Funktionen

Zurück zu unserem Beispiel (\(\text{Anzahl Brötchen} \longmapsto \text{Preis}\)):

Eine Funktion ist also eine Beziehung zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge genau ein Element der anderen Menge zuordnet. Mathematiker formulieren das so:

Um die Definition besser zu verstehen, schauen wir uns anhand einiger Abbildungen an,
was eine Funktion und was keine Funktion ist.

Die Erkenntnisse aus den obigen Beispielen lassen sich folgendermaßen zusammenfassen:
Eine Funktion liegt vor, wenn von jedem Element \(x\) der linken Menge (Definitionsmenge) genau ein Pfeil abgeht. Von wie vielen Pfeilen ein Element \(y\) der rechten Menge (Wertemenge) getroffen wird, spielt dagegen für die Definition einer Funktion keine Rolle.

Bezeichnungen und Schreibweisen

Leider verwenden nicht alle Autoren/Lehrer dieselben Begriffe. Es ist deshalb notwendig, dass man die alternativen Bezeichnungen im Hinterkopf behält, um Verwirrungen beim Lesen verschiedener Mathematiktexte oder beim Anschauen von Lernvideos zu vermeiden.

• \(f\): Funktion
• \(x\): Argument, x-Wert, unabhängige Variable
• \(y\): Funktionswert, y-Wert, abhängige Variable
• \(y = f(x)\): Funktionsgleichung, Zuordnungsvorschrift*
            \(\hookrightarrow\) \(f(x)\) spricht man "f von x"
• \(D\) (oder \(\mathbb{D}\)): Definitionsmenge, Definitionsbereich
• \(W\) (oder \(\mathbb{W}\)): Wertemenge, Wertebereich

* Was bei Zuordnungen die Zuordnungsvorschrift ist, bezeichnet man bei Funktionen als Funktionsgleichung. Da aber eine Funktion letztlich eine Zuordnung ist, spricht man auch bei Funktionen manchmal von der Zuordnungsvorschrift.

Bestandteile einer Funktion

Wann sind zwei Funktionen identisch?

Zwei Funktionen sind genau dann identisch, wenn sie in folgenden Teilen übereinstimmen:

• Funktionsgleichung
• Definitionsmenge
• Wertemenge

Demzufolge sind zwei Funktionen mit gleicher Funktionsgleichung, aber verschiedenen Definitionsmengen oder verschiedenen Wertemengen, nicht identisch und können somit unterschiedliche Eigenschaften besitzen.

Beispiel einer Funktion

\(y = 2x, \quad D = \{1,2,3,4\}, \quad W = \{2,4,6,8\}\)

Erklärung

Bei \(y = 2x\) handelt es sich um die Funktionsgleichung der Funktion. Sie gibt an, was man mit einem \(x\)-Wert machen muss, um den dazugehörigen \(y\)-Wert zu erhalten: In diesem Fall muss jeder \(x\)-Wert mit 2 multipliziert werden.

Bei \(D = \{1,2,3,4\}\) handelt sich um die Definitionsmenge der Funktion. Sie gibt an, welche \(x\)-Werte in die Funktion eingesetzt werden dürfen: In diesem Fall darf man die Zahlen 1, 2, 3 und 4 für \(x\) einsetzen.

Bei \(W = \{2,4,6,8\}\) handelt es sich um die Wertemenge der Funktion. Sie gibt an, welche \(y\)-Werte die Funktion annehmen kann.

Zusammenhänge verstehen

Wenn wir nacheinander die Zahlen aus dem Definitionsbereich \(D = \{{\color{red}1},{\color{red}2},{\color{red}3},{\color{red}4}\}\) in die Funktionsgleichung \(y = 2x\) einsetzen, lässt sich Folgendes beobachten:

Gilt \(x ={\color{red}1}\), berechnet sich der zugehörige \(y\)-Wert zu: \(y = 2 \cdot{\color{red}1} ={\color{maroon}2}\).
Gilt \(x ={\color{red}2}\), berechnet sich der zugehörige \(y\)-Wert zu: \(y = 2 \cdot{\color{red}2} ={\color{maroon}4}\).
Gilt \(x ={\color{red}3}\), berechnet sich der zugehörige \(y\)-Wert zu: \(y = 2 \cdot{\color{red}3} ={\color{maroon}6}\).
Gilt \(x ={\color{red}4}\), berechnet sich der zugehörige \(y\)-Wert zu: \(y = 2 \cdot{\color{red}4} ={\color{maroon}8}\).

Setzt man alle Werte aus dem Definitionsbereich \(D = \{{\color{red}1},{\color{red}2},{\color{red}3},{\color{red}4}\}\) in die Funktionsgleichung \(y = 2x\) ein, erhält man die Wertemenge \(W = \{{\color{maroon}2},{\color{maroon}4},{\color{maroon}6},{\color{maroon}8}\}\).

Meistens werden bei einer Funktion weder die Definitionsmenge noch die Wertemenge mit angegeben. Man kann dann davon ausgehen, dass die maximal mögliche Definitionsmenge (siehe Kapitel Definitionsbereich bestimmen) gemeint ist. Sobald die Definitionsmenge bestimmt ist, lässt sich die Wertemenge ganz leicht berechnen (siehe Kapitel Wertebereich bestimmen).