Wurzelfunktionen

In diesem Kapitel schauen wir uns Wurzelfunktionen etwas genauer an.

Notwendiges Vorwissen: Potenzfunktionen / Umkehrfunktion

Wurzelfunktionen sind die Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen. Je nachdem, ob der (Wurzel-)Exponent gerade oder ungerade ist, besitzen sie unterschiedliche Eigenschaften.

a) Gerader Wurzelexponent

Wir wollen die Umkehrfunktion der Potenzfunktion \(y = x^2\) bilden.

Problem

Eine Umkehrfunktion existiert immer dann, wenn die Funktion entweder streng monoton steigend oder streng monoton fallend ist. Bei der Funktion \(y = x^2\) treten jedoch beide Fälle auf:


Die Funktion \(y = x^2\) ist...

...streng monoton fallend für \(x \leq 0\).

...streng monoton steigend für \(x \geq 0\).

Daraus folgt: Die Funktion \(y = x^2\) ist für \(x \in \mathbb{R}\) nicht umkehrbar.

Lösung

Wir beschränken die Definitionsmenge auf einen Bereich, in dem die Funktion entweder nur streng monoton fallend (\(x \leq 0\)) oder nur streng monoton steigend (\(x \geq 0\)) verläuft.

\({\fcolorbox{red}{}{\(\text{Fall 1: } x \leq 0\)}}\)

Für \(x \leq 0\) ist die Funktion \(y = x^2\) streng monoton fallend und somit umkehrbar:

\(\begin{align*}
& &&{\color{orange}\text{1.) Funktionsgleichung nach \(x\) auflösen}}\\[5pt]
f\colon\; y &= x^2 &&{\color{gray}| \text{ Wurzel ziehen}}\\[5pt]
\sqrt{y} &= \sqrt{x^2}\\[5pt]
\sqrt{y} &= |x| &&{\color{gray}| \text{ Betrag auflösen: } |x| = -x \text{ wegen } x \leq 0}\\[5pt]
\sqrt{y} &= -x &&{\color{gray}| \cdot (-1)}\\[5pt]
-\sqrt{y} &= x &&{\color{gray}| \text{ Seiten vertauschen}}\\[5pt]
x &= -\sqrt{y}\\[5pt]
& &&{\color{orange}\text{2.) \(x\) und \(y\) vertauschen}}\\[5pt]
f^{-1}\colon\; y &= -\sqrt{x}
\end{align*}\)

Um die Graphen der Funktionen ordentlich zu zeichnen, fertigen wir zwei Wertetabellen an.

\(\phantom{^{-1}}f\colon\;
\begin{array}{r|c|c|c|c|c}
x & -2 & -1,5 & -1 & -0,5 & 0 \\
\hline
y & 4 & 2,25 & 1 & 0,25 & 0
\end{array}\)

Die Wertetabelle von \(f^{-1}\) erhält man durch Vertauschen der Zeilen der Wertetabelle von \(f\).

\(f^{-1}\colon\;
\begin{array}{r|c|c|c|c|c}
x & 4 & 2,25 & 1 & 0,25 & 0 \\
\hline
y & -2 & -1,5 & -1 & -0,5 & 0
\end{array}\)


Die Abbildung zeigt folgende Graphen:
- Potenzfunktion \(f\colon\; y = x^2\) mit \(\mathbb{D}_f = \mathbb{R}^{-}_{0}\)
- Winkelhalbierende \(w\colon\; y = x\)
- Wurzelfunktion \(f^{-1}\colon\; y = -\sqrt{x}\)

\({\fcolorbox{green}{}{\(\text{Fall 2: } x \geq 0\)}}\)

Für \(x \geq 0\) ist die Funktion \(y = x^2\) streng monoton steigend und somit umkehrbar:

\(\begin{align*}
& &&{\color{orange}\text{1.) Funktionsgleichung nach \(x\) auflösen}}\\[5pt]
f\colon\; y &= x^2 &&{\color{gray}| \text{ Wurzel ziehen}}\\[5pt]
\sqrt{y} &= \sqrt{x^2}\\[5pt]
\sqrt{y} &= |x| &&{\color{gray}| \text{ Betrag auflösen: } |x| = x \text{ wegen } x \geq 0}\\[5pt]
\sqrt{y} &= x &&{\color{gray}| \text{ Seiten vertauschen}}\\[5pt]
x &= \sqrt{y}\\[5pt]
& &&{\color{orange}\text{2.) \(x\) und \(y\) vertauschen}}\\[5pt]
f^{-1}\colon\; y &= \sqrt{x}
\end{align*}\)

Um die Graphen der Funktionen ordentlich zu zeichnen, fertigen wir zwei Wertetabellen an.

\(\phantom{^{-1}}f\colon\;
\begin{array}{r|c|c|c|c|c}
x & 0 & 0,5 & 1 & 1,5 & 2 \\
\hline
y & 0 & 0,25 & 1 & 2,25 & 4
\end{array}\)

Die Wertetabelle von \(f^{-1}\) erhält man durch Vertauschen der Zeilen der Wertetabelle von \(f\).

\(f^{-1}\colon\;
\begin{array}{r|c|c|c|c|c}
x & 0 & 0,25 & 1 & 2,25 & 4 \\
\hline
y & 0 & 0,5 & 1 & 1,5 & 2
\end{array}\)


Die Abbildung zeigt folgende Graphen:
- Potenzfunktion \(f\colon\; y = x^2\) mit \(\mathbb{D}_f = \mathbb{R}^{+}_{0}\)
- Winkelhalbierende \(w\colon\; y = x\)
- Wurzelfunktion \(f^{-1}\colon\; y = \sqrt{x}\)

Wenn wir allgemein über die Eigenschaften von Wurzelfunktionen sprechen wollen, dann ist für uns nur der 2. Fall (\(x \geq 0\)) von Interesse. Im Zentrum unserer Betrachtung steht also die Wurzelfunktion \(y = \sqrt[n]{x}\), welche die Umkehrfunktion der Potenzfunktion \(y = x^n\) ist.

Zusammenfassung der wichtigsten Eigenschaften (I)

\(n\) = gerade \(f(x) = x^n\) \(f^{-1}(x) = \sqrt[n]{x}\)
Definitionsmenge \(\mathbb{D}\)
\(\mathbb{R}^{+}_{0}\) \(\mathbb{R}^{+}_{0}\)
Wertemenge \(\mathbb{W}\)
\(\mathbb{R}^{+}_{0}\) \(\mathbb{R}^{+}_{0}\)

b) Ungerader Wurzelexponent

Wir wollen die Umkehrfunktion der Potenzfunktion \(y = x^3\) bilden.

Lösung

Da Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten in ganz \(\mathbb{R}\) streng monoton steigend sind, müssen wir die Definitionsmenge nicht einschränken, um eine Umkehrfunktion zu bilden.

\(\begin{align*}
& &&{\color{orange}\text{1.) Funktionsgleichung nach \(x\) auflösen}}\\[5pt]
f\colon\; y &= x^3 &&{\color{gray}| \text{ Wurzel ziehen}}\\[5pt]
\sqrt[3]{y} &= \sqrt[3]{x^3}\\[5pt]
\sqrt[3]{y} &= x &&{\color{gray}| \text{ Seiten vertauschen}}\\[5pt]
x &= \sqrt[3]{y}\\[5pt]
& &&{\color{orange}\text{2.) \(x\) und \(y\) vertauschen}}\\[5pt]
f^{-1}\colon\; y &= \sqrt[3]{x}
\end{align*}\)

Um die Graphen der Funktionen ordentlich zu zeichnen, fertigen wir zwei Wertetabelle an.

\(\phantom{^{-1}}f\colon\;
\begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
x & -2 & -1,5 & -1 & -0,5 & 0 & 0,5 & 1 & 1,5 & 2 \\
\hline
y & -8 & -3,375 & -1 & -0,125 & 0 & 0,125 & 1 & 3,375 & 8
\end{array}\)

Die Wertetabelle von \(f^{-1}\) erhält man durch Vertauschen der Zeilen der Wertetabelle von \(f\).

\(f^{-1}\colon\;
\begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
x & -8 & -3,375 & -1 & -0,125 & 0 & 0,125 & 1 & 3,375 & 8 \\
\hline
x & -2 & -1,5 & -1 & -0,5 & 0 & 0,5 & 1 & 1,5 & 2
\end{array}\)


Die Abbildung zeigt folgende Graphen:
- Potenzfunktion \(f\colon\; y = x^3\) mit \(\mathbb{D}_f = \mathbb{R}\)
- Winkelhalbierende \(w\colon\; y = x\)
- Wurzelfunktion \(f^{-1}\colon\; y = \sqrt[3]{x}\)

Zusammenfassung der wichtigsten Eigenschaften (II)

\(n\) = ungerade \(f(x) = x^n\) \(f^{-1}(x) = \sqrt[n]{x}\)
Definitionsmenge \(\mathbb{D}\)
\(\mathbb{R}\) \(\mathbb{R}\)
Wertemenge \(\mathbb{W}\)
\(\mathbb{R}\) \(\mathbb{R}\)

Eigenschaften von Wurzelfunktionen

In den obigen Abschnitten haben wir uns die Eigenschaften von Wurzelfunktionen mit geraden und mit ungeraden Wurzelexponenten getrennt voneinander angeschaut. Um jedoch Aussagen über alle Wurzelfunktionen, unabhängig von ihren Wurzelxponenten, zu treffen, beschränken wir uns auf das Intervall, in dem alle Wurzelfunktionen streng monoton verlaufen. Ein solches Intervall ist \(x \geq 0\). Mit diesem Wissen können wir Wurzelfunktionen folgendermaßen definieren:

Die Umkehrfunktionen der auf das Intervall \(x \geq 0\) beschränkten Potenzfunktionen vom Typ \(y = x^n\)  (\(n \in \mathbb{N}\backslash\{1\}\)) heißen Wurzelfunktionen und sind in der Form \(y = \sqrt[n]{x}\)  (\(\mathbb{D} = \mathbb{R}^{+}_{0}\)) darstellbar.



Die Abbildung zeigt folgende Graphen:
- Potenzfunktion \(f_1\colon\; y = x^2\) mit \(\mathbb{D}_{f_1} = \mathbb{R}^{+}_{0}\)
- Potenzfunktion \(f_2\colon\; y = x^3\) mit \(\mathbb{D}_{f_2} = \mathbb{R}^{+}_{0}\)
- Winkelhalbierende \(w\colon\; y = x\)
- Wurzelfunktion \(f^{-1}_1\colon\; y = \sqrt{x}\)
- Wurzelfunktion \(f^{-1}_2\colon\; y = \sqrt[3]{x}\)

Wir können einige interessante Eigenschaften beobachten:

\(f(x) = \sqrt[n]{x}\) Wurzelexponent \(n\) gerade Wurzelexponent \(n\) ungerade
Definitionsmenge \(\mathbb{D}\)
\(\mathbb{R}^{+}_{0}\) \(\mathbb{R}^{+}_{0}\)
Wertemenge \(\mathbb{W}\)
\(\mathbb{R}^{+}_{0}\) \(\mathbb{R}^{+}_{0}\)
Monotonie streng monoton steigend streng monoton steigend

Durch die Beschränkung auf das Intervall \(x \geq 0\) besitzen alle Wurzelfunktionen, unabhängig von ihren Wurzelexponenten, dieselben Eigenschaften. An dieser Stelle weisen wir darauf hin, dass der Begriff „Wurzelfunktion“ in der mathematischen Literatur nicht einheitlich definiert ist. Nach unserer Definition sind Wurzelfunktionen nur für positive Argumente (d. h. \(x \geq 0\)) erklärt.

Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten

Unter Verwendung der für alle \(x \geq 0\) definierten Wurzelfunktionen sind wir jetzt in der Lage,
den Begriff der Potenzfunktion auch auf rationale Exponenten auszudehnen:

Unter einer Potenzfunktion mit dem rationalen Exponenten \(\frac{m}{n}\) verstehen wir die Funktion \(y = f(x) = x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}\)  (\(x > 0\), \(m \in \mathbb{Z}\), \(n \in \mathbb{N}\)).

Die Potenzfunktion \(y = x^{\frac{m}{n}}\) ist also definitionsgemäß die \(n\)-te Wurzel aus der Potenz \(x^m\).

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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