Nullstellen berechnen
In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man Nullstellen berechnet.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Funktion?
- Was ist eine Nullstelle?
Einordnung
Im Rahmen einer Untersuchung einer Funktion (Kurvendiskussion) interessiert man sich häufig für den Schnittpunkt des Funktionsgraphen mit der $x$-Achse. Dabei gilt:
Die $\boldsymbol{y}$-Koordinate eines Schnittpunktes mit der $x$-Achse ist Null.
Gegeben ist der Graph einer Funktion.
Die Koordinaten des Schnittpunktes mit der $x$-Achse lassen sich leicht ablesen: $\text{S}(3|{\color{red}0})$.
Da die $y$-Koordinate eines Schnittpunktes mit der $x$-Achse stets Null ist, wird meist nur nach der $x$-Koordinate gefragt. Diese $x$-Koordinate hat einen speziellen Namen:
Die $x$-Koordinate des Schnittpunktes eines Graphen mit der $x$-Achse heißt Nullstelle.
Eine Funktion kann mehrere Nullstellen haben.
Nullstellen wichtiger Funktionen
Funktionsgleichung gleich Null setzen
Gleichung lösen
zu 1)
Nullstellen sind jene $x$-Werte, die eingesetzt in die Funktion den Funktionswert Null liefern.
Ansatz: $f(x) = 0$
zu 2)
Im Folgenden wird vorausgesetzt, dass du weißt, wie man Gleichungen löst.
Lineare Funktionen
Lineare Funktionen haben höchstens eine Nullstelle.
Berechne die Nullstelle der linearen Funktion $f(x) = 4x + 5$.
Funktionsgleichung gleich Null setzen
$$ 4x + 5 = 0 $$
Gleichung lösen
Die Lösung der linearen Gleichung berechnen wir mithilfe von Äquivalenzumformungen:
$$ \begin{align*} 4x + 5 &= 0 &&|\, -5 \\[5px] 4x &= -5 &&|\, :4 \\[5px] x &= -\frac{5}{4} = -1{,}25 \end{align*} $$
Die Nullstelle der Funktion $f(x) = 4x + 5$ ist $x = -1{,}25$.
Berechne die Nullstelle der linearen Funktion $f(x) = 7x - 21$.
Funktionsgleichung gleich Null setzen
$$ 7x - 21 = 0 $$
Gleichung lösen
Die Lösung der linearen Gleichung berechnen wir mithilfe von Äquivalenzumformungen:
$$ \begin{align*} 7x - 21 &= 0 &&|\, +21 \\[5px] 7x &= 21 &&|\, :7 \\[5px] x &= \frac{21}{7} = 3 \end{align*} $$
Die Nullstelle der Funktion $f(x) = 7x - 21$ ist $x = 3$.
Mehr dazu: Nullstelle einer linearen Funktion berechnen
Quadratische Funktionen
Quadratische Funktionen haben höchstens zwei Nullstellen.
Berechne die Nullstellen der quadratischen Funktion $f(x) = x \cdot (x - 5) + 4$.
Funktionsgleichung gleich Null setzen
$$ x \cdot (x - 5) + 4 = 0 $$
Gleichung lösen
Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind
$$ x_1 = 1 $$
$$ x_2 = 4 $$
Berechne die Nullstellen der quadratischen Funktion $f(x) = 6x + 2x^2 + 4$.
Funktionsgleichung gleich Null setzen
$$ 6x + 2x^2 + 4 = 0 $$
Gleichung lösen
Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind
$$ x_1 = -2 $$
$$ x_2 = -1 $$
Mehr dazu: Nullstellen einer quadratischen Funktion berechnen
Kubische Funktionen
Kubische Funktionen haben höchstens drei Nullstellen.
Berechne die Nullstellen der kubischen Funktion $f(x) = 2x^3 + 4x^2 - 2x - 4$.
Funktionsgleichung gleich Null setzen
$$ 2x^3 + 4x^2 - 2x - 4 = 0 $$
Gleichung lösen
Die Lösungen der kubischen Gleichung sind
$$ x_1 = 1 $$
$$ x_2 = -2 $$
$$ x_3 = -1 $$
