Betragsfunktion

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was die (reelle) Betragsfunktion ist.

Erforderliches Vorwissen

Bestandteile 

Eine Funktion besteht aus Funktionsgleichung, Definitionsmenge und Wertemenge.

Funktionsgleichung 

Betragsfunktion

$$ |x| = \begin{cases} x &\text{für } x \geq 0 \\[5px] -x &\text{für } x < 0 \end{cases} $$

Die Betragsfunktion ist eine abschnittsweise definierte Funktion, die sich aus zwei linearen Funktionen zusammensetzt.

Definitionsmenge 

Die Definitionsmenge $\mathbb{D}_f$ ist die Menge aller $x$-Werte, die in die Funktion $f$ eingesetzt werden dürfen.

In die Betragsfunktion dürfen wir grundsätzlich alle reellen Zahlen einsetzen:

$$ \mathbb{D}_f = \mathbb{R} $$

Wertemenge 

Die Wertemenge $\mathbb{W}_f$ ist die Menge aller $y$-Werte, die die Funktion $f$ unter Beachtung ihrer Definitionsmenge $\mathbb{D}_f$ annehmen kann.

Die Betragsfunktion kann grundsätzlich nur positive reellen Zahlen annehmen:

$$ \mathbb{W}_f = \mathbb{R}^{+} $$

Graph 

Den Graphen der Funktion $y = |f(x)|$ erhält man aus dem Graphen von $y = f(x)$, indem man alle unterhalb der $x$-Achse liegenden Kurvenstücke an der $x$-Achse spiegelt und die bereits oberhalb der $x$-Achse liegenden Teile unverändert beibehält.

Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion

$$ y = x $$

Abb. 1 

Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion

$$ y = |x| $$

Der Unterschied zu $y = x$ (gestrichelte Linie) ist, dass alles, was unterhalb der $x$-Achse ist, an dieser nach oben gespiegelt wird.

Abb. 2 

Betragsfreie Darstellung einer Betragsfunktion 

Funktionen, in denen Beträge vorkommen, werden von Schülern oft als schwer verständlich eingestuft. Um die Lesbarkeit von Betragsfunktionen zu erhöhen, lösen wir die Beträge auf.

Lineare Betragsfunktionen 

Beispiel 1 

Schreibe die Funktionsgleichung $y = |x - 2|$ ohne Betrag.

Definition der Betragsfunktion anwenden

Zunächst ersetzen wir in der Definition der Betragsfunktion

$$ |x| = \begin{cases} x &\text{für } x \geq 0 \\[5px] -x &\text{für } x < 0 \end{cases} $$

das $x$ durch $x-2$ und erhalten somit:

$$ |x-2| = \begin{cases} x-2 &\text{für } x-2 \geq 0 \\[5px] -(x-2) &\text{für } x-2 < 0 \end{cases} $$

Bedingungen nach $\boldsymbol{x}$ auflösen

Die Bedingungen – also das, was nach für steht – lösen wir nach $x$ auf. Rein mathematisch betrachtet lösen wir hier zwei lineare Ungleichungen.

$$ |x-2| = \begin{cases} x-2 &\text{für } x \geq 2 \\[5px] -(x-2) &\text{für } x < 2 \end{cases} $$

Graphische Darstellung

Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion

$$ y = |x-2| $$

Der Unterschied zu $y = x-2$ (gestrichelt) ist, dass alles, was unterhalb der $x$-Achse ist, an dieser nach oben gespiegelt wird.

Abb. 3 

Quadratische Betragsfunktionen 

Beispiel 2 

Schreibe die Funktionsgleichung $y = |x^2-4x+3|$ ohne Betrag.

Definition der Betragsfunktion anwenden

Zunächst ersetzen wir in der Definition der Betragsfunktion

$$ |x| = \begin{cases} x &\text{für } x \geq 0 \\[5px] -x &\text{für } x < 0 \end{cases} $$

das $x$ durch $x^2-4x+3$ und erhalten somit:

$$ |x^2-4x+3| = \begin{cases} x^2-4x+3 &\text{für } x^2-4x+3 \geq 0 \\[5px] -(x^2-4x+3) &\text{für } x^2-4x+3 < 0 \end{cases} $$

Bedingungen nach $\boldsymbol{x}$ auflösen

Die Bedingungen – also das, was nach für steht – lösen wir nach $x$ auf. Rein mathematisch betrachtet lösen wir hier zwei quadratische Ungleichungen.

Quadratische Gleichung lösen

Die Lösungen der quadratischen Gleichung $x^2-4x+3 = 0$ sind:

$$ x_1 = 1 $$

$$ x_2 = 3 $$

Graphisch sind das die Nullstellen der quadratischen Funktion $y = x^2-4x+3$.

Potenzielle Lösungsintervalle aufstellen

Die möglichen Lösungsintervalle der quadratischen Ungleichung $x^2-4x+3 \geq 0$ sind:

$\mathbb{L}_1 = ]-\infty;1]$, $\mathbb{L}_2 = ]1;3[$ und $\mathbb{L}_3 = [3;\infty[$

Überprüfen, welche Lösungsintervalle zur Lösung gehören

Durch Einsetzen von Werten überprüfen wir, welche Intervalle zur Lösung gehören.

Aus dem 1. Intervall $\mathbb{L}_1 = ]-\infty;1]$ setzen wir ${\color{maroon}0}$ in die Ungleichung ein:

$$ x^2-4x+3 \geq 0 $$

$$ {\color{maroon}0}^2-4 \cdot {\color{maroon}0} + 3 \geq 0 \qquad \rightarrow 3 \geq 0 \quad{\color{green}\checkmark} $$

Aus dem 2. Intervall $\mathbb{L}_2 = ]1;3[$ setzen wir ${\color{maroon}2}$ in die Ungleichung ein:

$$ x^2-4x+3 \geq 0 $$

$$ {\color{maroon}2}^2-4 \cdot {\color{maroon}2} + 3 \geq 0 \qquad \rightarrow -1 \geq 0 \quad{\color{red}\times} $$

Aus dem 3. Intervall $\mathbb{L}_3 = [3;\infty[$ setzen wir ${\color{maroon}4}$ in die Ungleichung ein:

$$ x^2-4x+3 \geq 0 $$

$$ {\color{maroon}4}^2-4 \cdot {\color{maroon}4} + 3 \geq 0 \qquad \rightarrow 3 \geq 0 \quad{\color{green}\checkmark} $$

Zusammenfassend gilt:

Die quadratische Ungleichung $x^2-4x+3 \geq 0$ ist für $x \leq 1$ und für $x \geq 3$ erfüllt.

Daraus folgt:

Die quadratische Ungleichung $x^2-4x+3 < 0$ ist für $1 < x < 3$ erfüllt.

Die betragsfreie Darstellung der quadratischen Betragsfunktion lautet demnach

$$ |x^2-4x+3| = \begin{cases} x^2-4x+3 &\text{für } x \leq 1 \text{ oder } x \geq 3 \\[5px] -(x^2-4x+3) &\text{für } 1 < x < 3 \end{cases} $$

Graphische Darstellung

Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion

$$ y = |x^2-4x+3| $$

Die gestrichelte Linie soll wieder andeuten, wie die Funktion ohne Betragsstriche (also $y = x^2 - 4x + 3$) aussehen würde.

Abb. 4 

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