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Logarithmus­funktionen

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was Logarithmusfunktionen sind.

Erforderliches Vorwissen

Bestandteile 

Eine Funktion besteht aus Funktionsgleichung, Definitionsmenge und Wertemenge.

Funktionsgleichung 

Eine Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung

$$ y = \log_{a}x \quad \text{ mit } a \in \mathbb{R}^{+}\setminus\{1\} $$

heißt Logarithmusfunktion.

Wegen $y = f(x)$ schreibt man auch häufig $f(x) = \log_{a}x$.

Warum muss die Basis positiv sein?

Der Logarithmus ist für nur für positive Basen definiert.

Warum darf die Basis nicht gleich $1$ sein?

Der Logarithmus ist für eine Basis gleich $1$ nicht definiert.

Definitionsmenge 

Die Definitionsmenge $\mathbb{D}_f$ ist die Menge aller $x$-Werte, die in die Funktion $f$ eingesetzt werden dürfen.

In Logarithmusfunktionen dürfen wir grundsätzlich nur positive reellen Zahlen einsetzen:

$$ \mathbb{D}_f = \mathbb{R}^{+} $$

Begründung: Der Logarithmus ist nur für einen positiven Numerus definiert.

Wertemenge 

Die Wertemenge $\mathbb{W}_f$ ist die Menge aller $y$-Werte, die die Funktion $f$ unter Beachtung ihrer Definitionsmenge $\mathbb{D}_f$ annehmen kann.

Logarithmusfunktionen können grundsätzlich alle reellen Zahlen annehmen:

$$ \mathbb{W}_f = \mathbb{R} $$

Graph 

Der Graph einer Logarithmusfunktion heißt Logarithmuskurve.

Die Logarithmuskurven unterscheiden sich danach, ob die Basis $a$

  • zwischen $0$ und $1$ liegt oder
  • größer als $1$ ist.

Basis $a$ zwischen 0 und 1 

Beispiel 1 

$$ f(x) = \log_{\frac{1}{2}}x $$

Um den Graphen sauber zu zeichnen, berechnen wir zunächst einige Funktionswerte:

$$ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c} \text{x} & 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}3 & 0{,}4 & 0{,}5 & 1 & 1{,}5 & 2 & 3 & 7 \\ \hline \text{y} & 3{,}32 & 2{,}32 & 1{,}74 & 1{,}32 & 1 & 0 & -0{,}58 & -1 & -1{,}58 & -2{,}81 \\ \end{array} $$

Wir haben die Funktionswerte auf zwei Nachkommastellen gerundet.

Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion

$$ f(x) = \log_{\frac{1}{2}}x $$

Abb. 1 

Wir können einige interessante Eigenschaften beobachten:

  • Je größer $x$, desto kleiner $y$ $\Rightarrow$ Der Graph ist streng monoton fallend!
  • Der Graph schmiegt sich an den positiven Teil der $y$-Achse.

Basis $a$ größer als 1 

Beispiel 2 

$$ g(x) = \log_{2}x $$

Um den Graphen sauber zu zeichnen, berechnen wir zunächst einige Funktionswerte:

$$ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c} \text{x} & 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}3 & 0{,}4 & 0{,}5 & 1 & 1{,}5 & 2 & 3 & 7 \\ \hline \text{y} & -3{,}32 & -2{,}32 & -1{,}74 & -1{,}32 & -1 & 0 & 0{,}58 & 1 & 1{,}58 & 2{,}81 \\ \end{array} $$

Wir haben die Funktionswerte auf zwei Nachkommastellen gerundet.

Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion

$$ g(x) = \log_{2}x $$

Abb. 2 

Wir können einige interessante Eigenschaften beobachten:

  • Je größer $x$, desto größer $y$ $\Rightarrow$ Der Graph ist streng monoton steigend!
  • Der Graph schmiegt sich an den negativen Teil der $y$-Achse.

Eigenschaften 

Wenn wir die beiden Funktionen

$$ f(x) = \log_{\frac{1}{2}}x $$

und

$$ g(x) = \log_{2}x $$

in dasselbe Koordinatensystem zeichnen, können wir einige Eigenschaften beobachten.

Abb. 3 
  1. Alle Logarithmuskurven verlaufen rechts von der $y$-Achse.
    $\Rightarrow$ Die Definitionsmenge der Logarithmusfunktion ist $\mathbb{D} = \mathbb{R}^{+}$.
  2. Alle Logarithmuskurven kommen der $y$-Achse beliebig nahe.
    $\Rightarrow$ Die $y$-Achse ist senkrechte Asymptote der Logarithmuskurve.
  3. Logarithmuskurven haben keinen Schnittpunkt mit der $y$-Achse.
    $\Rightarrow$ Logarithmusfunktionen haben keinen $y$-Achsenabschnitt!
  4. Alle Logarithmuskurven schneiden die $x$-Achse im Punkt $(1|0)$.
    $\Rightarrow$ Die Nullstelle der Logarithmusfunktion ist $x = 1$.

Darüber hinaus gilt:

Die Logarithmusfunktionen $f(x) = \log_{\frac{1}{a}}$ und $g(x) = \log_{a}x$ sind achsensymmetrisch zur $x$-Achse.

Zusammenfassung 

Funktionsgleichung$f(x) = \log_{a}x$
Definitionsmenge$\mathbb{D} = \mathbb{R}^{+}$
Wertemenge$\mathbb{W} = \mathbb{R}$
Asymptote$x = 0$ ($y$-Achse)
Schnittpunkt mit $y$-AchseEs gibt keinen!
Schnittpunkt mit $x$-Achse$P(1|0)$
Monotonie$0 < a < 1$: streng monoton fallend
$a > 1$: streng monoton steigend
Umkehrfunktion$f(x) = a^x$
(Exponentialfunktion)

Die bekannteste Logarithmusfunktion ist die natürliche Logarithmusfunktion, die sog. ln-Funktion.

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