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Grenzwert einer Potenzfunktion

In diesem Kapitel lernen wir, wie man den Grenzwert einer Potenzfunktion berechnet.

Bevor du dich mit diesem Thema beschäftigst, solltest du den folgenden Artikel durchlesen

Wenn du das Verhalten einer Potenzfunktion im Unendlichen erklären sollst, musst du die beiden Grenzwerte

\[\lim_{x \to +\infty} x^n \qquad \text{und} \qquad \lim_{x \to -\infty} x^n\]

berechnen.

Dazu kannst du entweder jeweils eine Wertetabelle anlegen oder aber dir den Grenzwert mit Hilfe der untenstehenden Kenntnisse erschließen.

\[\begin{equation*}
\lim_{x\to\fcolorbox{Red}{}{\(+\infty\)}} x^n =
\begin{cases}
+\infty & \text{für \(n > 0\)} \\
1 & \text{für \(n = 0\)} \\
0 & \text{für \(n < 0\)}
\end{cases}
\end{equation*}\]

Beispiel 1

\[\lim_{x\to+\infty} x^2 = +\infty \qquad \text{wegen } 2 > 0\]

\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
x & 1 & 10 & 100 & 1.000 & 10.000 \\ \hline
f(x) & 1 & 100 & 1.000 & 1.000.000 & 100.000.000
\end{array}

Beispiel 2

\[\lim_{x\to+\infty} x^3 = +\infty \qquad \text{wegen } 3 > 0\]

\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
x & 1 & 10 & 100 & 1.000 & 10.000 \\ \hline
f(x) & 1 & 1.000 & 1.000.000 & 1.000.000.000 & 1.000.000.000.000
\end{array}

Beispiel 3

\[\lim_{x\to+\infty} \frac{1}{x^2} = \lim_{x\to+\infty} x^{-2} = 0 \qquad \text{wegen } -2 < 0\]

\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
x & 1 & 10 & 100 & 1.000 & 10.000 \\ \hline
f(x) & 1 & 0,01 & 0,0001 & 0,000001 & 0,00000001
\end{array}

\[\begin{equation*}
\lim_{x\to\fcolorbox{Red}{}{\(-\infty\)}} x^n =
\begin{cases}
+\infty & \text{für \(n > 0\) und \(n\) ist gerade} \\
-\infty & \text{für \(n > 0\) und \(n\) ist ungerade} \\
1 & \text{für \(n = 0\)} \\
0 & \text{für \(n < 0\)}
\end{cases}
\end{equation*}\]

Beispiel 1

\[\lim_{x\to-\infty} x^2 = +\infty \qquad \text{wegen } 2 > 0 \text{ und gerade}\]

\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
x & -1 & -10 & -100 & -1.000 & -10.000 \\ \hline
f(x) & 1 & 100 & 1.000 & 1.000.000 & 100.000.000
\end{array}

Beispiel 2

\[\lim_{x\to-\infty} x^3 = -\infty \qquad \text{wegen } 3 > 0 \text{ und ungerade}\]

\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
x & -1 & -10 & -100 & -1.000 & -10.000 \\ \hline
f(x) & -1 & -1.000 & -1.000.000 & -1.000.000.000 & -1.000.000.000.000
\end{array}

Beispiel 3

\[\lim_{x\to-\infty} \frac{1}{x^2} = \lim_{x\to-\infty} x^{-2} = 0 \qquad \text{wegen } -2 < 0\]

\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
x & -1 & -10 & -100 & -1.000 & -10.000 \\ \hline
f(x) & 1 & 0,01 & 0,0001 & 0,000001 & 0,00000001
\end{array}

Grenzwertberechnung von A bis Z

Im Zusammenhang mit der Berechnung von Grenzwerten gibt es einige Kenntnisse, die man sich aneignen sollte. Diese werden in den folgenden Kapiteln ausführlich erläutert.

Grenzwerte <- Grundlagen
Rechenregeln für Grenzwerte  
Grenzwert einer Potenzfunktion \[\lim_{x\to\infty} x^n\]
Grenzwert einer Exponentialfunktion \[\lim_{x\to\infty} a^x\]
Grenzwert einer gebrochenrationalen Funktion \[\lim_{x \to \infty} \frac{a_n x^n + \dots + a_1 x + a_ 0}{b_m x^m + \dots + b_1 x + b_ 0}\]
Regel von l'Hospital \[\lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{0}{0} \quad \text{oder } \frac{\infty}{\infty}\]
Anwendungen  
Stetigkeit einer Funktion \[\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\]

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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