Stammfunktion
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was die Stammfunktion einer Funktion ist.
Erforderliches Vorwissen
Einordnung
In der Differentialrechnung ist eine Funktion $f$ gegeben und deren Ableitung $f'$ gesucht:
$$ f(x) \quad \underrightarrow{\text{ Ableitung }} \quad f'(x) $$
In der Integralrechnung ist eine Ableitung $f'$ gegeben und die Funktion $f$ gesucht:
$$ f(x) \quad \underleftarrow{\text{ Integration }} \quad f'(x) $$
In diesem Zusammenhang heißt $\boldsymbol{f}$ die Stammfunktion von $f'$.
Die Ableitung von $f(x) = x^2$ ist $f'(x) = 2x$.
Die Stammfunktion von $f'(x) = 2x$ ist $f(x) = x^2$.
Mit $\boldsymbol{F}$ bezeichnen wir die Stammfunktion von $f$:
$$ F(x) \quad \underleftarrow{\text{ Integration }} \quad f(x) \quad \underleftarrow{\text{ Integration }} \quad f'(x) $$
Demnach gilt:
$$ F(x) \quad \underrightarrow{\text{ Ableitung }} \quad F'(x) = f(x) \quad \underrightarrow{\text{ Ableitung }} \quad f'(x) $$
Wir merken uns:
$$ F'(x) = f(x) $$
Die Ableitung der Stammfunktion ergibt die Funktion selbst.
Mit diesem Wissen können wir endlich den Begriff Stammfunktion
definieren:
Definition
Die differenzierbare Funktion $F$, deren Ableitungsfunktion $F'$ mit $f$ übereinstimmt, heißt Stammfunktion der reellen Funktion $f$.
Beispiel
Bestimme die Stammfunktion der Funktion $f(x) = 2x$.
Frage
Welche Funktion ergibt abgeleitet $f(x) = 2x$?
Antwort
$$ F(x) = x^2 $$
Begründung
$$ F'(x) = 2x = f(x) $$
Anmerkung
Eine Ableitungsregel besagt, dass eine Konstante beim Ableiten wegfällt.
Aus diesem Grund ist die oben angegebene Lösung nur eine von unendlich vielen, denn auch z. B. $F(x) = x^2 + 3$ und $F(x) = x^2 - 9$ sind Stammfunktionen von $f(x) = 2x$.
Da sich die einzelnen Stammfunktionen nur durch eine Konstante $C$ unterscheiden, schreiben wir
$$ F(x) = x^2 + C $$
um alle
Stammfunktionen mit einer Schreibweise zu erfassen.
Satz
Zu einer gegebenen Funktion $f(x)$ existiert eine unendliche Menge an Stammfunktionen $F(x) + C$.
Dabei ist $C$ eine reelle Zahl.
Formelsammlung
In der Integralrechnung geht es meist darum, die Stammfunktion zu berechnen. Die Stammfunktionen einiger populärer Funktionen zeigt die nachfolgende Tabelle:
| Name | Funktion | Stammfunktion |
|---|---|---|
| Konstante Funktion | $$f(x) = k$$ | $$F(x) = k \cdot x + C$$ |
| Potenzfunktion | $$f(x) = x^n$$ | $$F(x) = \frac{1}{1+n} x^{n+1} + C$$ |
| Hyperbel | $$f(x) = \frac{1}{x}$$ | $$F(x) = \ln|x|+ C$$ |
| Wurzelfunktion | $$f(x) = \sqrt[n]{x}$$ | $$F(x) = \frac{1}{\frac{1}{n} + 1}x^{\frac{1}{n} + 1} + C$$ |
| e-Funktion | $$f(x) = e^x$$ | $$F(x) = e^x + C$$ |
| ln-Funktion | $$f(x) = \ln(x)$$ | $$F(x) = -x + x \cdot \ln(x)+ C$$ |
| Sinusfunktion | $$f(x) = \sin(x)$$ | $$F(x) = -\cos(x) + C$$ |
| Kosinusfunktion | $$f(x) = \cos(x)$$ | $$F(x) = \sin(x) + C$$ |
| Tangensfunktion | $$f(x) = \tan(x)$$ | $$F(x) = -\ln|\cos(x)| + C$$ |
Für komplizierte Funktionen müssen wir zur Berechnung der Stammfunktion die Integrationsregeln anwenden.
