Stetigkeit von Funktionen
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was es mit der Stetigkeit von Funktionen auf sich hat.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist ein Grenzwert?
Definition
Eine Funktion $f(x)$ ist an einer Stelle $x_0$ stetig, wenn
$$ \qquad [1] \quad f(x_0) \text{ definiert ist} $$
$$ \qquad [2] \quad \lim_{x \to x_0} f(x) \text{ existiert} $$
$$ \qquad [3] \quad \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) $$
zu [1]
Wenn $f$ in $x_0$ nicht definiert ist, so ist es sinnlos zu fragen, ob $f$ in $x_0$ stetig ist.
$f(x) = \frac{1}{x}$ ist in $x_0 = 0$ weder stetig noch unstetig, sondern einfach nicht definiert.
Eine Funktion, die an jeder Stelle ihrer Definitionsmenge stetig ist, heißt stetige Funktion.
Beispiele
In der folgenden Tabelle sind die wichtigsten stetigen Funktionen zusammengefasst.
| Stetige Funktion | Beispiel |
|---|---|
| Rationale Funktionen* | $f(x) = a_n x^n + \ldots + a_1x + a_0$für $\mathbb{D} = \mathbb{R}$ |
| Wurzelfunktionen | $f(x) = \sqrt[n]{x^m}$für $\mathbb{D} = \mathbb{R}^{+}_{0}$ |
| Trigonometrische Funktionen (und ihre Umkehrfunktionen) | $f(x) = \sin(x)$für $\mathbb{D} = \mathbb{R}$ |
| Exponentialfunktionen | $f(x) = a^x$für $\mathbb{D} = \mathbb{R}$ und $a \in \mathbb{R}^{+}\setminus\{1\}$ |
| Logarithmusfunktionen | $f(x) = \log_a x$für $\mathbb{D} = \mathbb{R}^{+}$ und $a \in \mathbb{R}^{+}\setminus\{1\}$ |
* Zu den rationalen Funktionen gehören sowohl ganzrationale (wie lineare Funktionen, quadratische Funktionen und Potenzfunktionen) als auch gebrochenrationalen Funktionen.
Neben den in der Tabelle genannten Funktionen sind auch alle Funktionen, die sich aus diesen Funktionen durch Grundrechenarten oder Verkettung zusammensetzen lassen, in ihrer Definitionsmenge stetig. Außerdem sind differenzierbare Funktionen stetig.
Unstetigkeit von Funktionen
Eine Funktion $f(x)$ ist an einer Stelle $x_0$ unstetig, wenn
$$ \qquad [1] \quad f(x_0) \text{ definiert ist} $$
und mindestens eine der beiden folgenden Aussagen zutrifft
$$ \qquad [2] \quad \lim_{x \to x_0} f(x) \text{ existiert nicht} $$
$$ \qquad [3] \quad \lim_{x \to x_0} f(x) \neq f(x_0) $$
Wir weisen darauf hin, dass eine in $x_0$ unstetige Funktion nach unserer Definition in $x_0$ definiert ist. In der mathematischen Literatur werden manchmal auch Definitionslücken als Unstetigkeitsstellen (Stellen, an denen die Funktion nicht stetig ist) bezeichnet.
Aussage [2] veranschaulicht
$$ \lim_{x \to x_0} f(x) \text{ existiert nicht} $$
In der Abbildung lässt sich leicht erkennen, dass der linksseitige Grenzwert (Annäherung an den weißen Punkt) und der rechtsseitige Grenzwert (Annäherung an den schwarzen Punkt) nicht übereinstimmen. Der beidseitige Grenzwert $x \to x_0$ existiert folglich nicht.
Aussage [3] veranschaulicht
$$ \lim_{x \to x_0} f(x) \neq f(x_0) $$
In der Abbildung lässt sich leicht erkennen, dass der Grenzwert (sowohl der links- als auch der rechtsseitige Grenzwert nähern sich dem weißen Punkt an) nicht dem Funktionswert (schwarzer Punkt) an dieser Stelle entspricht.
Die Signumfunktion ist unstetig.
Auf Stetigkeit prüfen
Prüfen, ob $\boldsymbol{x_0}$ zur Definitionsmenge gehört
Prüfen, ob sich der Grenzwert an der Stelle $\boldsymbol{x_0}$ berechnen lässt
Prüfen, ob Grenzwert und Funktionswert an der Stelle $\boldsymbol{x_0}$ übereinstimmen
zu 2)
Dieser Schritt entfällt, wenn $x_0$ nicht zur Definitionsmenge gehört (1. Schritt).
zu 3)
Dieser Schritt entfällt, wenn $x_0$ nicht zur Definitionsmenge gehört (1. Schritt) und/oder sich kein Grenzwert an der Stelle $x_0$ berechnen lässt (2. Schritt).
Ist die abschnittsweise definierte Funktion
$$ f(x) = \begin{cases} -1 & \text{für } x < 0 \\[5px] 0 & \text{für } x = 0 \\[5px] 1 & \text{für } x > 0 \end{cases} $$
an der Stelle $x_0 = 0$ stetig?
Prüfen, ob $\boldsymbol{x_0}$ zur Definitionsmenge gehört
$x_0$ gehört zur Definitionsmenge.
Prüfen, ob sich der Grenzwert an der Stelle $\boldsymbol{x_0}$ berechnen lässt
Linksseitigen Grenzwert berechnen
$$ \lim\limits_{x \to 0-} f(x) = \lim\limits_{x \to 0-} (-1) = -1 $$
Rechtsseitigen Grenzwert berechnen
$$ \lim\limits_{x \to 0+} f(x) = \lim\limits_{x \to 0+} (1) = 1 $$
Prüfen, ob der beidseitige Grenzwert existiert
An der Stelle $x_0 = 0$ existiert kein Grenzwert, da der linksseitige vom rechtsseitigen Grenzwert abweicht.
Prüfen, ob Grenzwert und Funktionswert an der Stelle $\boldsymbol{x_0}$ übereinstimmen
Dieser Schritt entfällt hier, weil sich kein Grenzwert an der Stelle $x_0 = 0$ berechnen lässt.
$\Rightarrow$ Die Funktion ist an der Stelle $x_0 = 0$ unstetig.
Ist die abschnittsweise definierte Funktion
$$ f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{für } x \neq 0 \\[5px] 1 & \text{für } x = 0 \end{cases} $$
an der Stelle $x_0 = 0$ stetig?
Prüfen, ob $\boldsymbol{x_0}$ zur Definitionsmenge gehört
$x_0$ gehört zur Definitionsmenge.
Prüfen, ob sich der Grenzwert an der Stelle $\boldsymbol{x_0}$ berechnen lässt
Linksseitigen Grenzwert berechnen
$$ \lim\limits_{x \to 0-} f(x) = \lim\limits_{x \to 0-} (x^2) = 0 $$
Rechtsseitigen Grenzwert berechnen
$$ \lim\limits_{x \to 0+} f(x) = \lim\limits_{x \to 0+} (x^2) = 0 $$
Prüfen, ob der beidseitige Grenzwert existiert
$$ \lim\limits_{x \to 0} f(x) = \lim\limits_{x \to 0-} f(x) = \lim\limits_{x \to 0+} f(x) = 0 $$
Prüfen, ob Grenzwert und Funktionswert an der Stelle $\boldsymbol{x_0}$ übereinstimmen
Grenzwert: $\lim\limits_{x \to 0} f(x) = 0$
Funktionswert: $f(x_0) = f(0) = 1$
$\Rightarrow$ Die Funktion ist an der Stelle $x_0 = 0$ unstetig, weil Grenzwert und Funktionswert an dieser Stelle nicht übereinstimmen.
Ist die Funktion
$$ f(x) = x^3 $$
an der Stelle $x_0 = 0$ stetig?
Prüfen, ob $\boldsymbol{x_0}$ zur Definitionsmenge gehört
$x_0$ gehört zur Definitionsmenge.
Prüfen, ob sich der Grenzwert an der Stelle $\boldsymbol{x_0}$ berechnen lässt
Linksseitigen Grenzwert berechnen
$$ \lim\limits_{x \to 0-} f(x) = \lim\limits_{x \to 0-} (x^3) = 0 $$
Rechtsseitigen Grenzwert berechnen
$$ \lim\limits_{x \to 0+} f(x) = \lim\limits_{x \to 0+} (x^3) = 0 $$
Prüfen, ob der beidseitige Grenzwert existiert
$$ \lim\limits_{x \to 0} f(x) = \lim\limits_{x \to 0-} f(x) = \lim\limits_{x \to 0+} f(x) = 0 $$
Prüfen, ob Grenzwert und Funktionswert an der Stelle $\boldsymbol{x_0}$ übereinstimmen
Grenzwert: $\lim\limits_{x \to 0} f(x) = 0$
Funktionswert: $f(x_0) = f(0) = 0$
$\Rightarrow$ Da Grenzwert und Funktionswert an der Stelle $x_0 = 0$ übereinstimmen, ist die Funktion an dieser Stelle stetig.
