Funktionsgleichung

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine Funktionsgleichung ist.

Es empfiehlt sich, zunächst den Einführungsartikel zu den Funktionen durchzulesen.

Eine Funktion \(f\) ist eine Zuordnung, bei der
jedem Element \(x\) der Definitionsmenge \(D\)
genau ein Element \(y\) der Wertemenge \(W\)
zugeordnet ist.

Kurzschreibweise: \(f\colon\; D \to W\)

Eine Funktion besteht aus drei Teilen:

  • Funktionsgleichung
  • Definitionsmenge
  • Wertemenge

Beispiel einer Funktion

\(y = 2x, \quad D = \{1,2,3,4\}, \quad W = \{2,4,6,8\}\)

Erklärung

Bei \(y = 2x\) handelt es sich um die Funktionsgleichung der Funktion. Sie gibt an, was man mit einem \(x\)-Wert machen muss, um den dazugehörigen \(y\)-Wert zu erhalten: In diesem Fall muss jeder \(x\)-Wert mit 2 multipliziert werden.

Bei \(D = \{1,2,3,4\}\) handelt sich um die Definitionsmenge der Funktion. Sie gibt an, welche \(x\)-Werte in die Funktion eingesetzt werden dürfen: In diesem Fall darf man die Zahlen 1, 2, 3 und 4 für \(x\) einsetzen.

Bei \(W = \{2,4,6,8\}\) handelt es sich um die Wertemenge der Funktion. Sie gibt an, welche \(y\)-Werte die Funktion annehmen kann.

Zusammenhänge verstehen

Wenn wir nacheinander die Zahlen aus dem Definitionsbereich \(D = \{{\color{red}1},{\color{red}2},{\color{red}3},{\color{red}4}\}\) in die Funktionsgleichung \(y = 2x\) einsetzen, lässt sich Folgendes beobachten:

Gilt \(x ={\color{red}1}\), berechnet sich der zugehörige \(y\)-Wert zu: \(y = 2 \cdot{\color{red}1} ={\color{maroon}2}\).
Gilt \(x ={\color{red}2}\), berechnet sich der zugehörige \(y\)-Wert zu: \(y = 2 \cdot{\color{red}2} ={\color{maroon}4}\).
Gilt \(x ={\color{red}3}\), berechnet sich der zugehörige \(y\)-Wert zu: \(y = 2 \cdot{\color{red}3} ={\color{maroon}6}\).
Gilt \(x ={\color{red}4}\), berechnet sich der zugehörige \(y\)-Wert zu: \(y = 2 \cdot{\color{red}4} ={\color{maroon}8}\).

Setzt man alle Werte aus dem Definitionsbereich \(D = \{{\color{red}1},{\color{red}2},{\color{red}3},{\color{red}4}\}\) in die Funktionsgleichung \(y = 2x\) ein, erhält man die Wertemenge \(W = \{{\color{maroon}2},{\color{maroon}4},{\color{maroon}6},{\color{maroon}8}\}\).

In der linken Abbildung ist der Zusammenhang zwischen der Definitionsmenge und der Wertemenge noch einmal graphisch dargestellt. Die Funktionsgleichung ist dabei das Bindeglied zwischen den beiden Mengen:

\(\underbrace{\text{Definitionsmenge}}_{x\text{-Werte}} \underset{y~=~2x}{\longrightarrow} \underbrace{\text{Wertemenge}}_{y\text{-Werte}}\)

Wir können festhalten:

Eine Funktionsgleichung ist eine mathematische Vorschrift, mit deren Hilfe sich der \(y\)-Wert aus einem gegebenen \(x\)-Wert berechnen lässt.

Formale Schreibweise: \(y = f(x)\)

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Andreas Schneider

Mein Name ist Andreas Schneider und ich betreibe seit 2013 hauptberuflich die kostenlose und mehrfach ausgezeichnete Mathe-Lernplattform www.mathebibel.de. Jeden Monat werden meine Erklärungen von bis zu 1 Million Schülern, Studenten, Eltern und Lehrern aufgerufen. Nahezu täglich veröffentliche ich neue Inhalte. Abonniere jetzt meinen Newsletter und erhalte 5 meiner 42 Lernhilfen gratis!

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