Umkehrfunktion bilden (Lineare Funktionen)
In diesem Kapitel lernen wir, die Umkehrfunktion einer linearen Funktion zu bilden.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Funktion?
- Was ist eine Umkehrfunktion?
- Lineare Funktionen
Einordnung
Bislang haben wir immer aus dem $x$-Wert (Argument) einen $y$-Wert (Funktionswert) berechnet.
Du bist im Urlaub in den USA und willst Euro (€) in US-Dollar ($) umtauschen.
Der Wechselkurs lässt sich durch folgende Funktion darstellen:
$$ f\colon\; \text{Euro } x \longmapsto \text{US-Dollar } y $$
Die Funktion $f$ ordnet jedem Euro-Betrag $x$ einen Betrag $y$ in Dollar zu.
In einigen Fällen ist es aber genau andersherum:
Gegeben ist der Funktionswert $y$ einer Funktion. Gesucht ist der dazugehörige $x$-Wert.
Beim Shopping in New York entdeckst du ein schönes Smartphone. Du fragst dich, welchem Euro-Betrag der angegebene Preis entspricht.
Der Wechselkurs lässt sich durch folgende Funktion darstellen:
$$ f^{-1}\colon\; \text{US-Dollar } y \longmapsto \text{Euro } x $$
Die Funktion $f^{-1}$ ordnet jedem Dollar-Betrag $y$ einen Betrag $x$ in Euro zu.
$f^{-1}$ heißt Umkehrfunktion von $f$.
Anleitung
Funktionsgleichung nach $\boldsymbol{x}$ auflösen
$\boldsymbol{x}$ und $\boldsymbol{y}$ vertauschen
Beispiel
Bilde die Umkehrfunktion von $f\colon\; y = 2x + 1$.
Funktionsgleichung nach $\boldsymbol{x}$ auflösen
$$ \begin{align*} y &= 2x + 1 &&{\color{gray}|\, -1} \\[5px] y - 1 &= 2x &&{\color{gray}|\, :2} \\[5px] \frac{1}{2}y - \frac{1}{2} &= x &&{\color{gray}| \text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] x &= \frac{1}{2}y - \frac{1}{2} \end{align*} $$
$\boldsymbol{x}$ und $\boldsymbol{y}$ vertauschen
$$ y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} $$
Die Umkehrfunktion der Funktion $f\colon\; y = 2x + 1$ ist $f^{-1}\colon\; y = 0{,}5x - 0{,}5$.
Graphische Darstellung
Um die Graphen von $f$ und $f^{-1}$ ordentlich zu zeichnen, fertigen wir zwei Wertetabellen an.
$$ \phantom{^{-1}}f\colon\; \begin{array}{r|c|c|c|c|c} x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline y & -3 & -1 & 1 & 3 & 5 \end{array} $$
Die Wertetabelle von $f^{-1}$ erhält man durch Vertauschen der Zeilen der Wertetabelle von $f$.
$$ f^{-1}\colon\; \begin{array}{r|c|c|c|c|c} x & -3 & -1 & 1 & 3 & 5 \\ \hline y & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \end{array} $$
