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Transformation von Funktionen

In diesem Kapitel schauen wir uns die Transformation von Funktionen an.

Erforderliches Vorwissen

Definition 

Der Begriff Transformation kommt aus dem Lateinischen und bedeutet Umwandlung.

Eine Funktion $f$ zu transformieren, heißt, sie in eine neue Funktion $g$ umzuwandeln.

Arten 

Die Transformation von Funktionen können wir aus zwei Blickwinkeln betrachten:

  1. Der Funktionsterm verändert sich (Algebraischer Blickwinkel)
  2. Der Funktionsgraph verändert sich (Geometrischer Blickwinkel)

Algebraische Transformationen 

Die vier einfachsten Möglichkeiten, eine Funktion algebraisch zu transformieren, sind:

Argument $x$ mit einer Konstanten $c$ addieren$g \colon x \mapsto f({\color{#E8960C}x} + c)$
Funktionswert $f(x)$ mit einer Konstanten $c$ addieren$g \colon x \mapsto {\color{#E85A0C}f(x)} + c$
Argument $x$ mit einer Konstanten $c$ multiplizieren$g \colon x \mapsto f(c \cdot {\color{#E8960C}x})$
Funktionswert $f(x)$ mit einer Konstanten $c$ multiplizieren$g \colon x \mapsto c \cdot {\color{#E85A0C}f(x)}$

Wir können also an zwei Stellschrauben drehen: Entweder wir verändern das Argument $x$ (das, was wir in die Funktion einsetzen) oder den Funktionswert $f(x)$ (das, was die Funktion ausgibt).

Geometrische Transformationen 

Die drei einfachsten Möglichkeiten, eine Funktion geometrisch zu transformieren, sind:

  • Verschiebung des Graphen
  • Skalierung des Graphen
  • Spiegelung des Graphen

Im Folgenden untersuchen wir, wie die beiden Betrachtungsweisen zusammenhängen.

Beispiele 

Verschiebung von Funktionen 

Hauptkapitel: Verschiebung von Funktionen

Verschiebung in ${\color{#E8960C}\boldsymbol{x}}$-Richtung ($\boldsymbol{\leftrightarrow}$)

$$ \begin{equation*} f({\color{#E8960C}x} + c) = \begin{cases} \text{ Verschiebung nach rechts} &\text{für } c < 0 \\[5px] \text{ Verschiebung nach links} &\text{für } c > 0 \end{cases} \end{equation*} $$

Beispiel 1 

Verschiebung um $2\ \textrm{LE}$ nach rechts

$$ f(x) = x^2 $$

$$ \begin{align*} g(x) &= f({\color{#E8960C}x} - 2) \\[5px] &= (x - 2)^2 \end{align*} $$

Abb. 1 

Beispiel 2 

Verschiebung um $2\ \textrm{LE}$ nach links

$$ f(x) = x^2 $$

$$ \begin{align*} g(x) &= f({\color{#E8960C}x} + 2) \\[5px] &= (x + 2)^2 \end{align*} $$

Abb. 2 

Verschiebung in ${\color{#E85A0C}\boldsymbol{y}}$-Richtung ($\boldsymbol{\updownarrow}$)

$$ \begin{equation*} {\color{#E85A0C}f(x)} + c = \begin{cases} \text{ Verschiebung nach oben} &\text{für } c > 0 \\[5px] \text{ Verschiebung nach unten} &\text{für } c < 0 \end{cases} \end{equation*} $$

Beispiel 3 

Verschiebung um $2\ \textrm{LE}$ nach oben

$$ f(x) = x^2 $$

$$ \begin{align*} g(x) &= {\color{#E85A0C}f(x)} + 2 \\[5px] &= x^2 + 2 \end{align*} $$

Abb. 3 

Beispiel 4 

Verschiebung um $2\ \textrm{LE}$ nach unten

$$ f(x) = x^2 $$

$$ \begin{align*} g(x) &= {\color{#E85A0C}f(x)} - 2 \\[5px] &= x^2 - 2 \end{align*} $$

Abb. 4 

Skalierung von Funktionen 

Hauptkapitel: Skalierung von Funktionen

Skalierung in ${\color{#E8960C}\boldsymbol{x}}$-Richtung ($\boldsymbol{\leftrightarrow}$)

$$ \begin{equation*} f(c \cdot {\color{#E8960C}x}) = \begin{cases} \text{ Streckung in $x$-Richtung} &\text{für } 0 < c < 1 \\[5px] \text{ Stauchung in $x$-Richtung} &\text{für } c > 1 \end{cases} \end{equation*} $$

Beispiel 5 

Skalierung um den Faktor $\frac{1}{2}$ in $x$-Richtung (Streckung)

$$ f(x) = x^2 $$

$$ \begin{align*} g(x) &= f\left(\frac{1}{2}{\color{#E8960C}x}\right) \\[5px] &= \left(\frac{1}{2}x\right)^2 \\[5px] &= \frac{1}{4}x^2 \end{align*} $$

Abb. 5 

Beispiel 6 

Skalierung um den Faktor $2$ in $x$-Richtung (Stauchung)

$$ f(x) = x^2 $$

$$ \begin{align*} g(x) &= f(2{\color{#E8960C}x}) \\[5px] &= (2x)^2 \\[5px] &= 4x^2 \end{align*} $$

Abb. 6 

Skalierung in ${\color{#E85A0C}\boldsymbol{y}}$-Richtung ($\boldsymbol{\updownarrow}$)

$$ \begin{equation*} c \cdot {\color{#E85A0C}f(x)} = \begin{cases} \text{ Streckung in $y$-Richtung} &\text{für } c > 1 \\[5px] \text{ Stauchung in $y$-Richtung} &\text{für } 0 < c < 1 \end{cases} \end{equation*} $$

Beispiel 7 

Skalierung um den Faktor $2$ in $y$-Richtung (Streckung)

$$ f(x) = x^2 $$

$$ \begin{align*} g(x) &= 2 \cdot {\color{#E85A0C}f(x)} \\[5px] &= 2x^2 \end{align*} $$

Abb. 7 

Beispiel 8 

Skalierung um den Faktor $\frac{1}{2}$ in $y$-Richtung (Stauchung)

$$ f(x) = x^2 $$

$$ \begin{align*} g(x) &= \frac{1}{2} \cdot {\color{#E85A0C}f(x)} \\[5px] &= \frac{1}{2}x^2 \end{align*} $$

Abb. 8 

Spiegelung von Funktionen 

Hauptkapitel: Spiegelung von Funktionen

Spiegelung an der $\boldsymbol{y}$-Achse ($\boldsymbol{\leftrightarrow}$)

$$ f(-x) $$

Beispiel 9 

Spiegelung an der $y$-Achse

$$ f(x) = (x+2)^2 $$

$$ \begin{align*} g(x) &= f(-x) \\[5px] &= (-x+2)^2 \\[5px] &= [(-1)(x-2)]^2 \\[5px] &= (-1)^2(x-2)^2 \\[5px] &= (x-2)^2 \end{align*} $$

Abb. 9 

Spiegelung an der $\boldsymbol{x}$-Achse ($\boldsymbol{\updownarrow}$)

$$ -f(x) $$

Beispiel 10 

Spiegelung an der $x$-Achse

$$ f(x) = (x+2)^2 $$

$$ \begin{align*} g(x) &= -f(x) \\[5px] &= -(x+2)^2 \end{align*} $$

Abb. 10 

Spiegelung am Koordinatenursprung $\boldsymbol{O(0|0)}$

$$ -f(-x) $$

Beispiel 11 

Spiegelung am Koordinatenursprung $O(0|0)$

$$ f(x) = (x+2)^2 $$

$$ \begin{align*} g(x) &= -f(-x) \\[5px] &= -(-x+2)^2 \\[5px] &= -(x-2)^2 \end{align*} $$

Abb. 11 

Zusammenfassung 

Verschiebung von FunktionenAddition einer Konstanten($c \in \mathbb{R}$)
…in ${\color{#E8960C}x}$-Richtung ($\leftrightarrow$)$f({\color{#E8960C}x} + c)$
…in ${\color{#E85A0C}y}$-Richtung ($\updownarrow$)${\color{#E85A0C}f(x)} + c$
Skalierung von FunktionenMultiplikation einer Konstanten($c > 0$)
…in ${\color{#E8960C}x}$-Richtung ($\leftrightarrow$)$f(c \cdot {\color{#E8960C}x})$
…in ${\color{#E85A0C}y}$-Richtung ($\updownarrow$)$c \cdot {\color{#E85A0C}f(x)}$
Spiegelung von FunktionenMultiplikation mit $-1$($c = -1$)
…an der $y$-Achse ($\leftrightarrow$)$f(-x)$
…an der $x$-Achse ($\updownarrow$)$-f(x)$
…am Koordinatenursprung $O(0|0)$$-f(-x)$

Merkhilfe

  • Eine Veränderung des Arguments ${\color{#E8960C}x}$ führt zu einer Veränderung des Graphen in ${\color{#E8960C}x}$-Richtung
  • Eine Veränderung des Funktionswerts ${\color{#E85A0C}f(x)}$ führt zu einer Veränderung des Graphen in ${\color{#E85A0C}y}$-Richtung ($y = f(x)$)

Mehrfach transformierte Funktionen 

Transformationen lassen sich beliebig zusammensetzen.

Beispiel 12 

Eine Multiplikation mit $-2$ entspricht wegen $-2 = -1 \cdot 2$ einer Spiegelung mit anschließender Skalierung.

Allgemein gilt:

$g \colon x \mapsto a \cdot f(b(x + c)) + d$ mit $a, b, c ,d \in \mathbb{R}$

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