgehensweise

  1. Gleichung in die Form \(f(x) = ax^2 + bx + c\) bringen
  2. Mitternachtsformel anwenden

Beispiel 1

\(f(x) = x \cdot (x - 5) + 4\)

1. Schritt: Gleichung in die Form \(f(x) = ax^2 + bx + c\) bringen

\(f(x) = x \cdot (x - 5) + 4 = x^2 - 5x + 4\)

2. Schritt: Mitternachtsformel anwenden

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 3}{2}\]

\[x_{1} = \frac{5 - 3}{2} = 1\]

\[x_{2} = \frac{5 + 3}{2} = 4\]

Antwort: Die Nullstellen der Funktion \(f(x) = x \cdot (x - 5) + 4\) sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 4\).

Beispiel 2

\(f(x) = 6x + 2x^2 + 4\)

1. Schritt: Gleichung in die Form \(f(x) = ax^2 + bx + c\) bringen

\(f(x) = 6x + 2x^2 + 4 = 2x^2 + 6x + 4\)

2. Schritt: Mitternachtsformel anwenden

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2} = \frac{-6 \pm 2}{4}\]

\[x_{1} = \frac{-6 - 2}{4} = -2\]

\[x_{2} = \frac{-6 + 2}{4} = -1\]

Antwort: Die Nullstellen der Funktion \(f(x) = 6x + 2x^2 + 4\) sind \(x_1 = -2\) und \(x_2 = -1\).

Nullstellen kubischer Funktionen berechnen

Allgemein hat eine kubische Funktion folgende Gestalt

\(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\)

Vorgehensweise

  1. Nullstelle erraten
  2. Polynomdivision anwenden
  3. Nullstelle des berechneten Terms finden

Beispiel

\(f(x) = 2x^3 + 4x^2 - 2x - 4\)

1. Schritt: Nullstelle erraten

Ja, du hast richtig gelesen. Du sollst eine Nullstelle raten. Das funktioniert natürlich nur, wenn die Nullstelle nicht allzu schwer zu finden ist. In der Schule genügt es meist, wenn du die ganzzahlige Werte zwischen -3 und +3 einsetzt.

Erster Rateversuch: Nullstelle bei \(x = 0\)?

\(f(0) = 2\cdot 0^3 + 4 \cdot 0^2 - 2 \cdot 0 - 4 = -4 \neq 0\)

Zweiter Rateversuch: Nullstelle bei \(x = 1\)?

\(f(1) = 2\cdot 1^3 + 4 \cdot 1^2 - 2 \cdot 1 - 4 = 0\)

Super! Wir haben durch Raten eine Nullstelle gefunden. Jetzt wenden wir die Polynomdivision an, um möglichst schnell die anderen beiden Nullstellen zu finden.

Hinweis: Im Artikel "Kubische Gleichungen lösen" lernen wir ein einfaches Verfahren kennen, das uns dabei hilft, eine Nullstelle zu erraten.

2. Schritt: Polynomdivision anwenden

Die Polynomdivision läuft so ab, dass wir unsere Funktion durch \((x-1)\) teilen. Es wird durch \((x-1)\) geteilt, weil ja bei \(x = 1\) eine Nullstelle ist. Wäre die Nullstelle bei \(x = -3\), würde man durch \((x+3)\) teilen.

Ausgangssituation

\[2x^3 + 4x^2 - 2x - 4:(x-1)= \quad?\]

Hinweis: In dem Artikel "Polynomdivision" findest du dieses Beispiel ausführlich erklärt!

Endsituation (nach der Polynomdivision)

\[2x^3 + 4x^2 - 2x - 4:(x-1)= 2x^2 + 6x + 4\]

Übrigens: Das Horner-Schema ist eine einfache Alternative zur Polynomdivision!

3. Schritt: Nullstelle des berechneten Terms finden

Die anderen beiden Nullstellen erhalten wir, wenn wir die quadratische Gleichung lösen, die wir bei der Polynomdivision berechnet haben.

\(2x^2 + 6x + 4 = 0\)

Dabei handelt es sich um dieselbe Gleichung, die im 2. Beispiel im Abschnitt "Nullstellen quadratischer Funktionen" besprochen wurde. Die beiden Nullstellen heißen somit: \(x_2 = -2\) und \(x_3 = -1\). Da wir eine Nullstelle bereits erraten haben - nämlich \(x_1 = 1\) - haben wir alle drei Nullstellen dieser Gleichung gefunden.

Zusammenfassung:
Nullstellen und ihre Berechnung

Als Nullstelle bezeichnet man die x-Koordinate des Schnittpunktes eines Funktionsgraphen mit der x-Achse. Da die y-Koordinate dieses Schnittpunktes stets Null ist, kann man sagen: Nullstellen sind jene x-Werte, die einsetzt die Funktion den Funktionswert Null liefern.

Die Nullstelle einer linearen Funktion erhält man, indem man die Funktion gleich Null setzt und anschließend mit Hilfe von Äquivalenzumformungen nach \(x\) auflöst.

Die Nullstellen einer quadratischen Funktion berechnet man meist mit Hilfe der Mitternachtsformel. Daneben eignet sich noch die pq-Formel oder der Satz von Vieta zur Berechnung der Nullstellen quadratischer Funktionen.

Um die Nullstelle einer kubischen Funktion zu berechnen, muss man zunächst eine Nullstelle erraten. Im Anschluss daran vereinfacht man den Term mit Hilfe der Polynomdivision oder des Horner-Schemas. Auf diese Weise erhält man wiederum eine quadratische Funktion, die man mit den bereits weiter oben erwähnten Verfahren lösen kann.

Am einfachsten ist es, wenn sich der Funktionsterm vollständig faktorisieren lässt.
Dann kann man nämlich den Satz vom Nullprodukt anwenden, um die Nullstellen zu berechnen.

Andreas Schneider

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Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider

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