Grenzwert

In diesem Kapitel besprechen wir, was man unter dem Begriff „Grenzwert“ versteht.

Im Rahmen einer Kurvendiskussion möchte man möglichst viele Informationen über eine Funktion und deren Graphen erhalten. Eine dieser Informationen liefert der Grenzwert:

Wie verhalten sich die \(y\)-Werte,
wenn die \(x\)-Werte in eine bestimmte Richtung gehen?

Dabei lassen sich folgende Fälle unterscheiden:

  1. Die \(x\)-Werte gehen gegen unendlich
  2. Die \(x\)-Werte gehen gegen eine endliche Stelle \(x_0\)

1. Grenzwert im Unendlichen

Um dieses Thema zu veranschaulichen, betrachten wir den Graph einer Normalparabel.


Im Koordinatensystem ist der Graph der Funktion \(f(x)=x^2\) eingezeichnet.

So schön die obige Abbildung auch sein mag, es zeigt sich folgendes Problem: Wir können immer nur einen bestimmten Ausschnitt der Funktion darstellen, also nie die ganze Funktion, unabhängig davon, wie groß wir das Koordinatensystem zeichnen. Es bleibt letztlich die Frage: Wie sieht der Graph der Funktion außerhalb des Koordinatensystems aus? Was passiert also, wenn wir unendlich große oder unendlich kleine Werte für \(x\) in die Funktion einsetzen?
Eine Antwort auf diese Fragen liefert uns der Grenzwert.

\({\fcolorbox{green}{}{\(x \to +\infty\)}}\)

Wie verhalten sich die \(y\)-Werte,
wenn die \(x\)-Werte immer größer werden?

Die obige Frage lässt sich mathematisch ganz einfach formulieren:

\[\lim_{x\to +\infty} x^2\]

[sprich: Limes von \(x^2\) für \(x\) gegen \(+\infty\) (plus unendlich)]

Dabei bedeutet "Limes" nichts anderes als Grenzwert.

Um zu untersuchen, wie sich die \(y\)-Werte verhalten, wenn die \(x\)-Werte immer größer werden, stellen wir folgende Wertetabelle auf

\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}
x & 1 & 10 & 100 & 1.000 & 10.000 & \cdots \\ \hline
f(x) & 1 & 100 & 10.000 & 1.000.000 & 100.000.000 & \cdots
\end{array}

Wenn wir für \(x\) den Wert 10 einsetzen, erhalten wir einen Funktionswert von 100. Setzt man 10.000 ein, erhält man einen Funktionswert von 100.000.00. Wir können uns vorstellen, was passiert, wenn wir noch größere Werte einsetzen: Die Funktionswerte werden unendlich groß.

Mathematisch formuliert bedeutet das:

\[\lim_{x\to +\infty} x^2 = +\infty\]

Der Limes von \(x^2\) für \(x\) gegen \(+\infty\) ist \(+\infty\).

Damit haben wir unseren ersten Grenzwert berechnet! War doch gar nicht so schwer oder?

Eine Frage bleibt allerdings noch...

\({\fcolorbox{red}{}{\(x \to -\infty\)}}\)

Wie verhalten sich die \(y\)-Werte,
wenn die \(x\)-Werte immer kleiner werden?

Die obige Frage lässt sich mathematisch ganz einfach formulieren:

\[\lim_{x\to -\infty} x^2\]

[sprich: Limes von \(x^2\) für \(x\) gegen \(-\infty\) (minus unendlich)]

Dabei bedeutet "Limes" nichts anderes als Grenzwert.

Um zu untersuchen, wie sich die \(y\)-Werte verhalten, wenn die \(x\)-Werte immer kleiner werden, stellen wir folgende Wertetabelle auf

\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}
x & -1 & -10 & -100 & -1.000 & -10.000 & \cdots \\ \hline
f(x) & 1 & 100 & 10.000 & 1.000.000 & 100.000.000 & \cdots
\end{array}

Wenn wir für \(x\) den Wert -10 einsetzen, erhalten wir einen Funktionswert von 100. Setzt man -10.000 ein, erhält man einen Funktionswert von 100.000.00. Wir können uns vorstellen, was passiert, wenn wir noch kleinere Werte einsetzen: Die Funktionswerte werden unendlich groß.

Mathematisch formuliert bedeutet das:

\[\lim_{x\to -\infty} x^2 = +\infty\]

Der Limes von \(x^2\) für \(x\) gegen \(-\infty\) ist \(+\infty\).

Im Folgenden schauen wir uns zu diesem Thema noch weitere Beispiele an.

Beispiel 1

Untersuche das Verhalten der Funktion \(f(x) = x^3\) im Unendlichen.

Hinweis: Immer wenn nach dem "Verhalten im Unendlichen" gefragt ist,
musst du zwei Grenzwerte berechnen: Einmal \(x\to +\infty\) und einmal \(x\to -\infty\).

Gesucht sind demnach die beiden Grenzwerte

\[\lim_{x\to +\infty} x^3 =~?\]

\[\lim_{x\to -\infty} x^3 =~?\]

Rechnerisch lösen wir die Aufgabe wieder mit Hilfe von Wertetabellen.

\({\fcolorbox{green}{}{\(x \to +\infty\)}}\)

Wenn die \(x\)-Werte immer größer werden,

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
x & 1 & 10 & 100 & 1.000 & \cdots \\ \hline
f(x) & 1 & 1.000 & 1.000.000 & 1.000.000.000 & \cdots
\end{array}\)

werden auch die \(y\)-Werte immer größer, d. h.

\[\lim_{x\to +\infty} x^3 = +\infty\]

Für \(x\) gegen \(+\infty\) strebt der Graph der Funktion gegen \(+\infty\).

\({\fcolorbox{red}{}{\(x \to -\infty\)}}\)

Wenn die \(x\)-Werte immer kleiner werden,

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
x & -1 & -10 & -100 & -1.000 & \cdots \\ \hline
f(x) & -1 & -1.000 & -1.000.000 & -1.000.000.000 & \cdots
\end{array}\)

werden auch die \(y\)-Werte immer kleiner, d. h.

\[\lim_{x\to -\infty} x^3 = -\infty\]

Für \(x\) gegen \(-\infty\) strebt der Graph der Funktion gegen \(-\infty\).


Im Koordinatensystem ist der Graph der Funktion \(f(x)=x^3\) eingezeichnet.

Beispiel 2

Untersuche das Verhalten der Funktion \(f(x) = \frac{x+2}{x}\) im Unendlichen.

Hinweis: Immer wenn nach dem "Verhalten im Unendlichen" gefragt ist,
musst du zwei Grenzwerte berechnen: Einmal \(x\to +\infty\) und einmal \(x\to -\infty\).

Gesucht sind demnach die beiden Grenzwerte

\[\lim_{x\to +\infty} \frac{x+2}{x} =~?\]

\[\lim_{x\to -\infty} \frac{x+2}{x} =~?\]

\({\fcolorbox{green}{}{\(x \to +\infty\)}}\)

Wenn die \(x\)-Werte immer größer werden,

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
x & 1 & 10 & 100 & 1.000 & 10.000 \\ \hline
f(x) & 3 & 1,2 & 1,02 & 1,002 & 1,0002
\end{array}\)

nähern sich die \(y\)-Werte der 1 an, d. h.

\[\lim_{x\to +\infty} \frac{x+2}{x} = 1\]

Für \(x\) gegen \(+\infty\) strebt der Graph der Funktion gegen 1.

\({\fcolorbox{red}{}{\(x \to -\infty\)}}\)

Wenn die \(x\)-Werte immer kleiner werden,

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
x & -1 & -10 & -100 & -1.000 & -10.000 \\ \hline
f(x) & -1 & 0,8 & 0,98 & 0,998 & 0,9998
\end{array}\)

nähern sich die \(y\)-Werte der 1 an, d. h.

\[\lim_{x\to -\infty} \frac{x+2}{x} = 1\]

Für \(x\) gegen \(-\infty\) strebt der Graph der Funktion gegen 1.


Im Koordinatensystem ist der Graph der Funktion \(f(x)= \frac{x+2}{x}\) eingezeichnet.

2. Grenzwert an einer endlichen Stelle

Bislang haben wir nur besprochen, wie man mit Hilfe einer Grenzwertberechnung das Verhalten einer Funktion im Unendlichen untersucht. Manchmal interessiert man sich aber dafür, wie sich eine Funktion bei der Annäherung an eine endliche Stelle \(x_0\) verhält.

Statt \(x \to \infty\) geht es hierbei um die Frage: \(x \to x_0\). Dabei ist \(x_0\) eine reelle Zahl.

Der Grenzwert \(\lim\limits_{x \to x_0} f(x)\) existiert genau dann, wenn der links-
und der rechtsseitige Grenzwert existieren und beide gleich sind.

Im Folgenden schauen wir uns an, was der links- und der rechtsseitige Grenzwert bedeuten.

a) Linksseitiger Grenzwert

Der linksseitige Grenzwert gibt eine Antwort auf die Frage:

\({\fcolorbox{red}{}{\(x \to x_{0}^{-}\)}}\)

Wie verhalten sich die \(y\)-Werte,
wenn sich die \(x\)-Werte der Stelle \(x_0\) von links nähern?

Das Minuszeichen neben \(x_0\) deutet an, dass man sich von links annähert. Das leuchtet ein, wenn man sich vor Augen führt, dass die negativen Zahlen links auf dem Zahlenstrahl stehen.


In der Abbildung lässt sich leicht erkennen, dass die \(y\)-Werte der Funktion \(f(x) = \frac{1}{x}\) bei einer linksseitigen Annäherung an die Stelle \(x_0 = 0\) (rote Linie!) gegen \(-\infty\) streben.

Folglich gilt:
\(\lim\limits_{x \to 0^{-}} f(x) = -\infty\)

b) Rechtsseitiger Grenzwert

Der rechtsseitige Grenzwert gibt eine Antwort auf die Frage:

\({\fcolorbox{green}{}{\(x \to x_{0}^{+}\)}}\)

Wie verhalten sich die \(y\)-Werte,
wenn sich die \(x\)-Werte der Stelle \(x_0\) von rechts nähern?

Das Pluszeichen neben \(x_0\) deutet an, dass man sich von rechts annähert. Das leuchtet ein, wenn man sich vor Augen führt, dass die positiven Zahlen rechts auf dem Zahlenstrahl stehen.


In der Abbildung lässt sich leicht erkennen, dass die \(y\)-Werte der Funktion \(f(x) = \frac{1}{x}\) bei einer rechtsseitigen Annäherung an die Stelle \(x_0 = 0\) (grüne Linie!) gegen \(+\infty\) streben.

Folglich gilt:
\(\lim\limits_{x \to 0^{+}} f(x) = +\infty\)

c) Beidseitiger Grenzwert

Der (beidseitige) Grenzwert \(\lim\limits_{x \to x_0} f(x)\) existiert nur, wenn gilt:

\[\underbrace{\lim_{x \to x_{0}^{-}}f(x)}_{\text{Linksseitiger Grenzwert}} = \underbrace{\lim_{x \to x_{0}^{+}}f(x)}_{\text{Rechtsseitiger Grenzwert}}\]


Da der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert der Funktion \(f(x) = \frac{1}{x}\) an der Stelle \(x_0 = 0\) unterschiedlich sind, existiert der (beidseitige) Grenzwert \(\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{x}\) nicht.

Wie das folgende Beispiel zeigt, setzen wir auch bei \(x \to x_0\) Wertetabellen ein.

Beispiel

Prüfe, ob die Funktion \(f(x) = \frac{1}{x^2}\) an der Stelle \(x_0 = 0\) einen Grenzwert besitzt.

Hinweis: Dass die Funktion \(f(x)\) an der Stelle \(x_0 = 0\) eine Definitionslücke besitzt, spielt hier keine Rolle. Wie wir gleich sehen werden, kann trotzdem ein Grenzwert existieren.

Zunächst versuchen wir, die folgenden beiden Grenzwerte zu berechnen:

\[\lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x^2} =~?\]

\[\lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x^2} =~?\]

\({\fcolorbox{red}{}{\(x \to 0^{-}\)}}\)

Wenn sich die \(x\)-Werte von links der Stelle \(x_0= 0\) nähern,

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
x & -1 & -0,5 & -0,1 & -0,01 & \cdots \\ \hline
f(x) & 1 & 4 & 100 & 10.000 & \cdots
\end{array}\)

werden die \(y\)-Werte immer größer, d. h.

\[\lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x^2} = +\infty\]

Für \(x\) gegen \(0^{-}\) strebt die Funktion gegen \(+\infty\).

\({\fcolorbox{green}{}{\(x \to 0^{+}\)}}\)

Wenn sich die \(x\)-Werte von rechts der Stelle \(x_0 = 0\) nähern,

\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
x & 1 & 0,5 & 0,1 & 0,01& \cdots \\ \hline
f(x) & 1 & 4 & 100 & 10.000 & \cdots
\end{array}\)

werden die \(y\)-Werte immer größer, d. h.

\[\lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x^2} = +\infty\]

Für \(x\) gegen \(0^{+}\) strebt die Funktion gegen \(+\infty\).


Da der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert der Funktion \(f(x) = \frac{1}{x^2}\) an der Stelle \(x_0 = 0\) gleich sind, existiert der (beidseitige) Grenzwert: \(\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = +\infty\)

Wenn die zu untersuchende Funktion stetig ist, vereinfacht sich die Berechnung.

Für stetige Funktion gilt

\[\lim_{x \to {\color{red}{x_0}}} f(x) = f({\color{red}{x_0}})\]

Der Grenzwert einer stetigen Funktion an der Stelle \(x_0\),
entspricht dem Funktionswert an dieser Stelle.

Voraussetzung: \(x_0\) gehört zur Definitionsmenge der Funktion!

Beispiel 1

Gegeben ist die stetige Funktion \(f(x) = x^2\) mit \(\mathbb{D}_f = \mathbb{R}\).
Berechne den Grenzwert an der Stelle \(x_0 = 2\).

Lösung

Wir erhalten den Grenzwert, indem wir \(x = 2\) in die Funktion einsetzen.

\[\lim_{x \to {\color{red}{2}}} x^2 = f({\color{red}{2}}) = {\color{red}{2}}^2 = 4\]

Der Grenzwert der Funktion \(f(x) = x^2\) an der Stelle \(x_0 = 2\) ist 4.

Beispiel 2

Gegeben ist die stetige Funktion \(f(x) = \frac{x-2}{x}\) mit \(\mathbb{D}_f = \mathbb{R}\backslash\{0\}\).
Berechne den Grenzwert an der Stelle \(x_0 = 5\).

Lösung

Wir erhalten den Grenzwert, indem wir \(x = 5\) in die Funktion einsetzen.

\[\lim_{x \to {\color{red}{5}}} \frac{x-2}{x} = f({\color{red}{5}}) = \frac{{\color{red}{5}}-2}{{\color{red}{5}}} = \frac{3}{5} = 0,6\]

Der Grenzwert der Funktion \(f(x) = \frac{x-2}{x}\) an der Stelle \(x = 5\) ist 0,6.

Zusammenfassung zum Grenzwert

Der Grenzwert ist eine wichtige Kennzahl im Rahmen einer Kurvendiskussion.

Rechnerisch bestimmt man Grenzwerte meist mit Hilfe von Wertetabellen.

Der Grenzwert im Unendlichen (\(x \to \infty\)) verrät, wie sich die \(y\)-Werte verhalten, wenn die \(x\)-Werte immer größer (\(x \to +\infty\)) oder immer kleiner (\(x \to -\infty\)) werden.

Der Grenzwert an einer endlichen Stelle (\(x \to x_0\)) verrät, wie sich die \(y\)-Werte verhalten, wenn sich die \(x\)-Werte der Stelle \(x_0\) annähern. Der (beidseitige) Grenzwert existiert nur, wenn der linksseitige Grenzwert (\(x \to x_{0}^{-}\)) und der rechtsseitige Grenzwert (\(x \to x_{0}^{+}\)) gleich sind.

Bei stetigen Funktionen kann man sich die Berechnung des links- und rechtsseitigen Grenzwerts sparen: Der Grenzwert \(x \to x_{0}\) entspricht dem Funktionswert \(f(x_0)\).

Grenzwertberechnung von A bis Z

Im Zusammenhang mit der Berechnung von Grenzwerten gibt es einige Kenntnisse, die man sich aneignen sollte. Diese werden in den folgenden Kapiteln ausführlich erläutert.

Grenzwerte <- Grundlagen
Rechenregeln für Grenzwerte  
Grenzwert einer Potenzfunktion \[\lim_{x\to\infty} x^n\]
Grenzwert einer Exponentialfunktion \[\lim_{x\to\infty} a^x\]
Grenzwert einer gebrochenrationalen Funktion \[\lim_{x \to \infty} \frac{a_n x^n + \dots + a_1 x + a_ 0}{b_m x^m + \dots + b_1 x + b_ 0}\]
Regel von l'Hospital \[\lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{0}{0} \quad \text{oder } \frac{\infty}{\infty}\]
Anwendungen  
Stetigkeit einer Funktion \[\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\]

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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