Wendepunkt berechnen
In diesem Kapitel lernst du, wie man den Wendepunkt einer Funktion berechnet.
Graphisch betrachtet handelt es sich bei einem Wendepunkt um einen Punkt, an dem der Funktionsgraph sein Krümmungsverhalten ändert. Er wechselt an dieser Stelle entweder von einer Rechts- in eine Linkskurve oder umgekehrt.
Ein Wendepunkt liegt vor, wenn gilt:
\(f''(x_0) = 0 \qquad \text{und} \qquad f'''(x_0) \neq 0\)
Was auf den ersten Blick vielleicht etwas kryptisch aussieht, ist eigentlich ganz einfach:
- Zweite Ableitung berechnen
- Nullstellen der zweiten Ableitung berechnen
- Dritte Ableitung berechnen
- Die in Schritt 2 berechneten x-Werte in die dritte Ableitung einsetzen
-> ist die dritte Ableitung dann ungleich Null, handelt es sich um einen Wendepunkt - Die berechneten x-Werte in die Funktion \(f(x)\) einsetzen, um die y-Koordinaten der Wendepunkte zu berechnen
Wendepunkt berechnen - Beispiel 1
Die Funktion \(f(x) = x^3\) ist auf Wendepunkte zu untersuchen.
1.) 2. Ableitung berechnen
\(f'(x) = 3x^2\)
\(f''(x) = 6x\)
2.) Für welche x-Werte wird die 2. Ableitung gleich Null?
Ansatz: \(f''(x) = 0\)
\(f''(x) = 6x = 0 \qquad \rightarrow \qquad x = 0\)
3.) 3. Ableitung berechnen
\(f'''(x) = 6\)
4.) Den in Schritt 2 berechneten x-Wert in die 3. Ableitung einsetzen
Da in der dritten Ableitung kein x vorkommt, sind wir bereits fertig!
Die dritte Ableitung ist immer ungleich Null: \(f'''(x) = 6 \neq 0\).
...aus diesem Grund liegt an der Stelle \(x = 0\) ein Wendepunkt vor.
5.) x-Wert in die Funktion \(f(x)\) einsetzen, um die y-Koordinate des Wendepunktes zu berechnen
Unsere Aufgabe ist es, einen WendePUNKT zu berechnen. Ein Punkt bestimmt immer aus zwei Koordinaten, weshalb man die Berechnung der y-Koordinante nicht vergessen darf!
\(y = f(0) = 0^3 = 0\)
Zusammenfassung
Die Funktion besitzt an der Stelle (0|0) einen Wendepunkt.
Im Koordinatensystem ist die Funktion \(f(x) = x^3\) eingezeichnet. Außerdem ist der Wendepunkt der Funktion rot markiert.
Für \(x < 0\) ist die Funktion rechtsgekrümmt.
Für \(x > 0\) ist die Funktion linksgekrümmt.
Es wird deutlich, dass der Wendepunkt \(x = 0\) der Punkt ist, an dem sich das Krümmungsverhalten ändert.
Wendepunkt berechnen - Beispiel 2
Die Funktion \(f(x) =\frac{2}{3}x^3 + 3x^2 + 4x\) ist auf Wendepunkte zu untersuchen.
1.) 2. Ableitung berechnen
\(f'(x) = 2x^2 + 6x + 4\)
\(f''(x) = 4x + 6\)
2.) Für welche x-Werte wird die 2. Ableitung gleich Null?
Ansatz: \(f''(x) = 0\)
\[f''(x) = 4x + 6 = 0 \qquad \rightarrow \quad x = -\frac{6}{4} = -1,5\]
3.) 3. Ableitung berechnen
\(f'''(x) = 4\)
4.) Den in Schritt 2 berechneten x-Wert in die 3. Ableitung einsetzen
Da in der dritten Ableitung kein x vorkommt, sind wir bereits fertig!
Die dritte Ableitung ist immer ungleich Null: \(f'''(x) = 4 \neq 0\).
..aus diesem Grund liegt an der Stelle \(x = -1,5\) ein Wendepunkt vor.
5.) x-Wert in die Funktion einsetzen, um die y-Koordinate des Wendepunktes zu berechnen
Unsere Aufgabe ist es, einen WendePUNKT zu berechnen. Ein Punkt bestimmt immer aus zwei Koordinaten, weshalb man die Berechnung der y-Koordinante nicht vergessen darf!
\(y = f(-1,5) = \frac{2}{3} \cdot (-1,5)^3 + 3\cdot (-1,5)^2 + 4\cdot (-1,5) = -1,5\)
Zusammenfassung
Die Funktion besitzt an der Stelle \(\left(-1,5|-1,5\right)\) einen Wendepunkt.
Im Koordinatensystem ist die Funktion \(f(x) =\frac{2}{3}x^3 + 3x^2 + 4x\) eingezeichnet. Außerdem ist der Wendepunkt der Funktion rot markiert.
Für \(x < -1,5\) ist die Funktion rechtsgekrümmt.
Für \(x > -1,5\) ist die Funktion linksgekrümmt.
Es wird deutlich, dass der Wendepunkt \(x = -1,5\) der Punkt ist, an dem sich das Krümmungsverhalten ändert.
Extremwerte - Formelsammlung
In der folgenden Übersicht findest du eine Formelsammlung zur Berechnung der Extremwerte.
| Bedingung | |
| Hochpunkt berechnen | \(f'(x_0) = 0 \qquad \text{und} \qquad f''(x_0) < 0\) |
| Tiefpunkt berechnen | \(f'(x_0) = 0 \qquad \text{und} \qquad f''(x_0) > 0\) |
| Wendepunkt berechnen | \(f''(x_0) = 0\) \(f'''(x_0) \neq 0\) |
| Sattelpunkt berechnen | \(\left.\begin{align*} f''(x_0) &= 0\\ f'''(x_0)& \neq 0 \end{align*}\right\}\) Bedingung für einen Wendepunkt und \(f'(x_0) = 0\) (Bedingung für eine waagrechte Tangente) |
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