Stammfunktion

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter der Stammfunktion einer Funktion versteht. Außerdem besprechen wir die Verbindung zwischen der Differentialrechnung und der Integralrechnung.

In der Praxis kommt es häufig vor, dass man die Ableitung einer Funktion \(f'(x)\) kennt und die Funktion selbst, also \(f(x)\), finden möchte. In diesem Zusammenhang bezeichnet man \(f(x)\) als die Stammfunktion von \(f'(x)\).

Wir wissen bereits, dass wir ableiten müssen, um die Ableitung einer Funktion zu berechnen. Was müssen wir jedoch tun, wenn die Ableitung gegeben und die Stammfunktion gesucht ist? Antwort: Aufleiten!

Hinweis: "Aufleiten" ist die Umkehroperation zum "Ableiten". Mathematisch korrekt ausgedrückt heißt dieser Vorgang "integrieren"....und schon befinden wir uns mitten in der Integralrechnung!

  • Differentialrechnung: Wie berechne ich die Ableitung \(f'(x)\) einer Funktion \(f(x)\)?
    -> ableiten
  • Integralrechnung: Wie berechne ich die Stammfunktion \(f(x)\) einer Funktion \(f'(x)\)?
    -> aufleiten (= integrieren)

Die mathematisch korrekte Schreibweise für die Stammfunktion einer Funktion lautet: \(F(x)\).

Wichtig ist, dass du die Zusammenhänge zwischen \(f(x)\), \(f'(x)\) und \(F(x)\) verstehst:

  • \(f(x)\) ist eine gegebene Funktion
  • \(f'(x)\) ist die Ableitung von \(f(x)\)
  • \(F(x)\) ist die Stammfunktion von \(f(x)\)
  • [außerdem gilt natürlich: \(f(x)\) ist die Stammfunktion von \(f'(x)\)]

Der Zusammenhang zwischen der Aufleitung (= Stammfunktion) und der Ableitung ist so wichtig, dass er an dieser Stelle nochmal wiederholt wird:

\(f(x) \quad \underrightarrow{\text{ aufleiten* }} \quad F(x) \quad \underrightarrow{\text{ ableiten }} \quad F'(x) = f(x)\)

* statt "aufleiten" sagt man meist "integrieren"

Merke: Die Ableitung der Stammfunktion ergibt die Funktion selbst.

\(F'(x) = f(x)\)

Diese Tatsache ist ganz nützlich, wenn man überprüfen will, ob man die Stammfunktion richtig berechnet hat. Wenn man die Stammfunktion ableitet, muss die Funktion herauskommen, die man gerade "aufgeleitet" hat. Irgendwie logisch, oder?

Genug Theorie! Schauen wir uns doch mal ein einfaches Beispiel an.

Beispiel

Gegeben ist die Funktion \(f(x) = 2x\).

Gesucht ist Stammfunktion, d.h. wir überlegen uns, welche Funktion abgeleitet \(2x\) ergibt.
Das ist einfach: \(x^2\).

Jetzt leiten wir die gefundene Stammfunktion ab, um das Ergebnis zu überprüfen.

\(F(x) = x^2 \qquad \rightarrow \qquad F'(x) = 2x = f(x)\)

Die Ableitung der Stammfunktion ergibt die ursprüngliche Funktion. Wir haben also die richtige Stammfunktion gefunden! .........STOPP!!! Gibt es denn immer nur eine Stammfunktion?..oder zwei?..oder drei? Und wenn ja, wie finde ich die anderen Stammfunktionen? Diese Fragen soll der nächste Abschnitt beantworten.

Die unendliche Geschichte der Stammfunktionen

"Es war einmal eine Stammfunktion, die unendlich viele Geschwister hatte..."

Keine Sorge, hier werden keine schlechten Märchen erzählt! Die Sache ist ganz einfach:

Allgemein gilt, dass zu einer gegebenen Funktion \(f(x)\) eine unendliche Menge von Stammfunktionen \(F(x) + C\) existiert. Dabei ist \(C\) eine konstante Zahl.

Warum ist das so? Schauen wir uns das an einem Beispiel an.

Beispiel

Gegeben ist wieder die Funktion \(f(x) = 2x\).

Einige Stammfunktionen sind schnell gefunden...

\(F(x) = x^2 \qquad \rightarrow \qquad F'(x) = 2x = f(x)\)

\(F(x) = x^2 + 3 \qquad \rightarrow \qquad F'(x) = 2x = f(x)\)

\(F(x) = x^2 - 9 \qquad \rightarrow \qquad F'(x) = 2x = f(x)\)

Wir sehen also, dass zu einer Funktion unendlich viele Stammfunktionen gehören, die sich lediglich durch eine konstante Zahl \(C\) voneinander unterscheiden.

Stammfunktion berechnen

In der Integralrechnung geht es meist darum, die Stammfunktion zu berechnen. Die Stammfunktionen einiger populärer Funktionen zeigt die nachfolgende Tabelle.

konstante Funktion \[f(x) = k\] \[F(x) = k \cdot x + C\]
Potenzfunktion \[f(x) = x^n\] \[F(x) = \frac{1}{1+n} x^{n+1} + C \]
e-Funktion \[f(x) = e^x\] \[F(x) = e^x + C\]
Logarithmus \[f(x) = \ln(x)\] \[F(x) = -x + x \cdot \ln(x)+ C\]
Hyperbel \[f(x) = \frac{1}{x}\] \[F(x) = \ln|x|+ C\]
Sinus \[f(x) = \sin(x)\] \[F(x) = -\cos(x) + C\]
Kosinus \[f(x) = \cos(x)\] \[F(x) = \sin(x) + C\]
Tangens \[f(x) = \tan(x)\] \[F(x) = -\ln|\cos(x)| + C\]
Wurzel \[f(x) = \sqrt[n]{x}\] \[F(x) = \frac{1}{\frac{1}{n} + 1}x^{\frac{1}{n} + 1} + C\]

Oftmals sind die Funktionen nicht so einfach, wie in der obigen Tabelle dargestellt. Man muss sich also fragen, wie man von einer gegebenen Funktion die Stammfunktion berechnen kann. Dabei helfen die Integrationsregeln.

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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