Vielfachheit von Nullstellen

In diesem Kapitel sprechen wir über die Vielfachheit von Nullstellen. Dabei interessiert uns, wie man die Vielfachheit einer Nullstelle berechnet und wie sich verschiedene Vielfachheiten in einem Koordinatensystem voneinander unterscheiden.

Erforderliches Vorwissen

Einordnung 

Nullstellen sind jene $x$-Werte aus der Definitionsmenge, die eingesetzt in die Funktion den Funktionswert Null liefern.

Der Ansatz zur Berechnung einer Nullstelle lautet folglich: $f(x) = 0$.

Beispiel 1 

Berechne die Nullstelle der linearen Funktion $f(x) = x - 5$.

Funktionsgleichung gleich Null setzen

$$ x - 5 = 0 $$

Gleichung lösen

$$ \begin{align*} x - 5 &= 0 &&|\, +5 \\[5px] x &= 5 \end{align*} $$

Die Funktion $f(x) = x - 5$ hat an der Stelle $x = 5$ eine Nullstelle. Dort schneidet der Graph der Funktion die $x$-Achse.

Manchmal kommt eine bestimmte Nullstelle mehrfach vor. Wir können also ihre Vielfachheit angeben.

Definition 

Die Vielfachheit einer Nullstelle gibt an, wie oft eine bestimmte Nullstelle bei einer Funktion vorkommt.

Beispiel 2 

In der Funktion

$$ f(x) = x - 5 $$

kommt die Nullstelle $x = 5$ nur einmal vor.

Es handelt es also um eine einfache Nullstelle oder eine Nullstelle mit der Vielfachheit 1.

Beispiel 3 

In der Funktion

$$ f(x) = (x - 5)^2 = (x-5)(x-5) $$

kommt die Nullstelle $x = 5$ zweimal vor.

Es handelt es also um eine zweifache Nullstelle oder eine Nullstelle mit der Vielfachheit 2.

Beispiel 4 

In der Funktion

$$ f(x) = (x - 5)^3 = (x-5)(x-5)(x-5) $$

kommt die Nullstelle $x = 5$ dreimal vor.

Es handelt es also um eine dreifache Nullstelle oder eine Nullstelle mit der Vielfachheit 3.

Entsprechend gibt es Funktionen mit vierfachen, fünffachen, sechsfachen usw. Nullstellen.

Graphische Bedeutung 

Bei einer Nullstelle mit ungerader Vielfachheit kommt es zu einem Vorzeichenwechsel. Das heißt, das der Graph der Funktion durch die $x$-Achse hindurch verläuft.

Bei einer Nullstelle mit gerader Vielfachheit kommt es zu keinem Vorzeichenwechsel. Das heißt, das der Graph der Funktion an der $x$-Achse abprallt.

Beispiel 5 

Die Funktion

$$ f(x) = x $$

besitzt an der Stelle

$$ x = 0 $$

eine Nullstelle der Vielfachheit 1.

$\Rightarrow$ Vorzeichenwechsel

Abb. 1 

Beispiel 6 

Die Funktion

$$ f(x) = x^2 $$

besitzt an der Stelle

$$ x = 0 $$

eine Nullstelle der Vielfachheit 2.

$\Rightarrow$ Kein Vorzeichenwechsel

Abb. 2 

Beispiel 7 

Die Funktion

$$ f(x) = x^3 $$

besitzt an der Stelle

$$ x = 0 $$

eine Nullstelle der Vielfachheit 3.

$\Rightarrow$ Vorzeichenwechsel

Abb. 3 

Beispiel 8 

Die Funktion

$$ f(x) = x^4 $$

besitzt an der Stelle

$$ x = 0 $$

eine Nullstelle der Vielfachheit 4.

$\Rightarrow$ Kein Vorzeichenwechsel

Abb. 4 

Bedeutung in einer Kurvendiskussion 

Alle Freunde der Kurvendiskussion können aus der Vielfachheit einer Nullstelle noch weitere interessante Informationen ablesen:

Bei einer Nullstelle mit ungerader Vielfachheit größer als $1$ befindet sich ein Sattelpunkt.

Bei einer Nullstelle mit gerader Vielfachheit befindet sich ein Extremum.

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