Transformation von Funktionen

In diesem Kapitel schauen wir uns die Transformation von Funktionen an.

Einleitung

Der Begriff „Transformation“ kommt aus dem Lateinischen und bedeutet „Umwandlung“.

Eine Funktion \(f\) zu transformieren, heißt,
sie in eine neue Funktion \(g\) umzuwandeln.

Die Transformation von Funktionen können wir aus zwei Blickwinkeln betrachten:

  1. Der Funktionsterm verändert sich (algebraischer Blickwinkel).
  2. Der Funktionsgraph verändert sich (geometrischer Blickwinkel).

Algebraische Transformation von Funktionen

Die vier einfachsten Möglichkeiten, eine Funktion algebraisch zu transformieren, sind:

Argument \(x\) mit einer Konstanten \(c\) addieren \(g \colon x \mapsto f({\color{#E8960C}x} + c)\)
Funktionswert \(f(x)\) mit einer Konstanten \(c\) addieren \(g \colon x \mapsto {\color{#E85A0C}f(x)} + c\)
Argument \(x\) mit einer Konstanten \(c\) multiplizieren \(g \colon x \mapsto f(c \cdot {\color{#E8960C}x})\)
Funktionswert \(f(x)\) mit einer Konstanten \(c\) multiplizieren \(g \colon x \mapsto c \cdot {\color{#E85A0C}f(x)}\)

Wir können also an zwei Stellschrauben drehen: Entweder wir verändern das Argument \(x\) (das, was wir in die Funktion einsetzen) oder den Funktionswert \(f(x)\) (das, was die Funktion ausgibt).

Geometrische Transformation von Funktionen

Die drei einfachsten Möglichkeiten, eine Funktion geometrisch zu transformieren, sind:

Verschiebung des Graphen
Skalierung des Graphen
Spiegelung des Graphen

Im Folgenden untersuchen wir, wie die beiden Betrachtungsweisen zusammenhängen.

Beispiele zur Transformation von Funktionen

Verschiebung in \({\color{#E8960C}x}\)-Richtung (\(\leftrightarrow\))

\begin{equation*}
f({\color{#E8960C}x} + c) =
\begin{cases}
\text{Verschiebung nach rechts} &\text{für } c < 0\\
\text{Verschiebung nach links} &\text{für } c > 0
\end{cases}
\end{equation*}

Verschiebung um \(2~\mathrm{LE}\) nach rechts

\(f(x) = x^2\)

\(\begin{align*} g(x) &= f({\color{#E8960C}x} - 2)\\[5px] &= (x - 2)^2 \end{align*}\)

Verschiebung um \(2~\mathrm{LE}\) nach links

\(f(x) = x^2\)

\(\begin{align*} g(x) &= f({\color{#E8960C}x} + 2)\\[5px] &= (x + 2)^2 \end{align*}\)

Verschiebung in \({\color{#E85A0C}y}\)-Richtung (\(\updownarrow\))

\begin{equation*}
{\color{#E85A0C}f(x)} + c =
\begin{cases}
\text{Verschiebung nach oben} &\text{für } c > 0\\
\text{Verschiebung nach unten} &\text{für } c < 0
\end{cases}
\end{equation*}

Verschiebung um \(2~\mathrm{LE}\) nach oben

\(f(x) = x^2\)

\(\begin{align*} g(x) &= {\color{#E85A0C}f(x)} + 2\\[5px] &= x^2 + 2 \end{align*}\)

Verschiebung um \(2~\mathrm{LE}\) nach unten

\(f(x) = x^2\)

\(\begin{align*} g(x) &= {\color{#E85A0C}f(x)} - 2\\[5px] &= x^2 - 2 \end{align*}\)

Skalierung in \({\color{#E8960C}x}\)-Richtung (\(\leftrightarrow\))

\begin{equation*}
f(c \cdot {\color{#E8960C}x}) =
\begin{cases}
\text{Streckung in \(x\)-Richtung} &\text{für } 0 < c < 1\\
\text{Stauchung in \(x\)-Richtung} &\text{für } c > 1
\end{cases}
\end{equation*}

Skalierung um den Faktor \(\frac{1}{2}\) in \(x\)-Richtung
(Streckung)

\(f(x) = x^2\)

\(\begin{align*} g(x) &= f\left(\frac{1}{2}{\color{#E8960C}x}\right)\\[5px] &= \left(\frac{1}{2}x\right)^2\\[5px] &= \frac{1}{4}x^2 \end{align*}\)

Skalierung um den Faktor \(2\) in \(x\)-Richtung
(Stauchung)

\(f(x) = x^2\)

\(\begin{align*} g(x) &= f(2{\color{#E8960C}x})\\[5px] &= (2x)^2\\[5px] &= 4x^2 \end{align*}\)

Skalierung in \({\color{#E85A0C}y}\)-Richtung (\(\updownarrow\))

\begin{equation*}
c \cdot {\color{#E85A0C}f(x)} =
\begin{cases}
\text{Streckung in \(y\)-Richtung} &\text{für } c > 1\\
\text{Stauchung in \(y\)-Richtung} &\text{für } 0 < c < 1
\end{cases}
\end{equation*}

Skalierung um den Faktor \(2\) in \(y\)-Richtung
(Streckung)

\(f(x) = x^2\)

\(\begin{align*} g(x) &= 2 \cdot {\color{#E85A0C}f(x)}\\[5px] &= 2x^2 \end{align*}\)

Skalierung um den Faktor \(\frac{1}{2}\) in \(y\)-Richtung
(Stauchung)

\(f(x) = x^2\)

\(\begin{align*} g(x) &= \frac{1}{2} \cdot {\color{#E85A0C}f(x)}\\[5px] &= \frac{1}{2}x^2 \end{align*}\)

Spiegelung an der \(y\)-Achse (\(\leftrightarrow\))

\begin{equation*}
f(-x)
\end{equation*}

Spiegelung an der \(y\)-Achse

\(f(x) = (x+2)^2\)

\(\begin{align*} g(x) &= f(-x)\\[5px] &= (-x+2)^2\\[5px] &= [(-1)(x-2)]^2\\[5px] &= (-1)^2(x-2)^2\\[5px] &= (x-2)^2 \end{align*}\)

Spiegelung an der \(x\)-Achse (\(\updownarrow\))

\begin{equation*}
-f(x)
\end{equation*}

Spiegelung an der \(x\)-Achse

\(f(x) = (x+2)^2\)

\(\begin{align*} g(x) &= -f(x)\\[5px] &= -(x+2)^2 \end{align*}\)

Spiegelung am Koordinatenursprung \(O(0|0)\)

\begin{equation*}
-f(-x)
\end{equation*}

Spiegelung am Koordinatenursprung \(O(0|0)\)

\(f(x) = (x+2)^2\)

\(\begin{align*} g(x) &= -f(-x)\\[5px] &= -(-x+2)^2\\[5px] &= -(x-2)^2 \end{align*}\)

Überblick: Transformation von Funktionen

Verschiebung von Funktionen
Addition einer Konstanten
(\(c \in \mathbb{R}\))
...in \({\color{#E8960C}x}\)-Richtung (\(\leftrightarrow\)) \(f({\color{#E8960C}x} + c)\)  
...in \({\color{#E85A0C}y}\)-Richtung (\(\updownarrow\)) \({\color{#E85A0C}f(x)} + c\)  
Skalierung von Funktionen
Multiplikation einer Konstanten
(\(c > 0\))
...in \({\color{#E8960C}x}\)-Richtung (\(\leftrightarrow\)) \(f(c \cdot {\color{#E8960C}x})\)  
...in \({\color{#E85A0C}y}\)-Richtung (\(\updownarrow\)) \(c \cdot {\color{#E85A0C}f(x)}\)  
Spiegelung von Funktionen
Multiplikation mit \(-1\)
(\(c = -1\))
...an der \(y\)-Achse (\(\leftrightarrow\)) \(f(-x)\)  
...an der \(x\)-Achse (\(\updownarrow\)) \(-f(x)\)  
...am Koordinatenursprung \(O(0|0)\) \(-f(-x)\)  

Merkhilfe:
Veränderung des Arguments \(x\) \(\Leftrightarrow\) Veränderung des Graphen in \({\color{#E8960C}x}\)-Richtung
Veränderung des Funktionswerts \(f(x)\) \(\Leftrightarrow\) Veränderung des Graphen in \({\color{#E85A0C}y}\)-Richtung (\(y = f(x)\))

Mehrfach transformierte Funktionen

Transformationen lassen sich beliebig zusammensetzen. So entspricht zum Beispiel eine Multiplikation mit \(-2\) wegen \(-2 = -1 \cdot 2\) einer Spiegelung mit anschließender Skalierung. Allgemein gilt: \(g \colon x \mapsto a \cdot f(b(x + c)) + d\) mit \(a, b, c ,d \in \mathbb{R}\).

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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