Lineare Funktionen

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was lineare Funktionen sind.

Erforderliches Vorwissen

Bestandteile 

Eine Funktion besteht aus Funktionsgleichung, Definitionsmenge und Wertemenge.

Funktionsgleichung 

Eine Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung

$$ f(x) = mx + n $$

heißt lineare Funktion.

Wegen $y = f(x)$ können wir statt $f(x) = mx + n$ auch $y = mx + n$ schreiben.

Symbolverzeichnis

  • $y$: Abhängige Variable, $y$-Wert, Funktionswert
  • $m$: Steigung
  • $x$: Unabhängige Variable, $x$-Wert, (Funktions-)Argument
  • $n$: $\boldsymbol{y}$-Achsenabschnitt

Charakteristische Eigenschaft

Im Funktionsterm linearer Funktionen kommt $x$ in der 1. Potenz, aber keiner höheren Potenz vor.

BezeichnungAllgemeine FormBeispiel
Konstante Funktionen$f(x) = c$$f(x) = 5$
Lineare Funktionen$f(x) = m{\color{red}x} + b$$f(x) = 2{\color{red}x} + 5$
Quadratische Funktionen$f(x) = a{\color{red}x}^2 + bx + c$$f(x) = 3{\color{red}x}^2 + 2{\color{red}x} + 4$
Kubische Funktionen$f(x) = a{\color{red}x}^3 + b{\color{red}x}^2 + c{\color{red}x} + d $$f(x) = 4{\color{red}x}^3 + 5{\color{red}x}^2 + 3{\color{red}x} + 2$

Beispiel 1 

$$ y = x $$

Beispiel 2 

$$ y = \frac{1}{2}x $$

Beispiel 3 

$$ y = -x + 1 $$

Beispiel 4 

$$ f(x) = 2x + 4 $$

Beispiel 5 

$$ f(x) = -3x + 7 $$

Definitionsmenge 

Die Definitionsmenge $\mathbb{D}_f$ ist die Menge aller $x$-Werte, die in die Funktion $f$ eingesetzt werden dürfen.

In lineare Funktionen dürfen wir grundsätzlich alle reellen Zahlen einsetzen:

$$ \mathbb{D}_f = \mathbb{R} $$

Wertemenge 

Die Wertemenge $\mathbb{W}_f$ ist die Menge aller $y$-Werte, die die Funktion $f$ unter Beachtung ihrer Definitionsmenge $\mathbb{D}_f$ annehmen kann.

Lineare Funktionen können grundsätzlich alle reellen Zahlen annehmen:

$$ \mathbb{W}_f = \mathbb{R} $$

Graph 

Der Graph einer linearen Funktion ist eine steigende oder fallende Gerade.

Beispiel 6 

Die wohl einfachste und bekannteste lineare Funktion ist $y = x$.

Dabei handelt es sich um eine steigende Gerade, die durch den Koordinatenursprung (Nullpunkt) verläuft.

Abb. 1 

Eine Gerade, die durch den Koordinatenursprung verläuft, heißt Ursprungsgerade.

Nicht immer handelt es sich bei dem Graphen einer linearen Funktion um eine Ursprungsgerade:

y-Achsenabschnitt verändern 

Wenn wir den $y$-Achsenabschnitt $n$ in $f(x) = mx + n$ verändern, passiert Folgendes:

  • Gilt $n > 0$, ist die Gerade nach oben verschoben.
  • Gilt $n < 0$, ist die Gerade nach unten verschoben.

Sonderfall: Gilt $n = 0$, verläuft die Gerade durch den Ursprung.

Beispiel 7 

Ist der $\boldsymbol{y}$-Achsenabschnitt positiv ($n > 0$), so ist die Gerade vom Nullpunkt aus betrachtet nach oben verschoben.

In der Abbildung gilt: $n = 2$.

Abb. 2 

Beispiel 8 

Ist der $\boldsymbol{y}$-Achsenabschnitt negativ ($n < 0$), so ist die Gerade vom Nullpunkt aus betrachtet nach unten verschoben.

In der Abbildung gilt: $n = -3$.

Abb. 3 

Beispiel 9 

Gilt für den $y$-Achsenabschnitt $n = 0$, verläuft die Gerade durch den Koordinatenursprung.

Nur dann ist die Gerade eine Ursprungsgerade!

Abb. 4 

Steigung verändern 

Wenn wir die Steigung $m$ in $f(x) = mx + n$ verändern, passiert Folgendes:

  • Gilt $m > 0$, steigt die Gerade.
  • Gilt $m < 0$, fällt die Gerade.

Sonderfall: Gilt $m = 0$, ist die Gerade waagrecht*.

Beispiel 10 

Ist die Steigung positiv ($m > 0$), steigt die Gerade.

Hier gilt: $m = 1$.

Abb. 5 

Beispiel 11 

Ist die Steigung negativ ($m < 0$), fällt die Gerade.

Hier gilt: $m = -1$.

Abb. 6 

* Eine waagrechte Gerade ist der Graph einer konstanten Funktion.

Beispiel 12 

Gilt für die Steigung $m = 0$, verläuft die Gerade waagrecht.

In der Abbildung sind folgende drei waagrechte Geraden eingezeichnet:

$$ y = \phantom{-}3 \qquad \Rightarrow \quad n = \phantom{-}3 $$

$$ y = \phantom{-}0 \qquad \Rightarrow \quad n = \phantom{-}0 $$

$$ y = -2 \qquad \Rightarrow \quad n = -2 $$

Abb. 7 

Ausnahme: Senkrechte Gerade 

Eine senkrechte Gerade ist keine Funktion!

Eine Funktion liegt nämlich nur dann vor, wenn jedem $x \in \mathbb{D}$ genau ein $y \in \mathbb{W}$ zugeordnet ist (vgl. Definition einer Funktion).

In der Abbildung sind einem $x$-Wert (z. B. $x = -3$) unendlich viele $y$-Werte zugeordnet.

Abb. 8 

Ausblick 

Im Zusammenhang mit linearen Funktionen gibt es bestimmte Fragestellungen, die in Prüfungen häufig abgefragt werden. Es lohnt sich daher, die folgenden Kapitel nacheinander durchzulesen:

Untersuchung einer Funktion
Lineare Funktionen zeichnen
Punktprobe
$y$-Achsenabschnitt einer linearen Funktion berechnen
Nullstelle einer linearen Funktion berechnen
Steigung einer linearen Funktion berechnen
- Steigungsdreieck
- Steigungsformel
- Steigungswinkel
Funktionsgleichung einer linearen Funktion bestimmen
Untersuchung zweier Funktionen
Lage zweier Geraden bestimmen
- Schnittpunkt zweier Geraden berechnen
- Schnittwinkel zweier Geraden berechnen
Umkehrfunktion
Umkehrfunktion bilden

Noch Fragen? Logo von Easy-Tutor hilft!

Probestunde sichern