Betragsfunktion

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was die (reelle) Betragsfunktion ist.

Notwendiges Vorwissen: Betrag

Betragsfunktion

\(|x| =
\begin{cases}
x &\text{für } x \geq 0\\
-x &\text{für } x < 0
\end{cases}\)

Die Betragsfunktion ist eine abschnittsweise definierte Funktion,
die sich aus zwei linearen Funktionen zusammensetzt.

Graph der Betragsfunktion

Den Graphen der Funktion \(y = |f(x)|\) erhält man aus dem Graphen von \(y = f(x)\),
indem man alle unterhalb der x-Achse liegenden Kurvenstücke an der x-Achse spiegelt
und die bereits oberhalb der x-Achse liegenden Teile unverändert beibehält.


Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion
\[y = x\]


Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion
\[y = |x|\]

Der Unterschied zu \(y = x\) (gestrichelte Linie) ist, dass alles, was unterhalb der x-Achse ist, an dieser nach oben gespiegelt wird.

Betragsfreie Darstellung einer Betragsfunktion

Funktionen, in denen Beträge vorkommen, werden von Schülern oft als schwer verständlich eingestuft. Um die Lesbarkeit von Betragsfunktionen zu erhöhen, lösen wir die Beträge auf.

1. Lineare Betragsfunktionen

Gegeben ist die Funktion \(y = |x - 2|\).

Aufgaben

a) Funktion ohne Beträge darstellen
b) Graph der Funktion zeichnen

a) Betragsfreie Darstellung

Zunächst ersetzen wir in der Definition der Betragsfunktion

\(|x| =
\begin{cases} x &\text{für } x \geq 0\\
-x &\text{für } x < 0 \end{cases}
\)

das \(x\) durch \(x-2\) und erhalten somit:

\(|x-2| =
\begin{cases} x-2 &\text{für } x-2 \geq 0\\
-(x-2) &\text{für } x-2 < 0 \end{cases}
\)

Die Bedingung (also das was nach "für" steht) lösen wir noch nach \(x\) auf.
(Letztlich lösen wir hier zwei lineare Ungleichungen!)

\(|x-2| =
\begin{cases} x-2 &\text{für } x \geq 2\\
-(x-2) &\text{für } x < 2 \end{cases}
\)


b) Graph der Funktion

Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion
\[y = |x-2|\]

Der Unterschied zu \(y = x-2\) (gestrichelt) ist, dass alles, was unterhalb der x-Achse ist, an dieser nach oben gespiegelt wird.

2. Quadratische Betragsfunktionen

Gegeben ist die Funktion \(y = |x^2-4x+3|\).

Aufgaben

a) Funktion ohne Beträge darstellen
b) Graph der Funktion zeichnen

a) Betragsfreie Darstellung

Zunächst ersetzen wir in der Definition der Betragsfunktion

\(|x| =
\begin{cases} x &\text{für } x \geq 0\\
-x &\text{für } x < 0 \end{cases}
\)

das \(x\) durch \(x^2-4x+3\) und erhalten somit:

\(|x^2-4x+3| =
\begin{cases} x^2-4x+3 &\text{für } x^2-4x+3 \geq 0\\
-(x^2-4x+3) &\text{für } x^2-4x+3 < 0 \end{cases}
\)

Die Bedingung (also das was nach "für" steht) lösen wir noch nach \(x\) auf.
Das Lösen dieser quadratischen Ungleichungen läuft in drei Schritten ab:

1.) Quadratische Gleichung lösen

Die Lösungen der quadratischen Gleichung \(x^2-4x+3 = 0\) sind:
\(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\)
(Graphisch sind das die Nullstellen der quadratischen Funktion \(y = x^2-4x+3\).)

2.) Potenzielle Lösungsintervalle aufstellen

Die möglichen Lösungsintervalle der quadratischen Ungleichung \(x^2-4x+3 \geq 0\) sind:
\(\mathbb{L}_1 = ]-\infty;1]\), \(\mathbb{L}_2 = [1;3]\) und \(\mathbb{L}_3 = [3;\infty[\)

3.) Überprüfen, welche Lösungsintervalle zur Lösung gehören

Durch Einsetzen von Werten überprüfen wir, welche Intervalle zur Lösung gehören.

Aus dem 1. Intervall \(\mathbb{L}_1 = ]-\infty;1]\) setzen wir \({\color{maroon}0}\) in die Ungleichung ein:
\(x^2-4x+3 \geq 0\)
\({\color{maroon}0}^2-4 \cdot {\color{maroon}0} + 3 \geq 0 \qquad \rightarrow 3 \geq 0 \quad{\color{green}\checkmark}\)

Aus dem 2. Intervall \(\mathbb{L}_2 = [1;3]\) setzen wir \({\color{maroon}2}\) in die Ungleichung ein:
\(x^2-4x+3 \geq 0\)
\({\color{maroon}2}^2-4 \cdot {\color{maroon}2} + 3 \geq 0 \qquad \rightarrow -1 \geq 0 \quad{\color{red}\times}\)

Aus dem 3. Intervall \(\mathbb{L}_3 = [3;\infty[\) setzen wir \({\color{maroon}4}\) in die Ungleichung ein:
\(x^2-4x+3 \geq 0\)
\({\color{maroon}4}^2-4 \cdot {\color{maroon}4} + 3 \geq 0 \qquad \rightarrow 3 \geq 0 \quad{\color{green}\checkmark}\)

Zusammenfassend gilt:

Die quadratische Ungleichung \(x^2-4x+3 \geq 0\) ist für \(x \leq 1\) und für \(x \geq 3\) erfüllt.

Daraus folgt:

Die quadratische Ungleichung \(x^2-4x+3 < 0\) ist für \(1 < x < 3\) erfüllt.

Die betragsfreie Darstellung der quadratischen Betragsfunktion lautet demnach

\(|x^2-4x+3| =
\begin{cases} x^2-4x+3 &\text{für } x \leq 1 \text{ oder } x \geq 3\\
-(x^2-4x+3) &\text{für } 1 < x < 3 \end{cases}
\)


b) Graph der Funktion

Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion
\[y = |x^2-4x+3|\]

Die gestrichelte Linie soll wieder andeuten,
wie die Funktion ohne Betragsstriche
(also \(y = x^2 - 4x + 3\)) aussehen würde.

Andreas Schneider

Hat dir meine Erklärung geholfen?
Facebook Like Button
Für Lob, Kritik und Anregungen habe ich immer ein offenes Ohr.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!

JETZT NEU! Löse eine Matheaufgabe und gewinne einen 25 € Amazon-Gutschein!