Funktionen

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine Funktion ist.

Warum beschäftigen wir uns überhaupt mit Funktionen?

In der realen Welt begegnen uns häufig Abhängigkeiten zwischen zwei Größen.

Beispiele aus der Geometrie

Die Fläche eines Quadrats ist abhängig von der Seitenlänge des Quadrats.
Die Fläche eines Kreises ist abhängig vom Radius des Kreises.

Beispiele aus der Physik

In elektrischen Stromkreisen ist die Stromstärke abhängig von der angelegten Spannung.
Beim freien Fall sind Fallweg und Fallgeschwindigkeit zeitabhängige Größen.

Um diese Abhängigkeiten besser zu verstehen, müssen wir uns vom konkreten Sachverhalt loslösen und abstrakter formulieren. In diesem Zusammenhang haben wir bereits die sog. Zuordnungen kennengelernt, bei denen man die Abhängigkeit zweier Größen durch einen Pfeil, den Zuordnungspfeil \(\longmapsto\), darstellt.

Beispiel

Wir gehen in eine Metzgerei, um ein paar belegte Brötchen zu kaufen.
Am Eingang hängt eine Preistafel mit folgender Beschriftung:

- 1 belegtes Brötchen kostet 2 Euro
- 2 belegte Brötchen kosten 4 Euro
- 3 belegte Brötchen kosten 6 Euro
- 4 belegte Brötchen kosten 8 Euro

Der Anzahl der Brötchen lässt sich ihr Preis zuordnen:
\(\text{Anzahl Brötchen} \longmapsto \text{Preis}\)

\(1 \longmapsto 2\)
\(2 \longmapsto 4\)
\(3 \longmapsto 6\)
\(4 \longmapsto 8\)

Allgemein kann man sagen:

Eine Zuordnung ordnet einem Wert einen anderen Wert zu.

Erst wenn wir verstanden haben, was eine Zuordnung ist, können wir uns mit Funktionen näher beschäftigen. Grund dafür ist, dass eine Funktion nichts anderes als eine Zuordnung mit bestimmten Eigenschaften ist. Außerdem müssen wir unseren mathematischen Wortschatz um einige Vokabeln erweitern.

Zurück zu unserem Beispiel (\(\text{Anzahl Brötchen} \longmapsto \text{Preis}\)):

Die \(\text{Anzahl Brötchen}\) sowie den \(\text{Preis}\) können wir als Mengen verstehen. (> Mengenlehre)

Die linke Menge besteht aus den Werten von \(\text{Anzahl Brötchen}\). Die rechte Menge gibt die \(\text{Preise}\) wieder.

Wie wir bereits wissen, besteht zwischen den beiden Mengen eine Beziehung. Diese Beziehung lässt sich mit Zuordnungspfeilen verdeutlichen.

Bislang haben wir also nur die Zuordnung
\(1 \longmapsto 2\)
\(2 \longmapsto 4\)
\(3 \longmapsto 6\)
\(4 \longmapsto 8\)
etwas anschaulicher als Mengen dargestellt.

Jetzt lernen wir noch ein paar neue Begriffe:

Die linke Menge nennen wir Definitionsmenge, die rechte Menge Wertemenge.

Die Elemente der linken Menge bezeichnen wir als \(x\)-Werte, die Elemente der rechten Menge als \(y\)-Werte.

Allgemein kann man sagen, dass einem \(x\)-Wert ein \(y\)-Wert zugeordnet ist: \(x \longmapsto y\).

Eine Funktion ist also eine Beziehung zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge genau ein Element der anderen Menge zuordnet. Mathematiker formulieren das so:

Eine Funktion \(f\) ist eine Zuordnung, bei der
jedem Element \(x\) der Definitionsmenge \(D\)
genau ein Element \(y\) der Wertemenge \(W\)
zugeordnet ist.

Kurzschreibweise: \(f\colon\; D \to W\)

Um die Definition besser zu verstehen, schauen wir uns anhand einiger Abbildungen an,
was eine Funktion und was keine Funktion ist.

Beispiel 1

Bei \(f: A \rightarrow B\) handelt es sich um eine Funktion, da jedem Element \(x\) der Menge \(\text{A}\) genau ein Element \(y\) der Menge \(\text{B}\) zugeordnet ist.

Beispiel 2

Bei \(f: A \rightarrow B\) handelt es sich um keine Funktion, da dem Element \(c\) der Menge \(\text{A}\) zwei Elemente (\(g\) und \(h\)) der Menge \(\text{B}\) zugeordnet sind.

Beispiel 3

Bei \(f: A \rightarrow B\) handelt es sich um eine Funktion, da jedem Element \(x\) der Menge \(\text{A}\) genau ein Element \(y\) der Menge \(\text{B}\) zugeordnet ist.

Dass sich einem Element aus der Menge \(\text{B}\) zwei Elemente der Menge \(\text{A}\) zuordnen lassen, spielt keine Rolle. Es handelt sich laut Definition trotzdem um eine Funktion.

Die Erkenntnisse aus den obigen Beispielen lassen sich folgendermaßen zusammenfassen:
Eine Funktion liegt vor, wenn von jedem Element \(x\) der linken Menge (Definitionsmenge) genau ein Pfeil abgeht. Von wie vielen Pfeilen ein Element \(y\) der rechten Menge (Wertemenge) getroffen wird, spielt dagegen für die Definition einer Funktion keine Rolle.

Bezeichnungen und Schreibweisen

Leider verwenden nicht alle Autoren/Lehrer dieselben Begriffe. Es ist deshalb notwendig, dass man die alternativen Bezeichnungen im Hinterkopf behält, um Verwirrungen beim Lesen verschiedener Mathematiktexte oder beim Anschauen von Lernvideos zu vermeiden.

\(f\): Funktion
\(x\): Argument, x-Wert, unabhängige Variable
\(y\): Funktionswert, y-Wert, abhängige Variable
\(y = f(x)\): Funktionsgleichung, Zuordnungsvorschrift*
\(\hookrightarrow\) \(f(x)\) spricht man "f von x"
\(D\) (oder \(\mathbb{D}\)): Definitionsmenge, Definitionsbereich
\(W\) (oder \(\mathbb{W}\)): Wertemenge, Wertebereich

* Was bei Zuordnungen die Zuordnungsvorschrift ist, bezeichnet man bei Funktionen als Funktionsgleichung. Da aber eine Funktion letztlich eine Zuordnung ist, spricht man auch bei Funktionen manchmal von der Zuordnungsvorschrift.

Bestandteile einer Funktion

Eine Funktion besteht aus drei Teilen:

Funktionsgleichung
Definitionsmenge
Wertemenge

Wann sind zwei Funktionen identisch?

Zwei Funktionen sind genau dann identisch, wenn sie in folgenden Teilen übereinstimmen:

Funktionsgleichung
Definitionsmenge
Wertemenge

Demzufolge sind zwei Funktionen mit gleicher Funktionsgleichung, aber verschiedenen Definitionsmengen oder verschiedenen Wertemengen, nicht identisch und können somit unterschiedliche Eigenschaften besitzen.

Beispiel einer Funktion

\(y = 2x, \quad D = \{1,2,3,4\}, \quad W = \{2,4,6,8\}\)

Erklärung

Bei \(y = 2x\) handelt es sich um die Funktionsgleichung der Funktion. Sie gibt an, was man mit einem \(x\)-Wert machen muss, um den dazugehörigen \(y\)-Wert zu erhalten: In diesem Fall muss jeder \(x\)-Wert mit 2 multipliziert werden.

Bei \(D = \{1,2,3,4\}\) handelt sich um die Definitionsmenge der Funktion. Sie gibt an, welche \(x\)-Werte in die Funktion eingesetzt werden dürfen: In diesem Fall darf man die Zahlen 1, 2, 3 und 4 für \(x\) einsetzen.

Bei \(W = \{2,4,6,8\}\) handelt es sich um die Wertemenge der Funktion. Sie gibt an, welche \(y\)-Werte die Funktion annehmen kann.

Zusammenhänge verstehen

Wenn wir nacheinander die Zahlen aus dem Definitionsbereich \(D = \{{\color{red}1},{\color{red}2},{\color{red}3},{\color{red}4}\}\) in die Funktionsgleichung \(y = 2x\) einsetzen, lässt sich Folgendes beobachten:

Gilt \(x ={\color{red}1}\), berechnet sich der zugehörige \(y\)-Wert zu: \(y = 2 \cdot{\color{red}1} ={\color{maroon}2}\).
Gilt \(x ={\color{red}2}\), berechnet sich der zugehörige \(y\)-Wert zu: \(y = 2 \cdot{\color{red}2} ={\color{maroon}4}\).
Gilt \(x ={\color{red}3}\), berechnet sich der zugehörige \(y\)-Wert zu: \(y = 2 \cdot{\color{red}3} ={\color{maroon}6}\).
Gilt \(x ={\color{red}4}\), berechnet sich der zugehörige \(y\)-Wert zu: \(y = 2 \cdot{\color{red}4} ={\color{maroon}8}\).

Setzt man alle Werte aus dem Definitionsbereich \(D = \{{\color{red}1},{\color{red}2},{\color{red}3},{\color{red}4}\}\) in die Funktionsgleichung \(y = 2x\) ein, erhält man die Wertemenge \(W = \{{\color{maroon}2},{\color{maroon}4},{\color{maroon}6},{\color{maroon}8}\}\).

In der linken Abbildung ist der Zusammenhang zwischen der Definitionsmenge und der Wertemenge noch einmal graphisch dargestellt. Die Funktionsgleichung ist dabei das Bindeglied zwischen den beiden Mengen:

\(\underbrace{\text{Definitionsmenge}}_{x\text{-Werte}} \underset{y~=~2x}{\longrightarrow} \underbrace{\text{Wertemenge}}_{y\text{-Werte}}\)

Meistens werden bei einer Funktion weder die Definitionsmenge noch die Wertemenge mit angegeben. Man kann dann davon ausgehen, dass die maximal mögliche Definitionsmenge (siehe Kapitel Definitionsbereich bestimmen) gemeint ist. Sobald die Definitionsmenge bestimmt ist, lässt sich die Wertemenge ganz leicht berechnen (siehe Kapitel Wertebereich bestimmen).

Mehr zum Thema Funktionen

Funktionen haben in der Mathematik eine große Bedeutung. Es verwundert deshalb nicht, dass sie oft Bestandteil von Prüfungen sind. In den folgenden Kapiteln wollen wir etwas tiefer in die Materie eintauchen und unsere Kenntnisse mit Hilfe von Beispielaufgaben erweitern:

Grundlagen
Was sind Funktionen?	\(f: D \rightarrow W\)
Bestandteile einer Funktion
Funktionsgleichung	\(y = f(x)\)
Definitionsmenge	\(D\) oder \(\mathbb{D}\)
Wertemenge	\(W\) oder \(\mathbb{W}\)
Besondere Funktionen
Konstante Funktionen	\(f(x) = c\)
Lineare Funktionen	\(f(x) = mx + n\)
Quadratische Funktionen	\(f(x) = ax^2 + bx + c\)
Gebrochenrationale Funktionen	\(f(x) = \frac{a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_ 0}{b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + \dots + b_1 x + b_ 0}\)