Mathebibel.de / Erklärungen / Analysis / Funktionen / Potenzfunktionen

Potenzfunktionen

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was Potenzfunktionen sind.

Potenzfunktionen sind Funktionen, in denen die Variable \(x\) in der Basis einer Potenz steht.

Die Funktionsgleichung einer Potenzfunktion ist \(f(x) = x^n\).
(mit \(n \in \mathbb{Z}\backslash\{0\}\))

\(\mathbb{Z}\) ist die Menge der ganzen Zahlen.

Warum darf der Exponent nicht gleich 0 sein?

Laut den Potenzgesetzen gilt: \(x^0 = 1\).

Für \(n = 0\) wird die Potenzfunktion zu einer konstanten Funktion: \(f(x) = x^0 = 1\).

\begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c}
x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
x^0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\end{array}

Die obige Wertetabelle zeigt, dass der \(y\)-Wert der Funktion \(f(x) = x^0\) immer 1 ist.

Im Folgenden untersuchen wir Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten \(n \in \mathbb{Z}\backslash\{0\}\).
Die Funktionen unterscheiden sich danach, ob die Exponenten positiv oder negativ sind.

Potenzfunktionen mit positiven Exponenten

In diesem Abschnitt untersuchen wir folgende Funktionen: \(f(x) = x^n\) mit \(n \in \mathbb{N}\).

Die Graphen von Potenzfunktionen heißen Parabeln \(n\)-ter Ordnung,
wenn der Exponent \(n\) positiv und \(n > 1\) ist.

Sonderfall: Für \(n = 1\) ist der Graph der Potenzfunktion einer Gerade (> Lineare Funktionen).

Beispiele

Der Graph der Funktion \(f(x) = x^2\) ist eine Parabel 2. Ordnung.

Der Graph der Funktion \(f(x) = x^3\) ist eine Parabel 3. Ordnung.

Die Funktionen unterscheiden sich danach, ob die Exponenten gerade oder ungerade sind.

a) Gerade Exponenten

Als Beispiele dienen die Funktionen \(f(x) = x^2\) und \(f(x) = x^4\).

Um die Graphen besser zu zeichnen, berechnen wir zunächst einige Funktionswerte:

\begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c}
x & -1,5 & {\color{blue}-1} & -0,5 & {\color{blue}0} & 0,5 & {\color{blue}1} & 1,5 \\
\hline
x^2 & 2,25 & {\color{blue}1} & 0,25 & {\color{blue}0} & 0,25 & {\color{blue}1} & 2,25 \\
\hline
x^4 & 5,0625 & {\color{blue}1} & 0,0625 & {\color{blue}0} & 0,0625 & {\color{blue}1} & 5,0625
\end{array}


Die Abbildung zeigt den Graphen der

- Potenzfunktion \(f(x) = x^2\)
   (= Parabel 2. Ordnung)

- Potenzfunktion \(f(x) = x^4\)
   (= Parabel 4. Ordnung)

b) Ungerade Exponenten

Als Beispiele dienen die Funktionen \(f(x) = x^3\) und \(f(x) = x^5\).

Um die Graphen besser zu zeichnen, berechnen wir zunächst einige Funktionswerte:

\begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c}
x & -1,5 & {\color{blue}-1} & -0,5 & {\color{blue}0} & 0,5 & {\color{blue}1} & 1,5 \\
\hline
x^3 & -3,375 & {\color{blue}-1} & -0,125 & {\color{blue}0} & 0,125 & {\color{blue}1} & 3,375 \\
\hline
x^5 & -7,59375 & {\color{blue}-1} & 0,03125 & {\color{blue}0} & 0,03125 & {\color{blue}1} & 7,59375
\end{array}


Die Abbildung zeigt den Graphen der

- Potenzfunktion \(f(x) = x^3\)
   (= Parabel 3. Ordnung)

- Potenzfunktion \(f(x) = x^5\)
   (= Parabel 5. Ordnung)

Zusammenfassung der wichtigsten Eigenschaften (1)

Potenzfunktionen mit positiven (ganzzahligen) Exponenten haben folgende Eigenschaften:

\(f(x) = x^n \qquad (n \in \mathbb{N})\) Exponent \(n\) gerade Exponent \(n\) ungerade
Definitionsmenge \(\mathbb{D} = \mathbb{R}\) \(\mathbb{D} = \mathbb{R}\)
Wertemenge \(\mathbb{W} = \mathbb{R}^{+}_{0}\) \(\mathbb{W} = \mathbb{R}\)
Graph Parabel \(n\)-ter Ordnung Parabel \(n\)-ter Ordnung
Symmetrie achsensymmetrisch
(zur y-Achse)
punktsymmetrisch
(zum Koordinatenursprung)
Gemeinsame Punkte \((-1|1)\), \((0|0)\), \((1|1)\) \((-1|-1)\), \((0|0)\), \((1|1)\)
Monotonie \(x < 0\): streng monoton fallend
\(x > 0\): streng monoton steigend
streng monton steigend

Potenzfunktionen mit negativen Exponenten

In diesem Abschnitt untersuchen wir folgende Funktionen: \(f(x) = x^{-n}\) mit \(n \in \mathbb{N}\).

Die Graphen von Potenzfunktionen heißen Hyperbeln \(n\)-ter Ordnung,
wenn der Exponent negativ ist.

Beispiele

Der Graph der Funktion \(f(x) = x^{-2}\) ist eine Hyperbel 2. Ordnung.

Der Graph der Funktion \(f(x) = x^{-3}\) ist eine Hyperbel 3. Ordnung.

Die Funktionen unterscheiden sich danach, ob die Exponenten gerade oder ungerade sind.

a) Gerade Exponenten

Als Beispiele dienen die Funktionen \(f(x) = x^{-2}\) und \(f(x) = x^{-4}\).

Um die Graphen besser zu zeichnen, berechnen wir zunächst einige Funktionswerte:

\begin{array}{r|c|c|c|c|c|c}
x & -1,5 & {\color{blue}-1} & -0,5 & 0,5 & {\color{blue}1} & 1,5 \\
\hline
x^{-2} & 0,\bar{4} & {\color{blue}1} & 4 & 4 & {\color{blue}1} & 0,\bar{4} \\
\hline
x^{-4} & \approx 0,1975 & {\color{blue}1} & 16 & 16 & {\color{blue}1} & \approx 0,1975
\end{array}


Die Abbildung zeigt den Graphen der

- Potenzfunktion \(f(x) = x^{-2}\)
   (= Hyperbel 2. Ordnung)

- Potenzfunktion \(f(x) = x^{-4}\)
   (= Hyperbel 4. Ordnung)

b) Ungerade Exponenten

Als Beispiele dienen die Funktionen \(f(x) = x^{-3}\) und \(f(x) = x^{-5}\).

Um die Graphen besser zu zeichnen, berechnen wir zunächst einige Funktionswerte:

\begin{array}{r|c|c|c|c|c|c}
x & -1,5 & {\color{blue}-1} & -0,5 & 0,5 & {\color{blue}1} & 1,5 \\
\hline
x^{-3} & \approx -0,2963 & {\color{blue}-1} & -8 & 8 & {\color{blue}1} & \approx 0,2963 \\
\hline
x^{-5} & \approx -0,1317 & {\color{blue}-1} & -32 & 32 & {\color{blue}1} & \approx 0,1317
\end{array}


Die Abbildung zeigt den Graphen der

- Potenzfunktion \(f(x) = x^{-3}\)
   (= Hyperbel 3. Ordnung)

- Potenzfunktion \(f(x) = x^{-5}\)
   (= Hyperbel 5. Ordnung)

Zusammenfassung der wichtigsten Eigenschaften (2)

Potenzfunktionen mit negativen (ganzzahligen) Exponenten haben folgende Eigenschaften:

\(f(x) = x^{-n} \qquad (n \in \mathbb{N})\) Exponent \(n\) gerade Exponent \(n\) ungerade
Definitionsmenge \(\mathbb{D} = \mathbb{R}\backslash\{0\}\) \(\mathbb{D} = \mathbb{R}\backslash\{0\}\)
Wertemenge \(\mathbb{W} = \mathbb{R}^{+}\) \(\mathbb{W} = \mathbb{R}\backslash\{0\}\)
Graph Hyperbel \(n\)-ter Ordnung Hyperbel \(n\)-ter Ordnung
Symmetrie achsensymmetrisch
(zur y-Achse)
punktsymmetrisch
(zum Koordinatenursprung)
Gemeinsame Punkte \((-1|1)\), \((1|1)\) \((-1|-1)\), \((1|1)\)
Monotonie \(x < 0\): streng monoton steigend
\(x > 0\): streng monoton fallend
streng monoton fallend
Asymptoten* x-Achse, y-Achse x-Achse, y-Achse

* Wenn sich der Graph einer Funktion immer mehr einer Geraden nähert (an eine Gerade „anschmiegt“), ohne sie zu schneiden, nennt man diese Gerade Asymptote.

Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten

In diesem Kapitel haben wir uns auf Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten beschränkt.
Wenn wir auch rationale Exponenten zulassen, kommen auch Brüche als Exponenten in Frage.

Laut den Potenzgesetzen gilt für Potenzen mit rationalen Exponenten:

\(x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}\)

Bei \(\sqrt[n]{x^m}\) handelt es sich um die „n-te Wurzel aus x hoch m“.

Mehr zu diesem Thema erfährst du im Kapitel Wurzelfunktionen.

Andreas Schneider

Hat dir meine Erklärung geholfen?
Facebook Like Button
Für Lob, Kritik und Anregungen habe ich immer ein offenes Ohr.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!

JETZT NEU! Löse eine Matheaufgabe und gewinne einen 25 € Amazon-Gutschein!