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Bestimmtes Integral

In diesem Artikel schauen wir uns bestimmte Integrale an.

In einem vorhergehenden Kapitel haben wir bereits gelernt, dass es sich bei einem unbestimmten Integral um die Gesamtheit aller Stammfunktionen \(F(x) + C\) einer Funktion \(f(x)\) handelt.

Die Schreibweise für unbestimmte Integrale lautet

\(\int \! f(x) \, \mathrm{d}x = F(x) + C\)

Wenn zusätzlich Integrationsgrenzen angegeben sind, handelt es sich jedoch nicht mehr um ein unbestimmtes Integral. Man spricht dann von einem bestimmten Integral, da die Integrationsgrenzen ja angegeben - folglich bestimmt - sind.

Die Schreibweise für bestimmte Integrale lautet

\[\int_a^b \! f(x) \, \mathrm{d}x = [F(x) + C]_a^b\]

Dabei ist \(a\) die untere und \(b\) die obere Integrationsgrenze.

Bestimmtes Integral berechnen

Im Gegensatz zum unbestimmten Integral lässt sich ein bestimmtes Integral berechnen.

\[\int_{\color{blue}a}^{\color{red}b} \! f(x) \, \mathrm{d}x = [F(x) + C]_{\color{blue}a}^{\color{red}b} = F({\color{red}b}) - F({\color{blue}a})\]

Als Ergebnis erhält man einen konkreten Zahlenwert. Das Ergebnis ist damit eindeutig.

Beispiel 1

\[\int_{\color{blue}1}^{\color{red}3} \! 2x \, \mathrm{d}x = \left[x^2\right]_{\color{blue}1}^{\color{red}3} = {\color{red}3}^2 - {\color{blue}1}^2 = 8\]

Ausführliche Erklärung: Zu berechnen ist das Integral der Funktion \(f(x) = 2x\) im Intervall \([1;3]\) (vgl. Integrationsgrenzen). Im ersten Schritt muss man die Stammfunktion berechnen - dazu wenden wir die Potenzregel an (vgl. Artikel zu den Integrationsregeln) oder man überlegt sich, was abgeleitet "\(2x\)" ergibt: \(F(x) = x^2\). Jetzt berechnen wir das Integral nach dem Schema \(F({\color{red}b}) - F({\color{blue}a})\), d.h. wir setzen in der eben berechneten Stammfunktion für \(x\) die obere Integrationsgrenze (hier: \({\color{red}3}\)) ein und ziehen davon die Stammfunktion ab, die sich ergibt, wenn man für \(x\) die untere Integrationsgrenze (hier: \({\color{blue}1}\)) einsetzt:
\(F({\color{red}b}) - F({\color{blue}a}) = {\color{red}3}^2 - {\color{blue}1}^2 = 8\)
Als Ergebnis erhalten wir den Wert 8.

Beispiel 2

\[\int_{\color{blue}-3}^{\color{red}0} \! x^2 \, \mathrm{d}x = \left[\frac{1}{3}x^3\right]_{\color{blue}-3}^{\color{red}0} = \frac{1}{3} \cdot {\color{red}0}^3 - \frac{1}{3}({\color{blue}-3})^3 = 9\]

Ausführliche Erklärung: Zu berechnen ist das Integral der Funktion \(f(x) = x^2\) im Intervall \([-3;0]\) (vgl. Integrationsgrenzen). Im ersten Schritt muss man die Stammfunktion berechnen - dazu wenden wir die Potenzregel an (vgl. Artikel zu den Integrationsregeln) oder man überlegt sich, was abgeleitet "\(x^2\)" ergibt: \(F(x) = \frac{1}{3}x^3\). Jetzt berechnen wir das Integral nach dem Schema \(F({\color{red}b}) - F({\color{blue}a})\), d.h. wir setzen in der eben berechneten Stammfunktion für \(x\) die obere Integrationsgrenze (hier: \({\color{red}0}\)) ein und ziehen davon die Stammfunktion ab, die sich ergibt, wenn man für \(x\) die untere Integrationsgrenze (hier: \({\color{blue}-3}\)) einsetzt:
\(F({\color{red}b}) - F({\color{blue}a}) = \frac{1}{3} \cdot {\color{red}0}^3 - \frac{1}{3}({\color{blue}-3})^3 = 9\)
Als Ergebnis erhalten wir den Wert 9.

Fazit

STOPP!!! Wir haben gerade erfolgreich zwei Integrale berechnet. Wenn du das ein bisschen übst, ist das nicht weiter schwer. Was bedeutet aber das Ergebnis? Im ersten Beispiel kam 8 und im zweiten Beispiel 9 heraus. Um es auf den Punkt zu bringen: Wir haben gerade Flächen berechnet! Dabei handelt es sich um die Fläche, die der Graph der jeweiligen Funktion (im ersten Beispiel: \(f(x) = 2x\); im zweiten Beispiel: \(f(x) = x^2\)) mit der x-Achse in dem jeweiligen Intervall (im ersten Beispiel: \([1;3]\); im zweiten Beispiel: \([-3;0]\)) einschließt. Das hört sich im ersten Moment vielleicht sehr kompliziert an, ist es aber nicht. Bevor wir dieses Thema im nächsten Kapitel "Flächenberechnung mit Integralen" ausführlich besprechen, gucken wir uns zunächst noch einige Eigenschaften von bestimmten Integralen an.

Eigenschaften des bestimmten Integrals

  • Gleiche untere und obere Integrationsgrenzen
    \[\int_a^a \! f(x) \, \mathrm{d}x = 0\]
  • Vertauschung der Integrationsgrenzen
    \[\int_a^b \! f(x) \, \mathrm{d}x = -\int_b^a \! f(x) \, \mathrm{d}x\]
  • Faktorregel
    \[\int_a^b \! k \cdot f(x) \, \mathrm{d}x = k \cdot \int_a^b \! f(x) \, \mathrm{d}x\]
  • Summenregel
    \[\int_a^b \! f(x) \, \mathrm{d}x + \int_a^b \! g(x) \, \mathrm{d}x = \int_a^b \! (f(x)+g(x)) \, \mathrm{d}x\]
  • Zusammenfassen von Integrationsintervallen
    \[\int_a^b \! f(x) \, \mathrm{d}x + \int_b^c \! f(x) \, \mathrm{d}x = \int_a^c \! f(x) \, \mathrm{d}x\]

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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