Integrationsregeln

In diesem Kapitel besprechen wir die Integrationsregeln. Dabei handelt es sich um Regeln, die bei der Integration von Funktionen beachtet werden müssen.

Erforderliches Vorwissen

Einordnung 

In unserer Formelsammlung finden wir die unbestimmten Integrale einiger einfacher Funktionen. Für komplizierte Funktionen müssen wir zur Berechnung der unbestimmten Integrale die Integrationsregeln beachten.

Potenzregel 

$$ \int \! x^n \, \textrm{d}x = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C $$

Die Potenzregel hilft uns bei der Suche der Stammfunktion einer Potenzfunktion.

Beispiel 1 

$$ \begin{align*} \int \! x^3 \, \textrm{d}x &= \frac{1}{3+1}x^{3+1} + C \\[5px] &= \frac{1}{4}x^{4} + C \end{align*} $$

Beispiel 2 

$$ \begin{align*} \int \! x^4 \, \textrm{d}x &= \frac{1}{4+1}x^{4+1} + C \\[5px] &= \frac{1}{5}x^{5} + C \end{align*} $$

Faktorregel 

$$ \int \! c \cdot f(x) \, \textrm{d}x = c \cdot \int \! f(x) \, \textrm{d}x $$

Ein konstanter Faktor im Integranden kann vor das Integralzeichen gezogen werden.

Mithilfe der Faktorregel können wir den Integranden auseinanderziehen und dadurch die Berechnung vereinfachen.

Beispiel 3 

$$ \begin{align*} \int \! 4x \, \textrm{d}x &= 4 \int \! x \, \textrm{d}x \\[5px] &= 4 \cdot \frac{1}{2}x^2 + C \\[5px] &= 2x^2 + C \end{align*} $$

Beispiel 4 

$$ \begin{align*} \int \! 2 \cos(x) \, \textrm{d}x &= 2 \int \! \cos(x) \, \textrm{d}x \\[5px] &= 2 \cdot \sin(x) + C \end{align*} $$

Summenregel 

$$ \int \! \left(f(x)+g(x)\right) \, \textrm{d}x = \int \! f(x) \, \textrm{d}x + \int \! g(x) \, \textrm{d}x $$

Das unbestimmte Integral einer Summe ist gleich der Summe der unbestimmten Integrale.

Mithilfe der Summenregel können wir den Integranden auseinanderziehen und dadurch die Berechnung vereinfachen.

Beispiel 5 

$$ \begin{align*} \int \! \left(x^3 + x^4\right) \, \textrm{d}x &= \int \! x^3 \, \textrm{d}x + \int \! x^4 \, \textrm{d}x \\[5px] &= \frac{1}{4}x^{4} + \frac{1}{5}x^{5} + C \end{align*} $$

Beispiel 6 

$$ \begin{align*} \int \! \left(3x^2 + 4x^3\right) \, \textrm{d}x &= \int \! 3x^2 \, \textrm{d}x + \int \! 4x^3 \, \textrm{d}x \\[5px] &= x^3 + x^4 + C \end{align*} $$

Differenzregel 

$$ \int \! \left(f(x)-g(x)\right) \, \textrm{d}x = \int \! f(x) \, \textrm{d}x - \int \! g(x) \, \textrm{d}x $$

Das unbestimmte Integral einer Differenz ist gleich der Differenz der unbestimmten Integrale.

Mithilfe der Differenzregel können wir den Integranden auseinanderziehen und dadurch die Berechnung vereinfachen.

Beispiel 7 

$$ \begin{align*} \int \! \left(x^3 - x^4\right) \, \textrm{d}x &= \int \! x^3 \, \textrm{d}x - \int \! x^4 \, \textrm{d}x \\[5px] &= \frac{1}{4}x^{4} - \frac{1}{5}x^{5} + C \end{align*} $$

Beispiel 8 

$$ \begin{align*} \int \! \left(3x^2 - 4x^3\right) \, \textrm{d}x &= \int \! 3x^2 \, \textrm{d}x - \int \! 4x^3 \, \textrm{d}x \\[5px] &= x^3 - x^4 + C \end{align*} $$

Partielle Integration 

$$ \int \! f'(x) g(x) \, \textrm{d}x = f(x) g(x) - \int \! f(x) g'(x) \, \textrm{d}x $$

Diese Integrationsregel besprechen wir ausführlich in dem Kapitel Partielle Integration.

Integration durch Substitution 

$$ \int \! f(x) \, \textrm{d}x = \int \! f(\varphi(u)) \cdot \varphi'(u) \, \textrm{d}u $$

Diese Integrationsregel besprechen wir ausführlich in dem Kapitel Integration durch Substitution.

Besondere Regeln 

$$ \int \! \frac{f'(x)}{f(x)} \, \textrm{d}x = \ln |f(x)| + C $$

Ist der Integrand ein Bruch, in dem der Zähler die Ableitung des Nenners ist, dann ist das unbestimmte Integral gleich dem natürlichen Logarithmus des Nenners.

Das Integrieren von Funktionen, in denen sowohl im Zähler als auch im Nenner ein $x$ vorkommt, ist meistens sehr schwierig. Liegt jedoch der hier erwähnte Spezialfall vor (Zähler ist die Ableitung des Nenners), so hilft uns diese Regel dabei, ohne große Rechenarbeit das unbestimmte Integral zu finden.

Beispiel 9 

$$ \int \! \frac{3x^2 - 4x^3}{x^3 - x^4} \, \textrm{d}x = \ln(|x^3 - x^4|) + C $$

Integrationsregeln vs. Ableitungsregeln 

Es ist wichtig, sich immer wieder klarzumachen, wie eng die Differential- und die Integralrechnung zusammenhängen. In der Differentialrechnung geht es darum, Funktionen abzuleiten, wohingegen man in der Integralrechnung Funktionen integriert (= aufleitet). Die gleichen Regeln, die wir in diesem Kapitel gelernt haben, gibt es dementsprechend auch beim Ableiten – nur eben umgekehrt, schließlich will man ja ab- und nicht aufleiten:

IntegrationsregelAbleitungsregel
$$\int \! c \cdot f(x) \, \textrm{d}x = c \cdot \int \! f(x) \, \textrm{d}x$$
Faktorregel
$$f(x) = c \cdot g(x)$$
$$f'(x) = c \cdot g'(x)$$
Faktorregel
$$\int \! x^n \, \textrm{d}x = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$$
Potenzregel
$$f(x) = x^n$$
$$f'(x) = n \cdot x^{n-1}$$
Potenzregel
$$\int \! \left(f(x)+g(x)\right) \, \textrm{d}x = \int \! f(x) \, \textrm{d}x + \int \! g(x) \, \textrm{d}x$$
Summenregel
$$f(x) = g(x) + h(x)$$
$$f'(x) = g'(x) + h'(x)$$
Summenregel
$$\int \! \left(f(x)-g(x)\right) \, \textrm{d}x = \int \! f(x) \, \textrm{d}x - \int \! g(x) \, \textrm{d}x$$
Differenzregel
$$f(x) = g(x) - h(x)$$
$$f'(x) = g'(x) - h'(x)$$
Differenzregel
$$\int \! f'(x) g(x) \, \textrm{d}x = f(x) g(x) - \int \! f(x) g'(x) \, \textrm{d}x$$
Partielle Integration
$$f(x) = g(x) \cdot h(x)$$
$$f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)$$
Produktregel
$$\int \! f(x) \, \textrm{d}x = \int \! f(\varphi(u)) \cdot \varphi'(u) \, \textrm{d}u$$
Substitutionsregel
$$f(x) = g(h(x))$$
$$f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)$$
Kettenregel

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