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Funktionsgleichung

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine Funktionsgleichung ist.

Es empfiehlt sich, zunächst den Einführungsartikel zu den Funktionen durchzulesen.

Eine Funktion \(f\) ist eine Zuordnung, bei der
jedem Element \(x\) der Definitionsmenge \(D\)
genau ein Element \(y\) der Wertemenge \(W\)
zugeordnet ist.

Kurzschreibweise: \(f\colon\; D \to W\)

Eine Funktion besteht aus drei Teilen:

  • Funktionsgleichung
  • Definitionsmenge
  • Wertemenge

Beispiel einer Funktion

\(y = 2x, \quad D = \{1,2,3,4\}, \quad W = \{2,4,6,8\}\)

Erklärung

Bei \(y = 2x\) handelt es sich um die Funktionsgleichung der Funktion. Sie gibt an, was man mit einem \(x\)-Wert machen muss, um den dazugehörigen \(y\)-Wert zu erhalten: In diesem Fall muss jeder \(x\)-Wert mit 2 multipliziert werden.

Bei \(D = \{1,2,3,4\}\) handelt sich um die Definitionsmenge der Funktion. Sie gibt an, welche \(x\)-Werte in die Funktion eingesetzt werden dürfen: In diesem Fall darf man die Zahlen 1, 2, 3 und 4 für \(x\) einsetzen.

Bei \(W = \{2,4,6,8\}\) handelt es sich um die Wertemenge der Funktion. Sie gibt an, welche \(y\)-Werte die Funktion annehmen kann.

Zusammenhänge verstehen

Wenn wir nacheinander die Zahlen aus dem Definitionsbereich \(D = \{{\color{red}1},{\color{red}2},{\color{red}3},{\color{red}4}\}\) in die Funktionsgleichung \(y = 2x\) einsetzen, lässt sich Folgendes beobachten:

Gilt \(x ={\color{red}1}\), berechnet sich der zugehörige \(y\)-Wert zu: \(y = 2 \cdot{\color{red}1} ={\color{maroon}2}\).
Gilt \(x ={\color{red}2}\), berechnet sich der zugehörige \(y\)-Wert zu: \(y = 2 \cdot{\color{red}2} ={\color{maroon}4}\).
Gilt \(x ={\color{red}3}\), berechnet sich der zugehörige \(y\)-Wert zu: \(y = 2 \cdot{\color{red}3} ={\color{maroon}6}\).
Gilt \(x ={\color{red}4}\), berechnet sich der zugehörige \(y\)-Wert zu: \(y = 2 \cdot{\color{red}4} ={\color{maroon}8}\).

Setzt man alle Werte aus dem Definitionsbereich \(D = \{{\color{red}1},{\color{red}2},{\color{red}3},{\color{red}4}\}\) in die Funktionsgleichung \(y = 2x\) ein, erhält man die Wertemenge \(W = \{{\color{maroon}2},{\color{maroon}4},{\color{maroon}6},{\color{maroon}8}\}\).

In der linken Abbildung ist der Zusammenhang zwischen der Definitionsmenge und der Wertemenge noch einmal graphisch dargestellt. Die Funktionsgleichung ist dabei das Bindeglied zwischen den beiden Mengen:

\(\underbrace{\text{Definitionsmenge}}_{x\text{-Werte}} \underset{y~=~2x}{\longrightarrow} \underbrace{\text{Wertemenge}}_{y\text{-Werte}}\)

Wir können festhalten:

Eine Funktionsgleichung ist eine mathematische Vorschrift, mit deren Hilfe sich der \(y\)-Wert aus einem gegebenen \(x\)-Wert berechnen lässt.

Formale Schreibweise: \(y = f(x)\)

Mehr zum Thema Funktionen

Funktionen haben in der Mathematik eine große Bedeutung. Es verwundert deshalb nicht, dass sie oft Bestandteil von Prüfungen sind. In den folgenden Kapiteln wollen wir etwas tiefer in die Materie eintauchen und unsere Kenntnisse mit Hilfe von Beispielaufgaben erweitern:

Grundlagen  
Was sind Funktionen? \(f: D \rightarrow W\)
Bestandteile einer Funktion
 
Funktionsgleichung \(y = f(x)\)
Definitionsmenge \(D\) oder \(\mathbb{D}\)
Wertemenge \(W\) oder \(\mathbb{W}\)
Besondere Funktionen  
Konstante Funktionen \(f(x) = c\)
Lineare Funktionen \(f(x) = mx + n\)
Quadratische Funktionen \(f(x) = ax^2 + bx + c\)
Gebrochenrationale Funktionen \(f(x) = \frac{a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_ 0}{b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + \dots + b_1 x + b_ 0}\)

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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