Über 80 € Preisvorteil gegenüber Einzelkauf!
Mathe-eBooks im Sparpaket
Von Schülern, Studenten, Eltern und
Lehrern mit 4,86/5 Sternen bewertet.
47 PDF-Dateien mit über 5000 Seiten
inkl. 1 Jahr Updates für nur 29,99 €.
Ab dem 2. Jahr nur 14,99 €/Jahr.
Kündigung jederzeit mit wenigen Klicks.
Jetzt Mathebibel herunterladen

Lineare Funktionen

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was lineare Funktionen sind.

Erforderliches Vorwissen

Bestandteile 

Eine Funktion besteht aus Funktionsgleichung, Definitionsmenge und Wertemenge.

Funktionsgleichung 

Eine Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung

$$ f(x) = mx + n $$

heißt lineare Funktion.

Wegen $y = f(x)$ können wir statt $f(x) = mx + n$ auch $y = mx + n$ schreiben.

Symbolverzeichnis

  • $y$: Abhängige Variable, $y$-Wert, Funktionswert
  • $m$: Steigung
  • $x$: Unabhängige Variable, $x$-Wert, (Funktions-)Argument
  • $n$: $\boldsymbol{y}$-Achsenabschnitt

Charakteristische Eigenschaft

Im Funktionsterm linearer Funktionen kommt $x$ in der 1. Potenz, aber keiner höheren Potenz vor.

BezeichnungAllgemeine FormBeispiel
Konstante Funktionen$f(x) = c$$f(x) = 5$
Lineare Funktionen$f(x) = m{\color{red}x} + b$$f(x) = 2{\color{red}x} + 5$
Quadratische Funktionen$f(x) = a{\color{red}x}^2 + bx + c$$f(x) = 3{\color{red}x}^2 + 2{\color{red}x} + 4$
Kubische Funktionen$f(x) = a{\color{red}x}^3 + b{\color{red}x}^2 + c{\color{red}x} + d $$f(x) = 4{\color{red}x}^3 + 5{\color{red}x}^2 + 3{\color{red}x} + 2$

Beispiel 1 

$$ y = x $$

Beispiel 2 

$$ y = \frac{1}{2}x $$

Beispiel 3 

$$ y = -x + 1 $$

Beispiel 4 

$$ f(x) = 2x + 4 $$

Beispiel 5 

$$ f(x) = -3x + 7 $$

Definitionsmenge 

Die Definitionsmenge $\mathbb{D}_f$ ist die Menge aller $x$-Werte, die in die Funktion $f$ eingesetzt werden dürfen.

In lineare Funktionen dürfen wir grundsätzlich alle reellen Zahlen einsetzen:

$$ \mathbb{D}_f = \mathbb{R} $$

Wertemenge 

Die Wertemenge $\mathbb{W}_f$ ist die Menge aller $y$-Werte, die die Funktion $f$ unter Beachtung ihrer Definitionsmenge $\mathbb{D}_f$ annehmen kann.

Lineare Funktionen können grundsätzlich alle reellen Zahlen annehmen:

$$ \mathbb{W}_f = \mathbb{R} $$

Graph 

Der Graph einer linearen Funktion ist eine steigende oder fallende Gerade.

Beispiel 6 

Die wohl einfachste und bekannteste lineare Funktion ist $y = x$.

Dabei handelt es sich um eine steigende Gerade, die durch den Koordinatenursprung (Nullpunkt) verläuft.

Abb. 1 

Eine Gerade, die durch den Koordinatenursprung verläuft, heißt Ursprungsgerade.

Nicht immer handelt es sich bei dem Graphen einer linearen Funktion um eine Ursprungsgerade:

y-Achsenabschnitt verändern 

Wenn wir den $y$-Achsenabschnitt $n$ in $f(x) = mx + n$ verändern, passiert Folgendes:

  • Gilt $n > 0$, ist die Gerade nach oben verschoben.
  • Gilt $n < 0$, ist die Gerade nach unten verschoben.

Sonderfall: Gilt $n = 0$, verläuft die Gerade durch den Ursprung.

Beispiel 7 

Ist der $\boldsymbol{y}$-Achsenabschnitt positiv ($n > 0$), so ist die Gerade vom Nullpunkt aus betrachtet nach oben verschoben.

In der Abbildung gilt: $n = 2$.

Abb. 2 

Beispiel 8 

Ist der $\boldsymbol{y}$-Achsenabschnitt negativ ($n < 0$), so ist die Gerade vom Nullpunkt aus betrachtet nach unten verschoben.

In der Abbildung gilt: $n = -3$.

Abb. 3 

Beispiel 9 

Gilt für den $y$-Achsenabschnitt $n = 0$, verläuft die Gerade durch den Koordinatenursprung.

Nur dann ist die Gerade eine Ursprungsgerade!

Abb. 4 

Steigung verändern 

Wenn wir die Steigung $m$ in $f(x) = mx + n$ verändern, passiert Folgendes:

  • Gilt $m > 0$, steigt die Gerade.
  • Gilt $m < 0$, fällt die Gerade.

Sonderfall: Gilt $m = 0$, ist die Gerade waagrecht*.

Beispiel 10 

Ist die Steigung positiv ($m > 0$), steigt die Gerade.

Hier gilt: $m = 1$.

Abb. 5 

Beispiel 11 

Ist die Steigung negativ ($m < 0$), fällt die Gerade.

Hier gilt: $m = -1$.

Abb. 6 

* Eine waagrechte Gerade ist der Graph einer konstanten Funktion.

Beispiel 12 

Gilt für die Steigung $m = 0$, verläuft die Gerade waagrecht.

In der Abbildung sind folgende drei waagrechte Geraden eingezeichnet:

$$ y = \phantom{-}3 \qquad \Rightarrow \quad n = \phantom{-}3 $$

$$ y = \phantom{-}0 \qquad \Rightarrow \quad n = \phantom{-}0 $$

$$ y = -2 \qquad \Rightarrow \quad n = -2 $$

Abb. 7 

Ausnahme: Senkrechte Gerade 

Eine senkrechte Gerade ist keine Funktion!

Eine Funktion liegt nämlich nur dann vor, wenn jedem $x \in \mathbb{D}$ genau ein $y \in \mathbb{W}$ zugeordnet ist (vgl. Definition einer Funktion).

In der Abbildung sind einem $x$-Wert (z. B. $x = -3$) unendlich viele $y$-Werte zugeordnet.

Abb. 8 

Ausblick 

Im Zusammenhang mit linearen Funktionen gibt es bestimmte Fragestellungen, die in Prüfungen häufig abgefragt werden. Es lohnt sich daher, die folgenden Kapitel nacheinander durchzulesen:

Untersuchung einer Funktion
Lineare Funktionen zeichnen
Punktprobe
$y$-Achsenabschnitt einer linearen Funktion berechnen
Nullstelle einer linearen Funktion berechnen
Steigung einer linearen Funktion berechnen
- Steigungsdreieck
- Steigungsformel
- Steigungswinkel
Funktionsgleichung einer linearen Funktion bestimmen
Untersuchung zweier Funktionen
Lage zweier Geraden bestimmen
- Schnittpunkt zweier Geraden berechnen
- Schnittwinkel zweier Geraden berechnen
Umkehrfunktion
Umkehrfunktion bilden

Noch Fragen? Logo von Easy-Tutor hilft!

Probestunde sichern