Logarithmusfunktionen
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was Logarithmusfunktionen sind.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Funktion?
Bestandteile
Eine Funktion besteht aus Funktionsgleichung, Definitionsmenge und Wertemenge.
Funktionsgleichung
Eine Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung
$$ y = \log_{a}x \quad \text{ mit } a \in \mathbb{R}^{+}\setminus\{1\} $$
heißt Logarithmusfunktion.
Wegen $y = f(x)$ schreibt man auch häufig $f(x) = \log_{a}x$.
Warum muss die Basis positiv sein?
Der Logarithmus ist für nur für positive Basen definiert.
Warum darf die Basis nicht gleich $1$ sein?
Der Logarithmus ist für eine Basis gleich $1$ nicht definiert.
Definitionsmenge
Die Definitionsmenge $\mathbb{D}_f$ ist die Menge aller $x$-Werte, die in die Funktion $f$ eingesetzt werden dürfen.
In Logarithmusfunktionen dürfen wir grundsätzlich nur positive reellen Zahlen einsetzen:
$$ \mathbb{D}_f = \mathbb{R}^{+} $$
Begründung: Der Logarithmus ist nur für einen positiven Numerus definiert.
Wertemenge
Die Wertemenge $\mathbb{W}_f$ ist die Menge aller $y$-Werte, die die Funktion $f$ unter Beachtung ihrer Definitionsmenge $\mathbb{D}_f$ annehmen kann.
Logarithmusfunktionen können grundsätzlich alle reellen Zahlen annehmen:
$$ \mathbb{W}_f = \mathbb{R} $$
Graph
Der Graph einer Logarithmusfunktion heißt Logarithmuskurve.
Die Logarithmuskurven unterscheiden sich danach, ob die Basis $a$
- zwischen
$0$und$1$liegt oder - größer als
$1$ist.
Basis $a$ zwischen 0 und 1
$$ f(x) = \log_{\frac{1}{2}}x $$
Um den Graphen sauber zu zeichnen, berechnen wir zunächst einige Funktionswerte:
$$ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c} \text{x} & 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}3 & 0{,}4 & 0{,}5 & 1 & 1{,}5 & 2 & 3 & 7 \\ \hline \text{y} & 3{,}32 & 2{,}32 & 1{,}74 & 1{,}32 & 1 & 0 & -0{,}58 & -1 & -1{,}58 & -2{,}81 \\ \end{array} $$
Wir haben die Funktionswerte auf zwei Nachkommastellen gerundet.
Wir können einige interessante Eigenschaften beobachten:
- Je größer
$x$, desto kleiner$y$$\Rightarrow$Der Graph ist streng monoton fallend! - Der Graph schmiegt sich an den positiven Teil der
$y$-Achse.
Basis $a$ größer als 1
$$ g(x) = \log_{2}x $$
Um den Graphen sauber zu zeichnen, berechnen wir zunächst einige Funktionswerte:
$$ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c} \text{x} & 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}3 & 0{,}4 & 0{,}5 & 1 & 1{,}5 & 2 & 3 & 7 \\ \hline \text{y} & -3{,}32 & -2{,}32 & -1{,}74 & -1{,}32 & -1 & 0 & 0{,}58 & 1 & 1{,}58 & 2{,}81 \\ \end{array} $$
Wir haben die Funktionswerte auf zwei Nachkommastellen gerundet.
Wir können einige interessante Eigenschaften beobachten:
- Je größer
$x$, desto größer$y$$\Rightarrow$Der Graph ist streng monoton steigend! - Der Graph schmiegt sich an den negativen Teil der
$y$-Achse.
Eigenschaften
Wenn wir die beiden Funktionen
$$ f(x) = \log_{\frac{1}{2}}x $$
und
$$ g(x) = \log_{2}x $$
in dasselbe Koordinatensystem zeichnen, können wir einige Eigenschaften beobachten.
- Alle Logarithmuskurven verlaufen rechts von der
$y$-Achse.$\Rightarrow$Die Definitionsmenge der Logarithmusfunktion ist$\mathbb{D} = \mathbb{R}^{+}$. - Alle Logarithmuskurven kommen der
$y$-Achse beliebig nahe.$\Rightarrow$Die$y$-Achse ist senkrechte Asymptote der Logarithmuskurve. - Logarithmuskurven haben keinen Schnittpunkt mit der
$y$-Achse.$\Rightarrow$Logarithmusfunktionen haben keinen$y$-Achsenabschnitt! - Alle Logarithmuskurven schneiden die
$x$-Achse im Punkt$(1|0)$.$\Rightarrow$Die Nullstelle der Logarithmusfunktion ist$x = 1$.
Darüber hinaus gilt:
Die Logarithmusfunktionen $f(x) = \log_{\frac{1}{a}}$ und $g(x) = \log_{a}x$ sind achsensymmetrisch zur $x$-Achse.
Zusammenfassung
| Funktionsgleichung | $f(x) = \log_{a}x$ |
| Definitionsmenge | $\mathbb{D} = \mathbb{R}^{+}$ |
| Wertemenge | $\mathbb{W} = \mathbb{R}$ |
| Asymptote | $x = 0$ ($y$-Achse) |
Schnittpunkt mit $y$-Achse | Es gibt keinen! |
Schnittpunkt mit $x$-Achse | $P(1|0)$ |
| Monotonie | $0 < a < 1$: streng monoton fallend$a > 1$: streng monoton steigend |
| Umkehrfunktion | $f(x) = a^x$(Exponentialfunktion) |
Die bekannteste Logarithmusfunktion ist die natürliche Logarithmusfunktion, die sog. ln-Funktion.
