Über 80 € Preisvorteil gegenüber Einzelkauf!
Mathe-eBooks im Sparpaket
Von Schülern, Studenten, Eltern und
Lehrern mit 4,86/5 Sternen bewertet.
47 PDF-Dateien mit über 5000 Seiten
inkl. 1 Jahr Updates für nur 29,99 €.
Ab dem 2. Jahr nur 14,99 €/Jahr.
Kündigung jederzeit mit wenigen Klicks.
Jetzt Mathebibel herunterladen

Potenzfunktionen

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was Potenzfunktionen sind.

Erforderliches Vorwissen

Bestandteile 

Eine Funktion besteht aus Funktionsgleichung, Definitionsmenge und Wertemenge.

Funktionsgleichung 

Potenzfunktionen sind Funktionen, in denen die Variable $x$ in der Basis einer Potenz steht:

Eine Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung

$$ f(x) = x^n \quad \text{ mit } n \in \mathbb{Z}\setminus\{0\} $$

heißt Potenzfunktion.

Dabei ist $\mathbb{Z}$ die Menge der ganzen Zahlen.

Warum darf der Exponent nicht gleich $0$ sein?

Laut den Potenzgesetzen gilt: $x^0 = 1$.

Für $n = 0$ wird die Potenzfunktion folglich zu einer konstanten Funktion mit der Funktionsgleichung $f(x) = x^0 = 1$.

Definitionsmenge 

Die Definitionsmenge $\mathbb{D}_f$ ist die Menge aller $x$-Werte, die in die Funktion $f$ eingesetzt werden dürfen.

Bei Potenzfunktionen hängt die Definitionsmenge davon ab, welche Werte wir für den Exponenten zulassen. Eine ausführliche Besprechung folgt in den nächsten Abschnitten.

Wertemenge 

Die Wertemenge $\mathbb{W}_f$ ist die Menge aller $y$-Werte, die die Funktion $f$ unter Beachtung ihrer Definitionsmenge $\mathbb{D}_f$ annehmen kann.

Bei Potenzfunktionen hängt die Wertemenge davon ab, welche Werte wir für den Exponenten zulassen. Eine ausführliche Besprechung folgt in den nächsten Abschnitten.

Potenzfunktionen mit positiven Exponenten 

In diesem Abschnitt untersuchen wir folgende Funktionen: $f(x) = x^n$ mit $n \in \mathbb{N}$.

Die Graphen von Potenzfunktionen heißen Parabeln $n$-ter Ordnung, wenn der Exponent $n$ positiv und $n > 1$ ist.

Sonderfall: Für $n = 1$ ist der Graph der Potenzfunktion eine Gerade (Lineare Funktionen).

Beispiel 1 

Der Graph der Funktion $f(x) = x^2$ ist eine Parabel 2. Ordnung.

Beispiel 2 

Der Graph der Funktion $f(x) = x^3$ ist eine Parabel 3. Ordnung.

Die Eigenschaften der Funktionen unterscheiden sich danach, ob die Exponenten gerade oder ungerade sind.

Gerade Exponenten 

Beispiel 3 

Als Beispiele dienen die Funktionen $f(x) = x^2$ und $f(x) = x^4$.

Um die Graphen besser zu zeichnen, berechnen wir zunächst einige Funktionswerte:

$$ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c} x & -1{,}5 & {\color{blue}-1} & -0{,}5 & {\color{blue}0} & 0{,}5 & {\color{blue}1} & 1{,}5 \\ \hline x^2 & 2{,}25 & {\color{blue}1} & 0{,}25 & {\color{blue}0} & 0{,}25 & {\color{blue}1} & 2{,}25 \\ \hline x^4 & 5{,}0625 & {\color{blue}1} & 0{,}0625 & {\color{blue}0} & 0{,}0625 & {\color{blue}1} & 5{,}0625 \end{array} $$

Die Abbildung zeigt den Graphen der

  • Potenzfunktion $f(x) = x^2$
    (= Parabel 2. Ordnung)

  • Potenzfunktion $f(x) = x^4$
    (= Parabel 4. Ordnung)

Abb. 1 

Ungerade Exponenten 

Beispiel 4 

Als Beispiele dienen die Funktionen $f(x) = x^3$ und $f(x) = x^5$.

Um die Graphen besser zu zeichnen, berechnen wir zunächst einige Funktionswerte:

$$ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c} x & -1{,}5 & {\color{blue}-1} & -0{,}5 & {\color{blue}0} & 0{,}5 & {\color{blue}1} & 1{,}5 \\ \hline x^3 & -3{,}375 & {\color{blue}-1} & -0{,}125 & {\color{blue}0} & 0{,}125 & {\color{blue}1} & 3{,}375 \\ \hline x^5 & -7{,}59375 & {\color{blue}-1} & 0{,}03125 & {\color{blue}0} & 0{,}03125 & {\color{blue}1} & 7{,}59375 \end{array} $$

Die Abbildung zeigt den Graphen der

  • Potenzfunktion $f(x) = x^3$
    (= Parabel 3. Ordnung)

  • Potenzfunktion $f(x) = x^5$
    (= Parabel 5. Ordnung)

Abb. 2 

Zusammenfassung der wichtigsten Eigenschaften (1) 

Potenzfunktionen mit positiven ganzzahligen Exponenten haben folgende Eigenschaften:

$\boldsymbol{f(x) = x^n}$
$\text{mit } \boldsymbol{n \in \mathbb{N}}$
$\boldsymbol{n}$ gerade$\boldsymbol{n}$ ungerade
Definitionsmenge$\mathbb{D} = \mathbb{R}$$\mathbb{D} = \mathbb{R}$
Wertemenge$\mathbb{W} = \mathbb{R}^{+}_{0}$$\mathbb{W} = \mathbb{R}$
GraphParabel $n$-ter OrdnungParabel $n$-ter Ordnung
Symmetrieachsensymmetrisch
(zur $y$-Achse)
punktsymmetrisch
(zum Koordinatenursprung)
Gemeinsame
Punkte
$(-1|1)$, $(0|0)$, $(1|1)$$(-1|{-1})$, $(0|0)$, $(1|1)$
Monotonie$x < 0$: streng monoton fallend
$x > 0$: streng monoton steigend
streng monton steigend

Potenzfunktionen mit negativen Exponenten 

In diesem Abschnitt untersuchen wir folgende Funktionen: $f(x) = x^{-n}$ mit $n \in \mathbb{N}$.

Die Graphen von Potenzfunktionen heißen Hyperbeln $n$-ter Ordnung, wenn der Exponent negativ ist.

Beispiel 5 

Der Graph der Funktion $f(x) = x^{-2}$ ist eine Hyperbel 2. Ordnung.

Beispiel 6 

Der Graph der Funktion $f(x) = x^{-3}$ ist eine Hyperbel 3. Ordnung.

Die Eigenschaften der Funktionen unterscheiden sich danach, ob die Exponenten gerade oder ungerade sind.

Gerade Exponenten 

Beispiel 7 

Als Beispiele dienen die Funktionen $f(x) = x^{-2}$ und $f(x) = x^{-4}$.

Um die Graphen besser zu zeichnen, berechnen wir zunächst einige Funktionswerte:

$$ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c} x & -1{,}5 & {\color{blue}-1} & -0{,}5 & 0{,}5 & {\color{blue}1} & 1{,}5 \\ \hline x^{-2} & 0{,}\bar{4} & {\color{blue}1} & 4 & 4 & {\color{blue}1} & 0{,}\bar{4} \\ \hline x^{-4} & \approx 0{,}1975 & {\color{blue}1} & 16 & 16 & {\color{blue}1} & \approx 0{,}1975 \end{array} $$

Die Abbildung zeigt den Graphen der

  • Potenzfunktion $f(x) = x^{-2}$
    (= Hyperbel 2. Ordnung)

  • Potenzfunktion $f(x) = x^{-4}$
    (= Hyperbel 4. Ordnung)

Abb. 3 

Ungerade Exponenten 

Beispiel 8 

Als Beispiele dienen die Funktionen $f(x) = x^{-3}$ und $f(x) = x^{-5}$.

Um die Graphen besser zu zeichnen, berechnen wir zunächst einige Funktionswerte:

$$ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c} x & -1{,}5 & {\color{blue}-1} & -0{,}5 & 0{,}5 & {\color{blue}1} & 1{,}5 \\ \hline x^{-3} & \approx -0{,}2963 & {\color{blue}-1} & -8 & 8 & {\color{blue}1} & \approx 0{,}2963 \\ \hline x^{-5} & \approx -0{,}1317 & {\color{blue}-1} & -32 & 32 & {\color{blue}1} & \approx 0{,}1317 \end{array} $$

Die Abbildung zeigt den Graphen der

  • Potenzfunktion $f(x) = x^{-3}$
    (= Hyperbel 3. Ordnung)

  • Potenzfunktion $f(x) = x^{-5}$
    (= Hyperbel 5. Ordnung)

Abb. 4 

Zusammenfassung der wichtigsten Eigenschaften (2) 

Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten haben folgende Eigenschaften:

$\boldsymbol{f(x) = x^{-n}}$
$\text{mit } \boldsymbol{n \in \mathbb{N}}$
$\boldsymbol{n}$ gerade$\boldsymbol{n}$ ungerade
Definitionsmenge$\mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus\{0\}$$\mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus\{0\}$
Wertemenge$\mathbb{W} = \mathbb{R}^{+}$$\mathbb{W} = \mathbb{R}\setminus\{0\}$
GraphHyperbel $n$-ter OrdnungHyperbel $n$-ter Ordnung
Symmetrieachsensymmetrisch
(zur $y$-Achse)
punktsymmetrisch
(zum Koordinatenursprung)
Gemeinsame
Punkte
$(-1|1)$, $(1|1)$$(-1|{-1})$, $(1|1)$
Monotonie$x < 0$: streng monoton steigend
$x > 0$: streng monoton fallend
streng monoton fallend
Asymptoten*$x$-Achse, $y$-Achse$x$-Achse, $y$-Achse

* Wenn sich der Graph einer Funktion immer mehr einer Gerade nähert (an eine Gerade anschmiegt), ohne sie zu schneiden, nennt man diese Gerade Asymptote.

Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten 

In diesem Kapitel haben wir uns auf Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten beschränkt. Wenn wir auch rationale Exponenten zulassen, kommen auch Brüche als Exponenten in Frage.

Laut den Potenzgesetzen gilt für Potenzen mit rationalen Exponenten:

$$ x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m} $$

Bei $\sqrt[n]{x^m}$ handelt es sich um die n-te Wurzel aus x hoch m.

Mehr zu diesem Thema erfährst du im Kapitel Wurzelfunktionen.

Noch Fragen? Logo von Easy-Tutor hilft!

Probestunde sichern