Signumfunktion
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was die (reelle) Signumfunktion ist.
Das Wort signum
kommt aus dem Lateinischen und bedeutet Zeichen
.
Anstelle von Signumfunktion spricht man auch häufig von der Vorzeichenfunktion.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Funktion?
- Abschnittsweise definierte Funktionen
Bestandteile
Eine Funktion besteht aus Funktionsgleichung, Definitionsmenge und Wertemenge.
Funktionsgleichung
Die Signumfunktion ist eine Funktion, die einer reellen Zahl ihr Vorzeichen zuordnet:
Signumfunktion
$$ \text{sgn}(x) = \begin{cases} -1 & \text{für } x < 0 \\[5px] 0 & \text{für } x = 0 \\[5px] +1 & \text{für } x > 0 \end{cases} $$
Die Signumfunktion ist eine abschnittsweise definierte Funktion, die sich aus drei konstanten Funktionen zusammensetzt.
Definitionsmenge
Die Definitionsmenge $\mathbb{D}_f$ ist die Menge aller $x$-Werte, die in die Funktion $f$ eingesetzt werden dürfen.
In die Signumfunktion dürfen wir grundsätzlich alle reellen Zahlen einsetzen:
$$ \mathbb{D}_f = \mathbb{R} $$
Wertemenge
Die Wertemenge $\mathbb{W}_f$ ist die Menge aller $y$-Werte, die die Funktion $f$ unter Beachtung ihrer Definitionsmenge $\mathbb{D}_f$ annehmen kann.
Die Signumfunktion hat nur drei mögliche Funktionswerte:
$$ \mathbb{W}_f = \{-1; 0; 1\} $$
Graph
Eigenschaft
Die Signumfunktion ist bei $x = 0$ unstetig.
Begründung
Der linksseitige Grenzwert ist $\lim\limits_{x \to 0^{-}} \text{sgn(x)} = -1$.
Der rechtsseitige Grenzwert ist $\lim\limits_{x \to 0^{+}} \text{sgn(x)} = +1$.
Wegen $\lim\limits_{x \to 0^{-}} \text{sgn(x)} \neq \lim\limits_{x \to 0^{+}} \text{sgn(x)}$ existiert der Grenzwert $\lim\limits_{x \to 0} \text{sgn(x)}$ nicht.
