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Definitionsbereich bestimmen

In diesem Kapitel werden wir den Definitionsbereich einiger Funktionen bestimmen. Häufig sagt man zu dem Definitionsbereich auch Definitionsmenge. Die beiden Begriffe haben dieselbe Bedeutung. Doch was versteht man eigentlich unter dem Definitionsbereich einer Funktion?

Der Definitionsbereich beantwortet die Frage:
"Welche x-Werte darf ich in die Funktion einsetzen?"

Den Definitionsbereich einer Funktion \(f\) bezeichnet man mit \(D_f\).

Nehmen wir an, dass du die Funktion \(f(x) = x^2\) untersuchen sollst. In der Aufgabenstellung ist zusätzlich der Definitionsbereich angegeben: \(D_f = \{1,2,3,4,5\}\). Der Definitionsbereich sagt uns in diesem Fall, dass wir nur die Werte 1, 2, 3, 4 und 5 in die Funktion \(f(x) = x^2\) einsetzen dürfen. Warum ist das so? Ganz einfach: Den Definitionsbereich hat der Aufgabensteller, d.h. der "Erfinder" der Aufgabe festgelegt. Er hat entschieden, dass wir nur ganzzahlige Werte zwischen 1 und 5 in die Funktion einsetzen dürfen. Wir merken uns an dieser Stelle, dass der Aufgabensteller den Definitionsbereich einer Funktion beliebig einschränken darf!

Wenn du in einer Aufgabe jedoch aufgefordert wirst, den "Definitionsbereich zu bestimmen", dann ist damit der maximale Definitionsbereich gemeint, für den die Rechenvorschrift grundsätzlich ausführbar ist. Du guckst dir also die Funktion an und überlegst "Welche x-Werte darf ich einsetzen?" und legst entsprechend den Definitionsbereich fest.

Beispiele

  • eine Wurzel kann man nur für nichtnegative Zahlen ziehen
    \(f(x) = \sqrt{x} \qquad \rightarrow \qquad D_f = \mathbb{R}^{+}_0\)

  • ein Flächeninhalt kann nur mit Hilfe positiver Seitenlängen berechnet werden
    \(2x^2 + x = 55\text{m}² \qquad \rightarrow \qquad D_f = \mathbb{R}^{+}\)

An dieser Stelle sollten wir uns noch einmal mit den wichtigsten Zahlenmengen beschäftigen:

Natürliche Zahlen \(\mathbb{N}=\{0, 1, 2, 3, \dots\}\)
Ganze Zahlen \(\mathbb{Z}=\{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,\dots\}\)
Rationalen Zahlen \(\mathbb{Q}=\{\frac{m}{n}|m,n \in \mathbb{Z}, n \neq 0\}\)
Reelle Zahlen \(\mathbb{R}\)

Wie in den obigen Beispielen bereits gezeigt, lassen sich diese Zahlenmengen noch einschränken: \(\mathbb{R}^{+}\) sind alle positiven Zahlen, \(\mathbb{R}^{+}_0\) sind alle nichtnegativen Zahlen (= alle positive Zahlen + 0).

Nach diesem kleinen Ausflug in die Zahlenlehre wenden wir uns jetzt wieder dem eigentlichen Thema zu. Dabei schauen wir uns die Definitionsbereiche einiger besonderer Funktionen an, die in einer Kurvendiskussion häufig analysiert werden.

Definitionsbereich ganzrationaler Funktionen

Die Definitionsmenge einer ganzrationalen Funktion ist immer \(\mathbb{R}\).

Beispiele

\(f(x) = 4x^2-x+3 \qquad \rightarrow \qquad D_f = \mathbb{R}\)

\(f(x) = x^3-6x^2+8x \qquad \rightarrow \qquad D_f = \mathbb{R}\)

\(f(x) = 3x^2-5 \qquad \rightarrow \qquad D_f = \mathbb{R}\)

Zu den ganzrationalen Funktionen gehören u.a. lineare Funktionen und quadratische Funktionen.

Definitionsbereich gebrochenrationaler Funktionen

Eine Division durch Null ist nicht möglich, weshalb man sich den Nenner einer gebrochenrationalen Funktion stets genauer anschauen muss. Man muss sich also überlegen: "Wann wird der Nenner gleich Null?" und die entsprechenden Werte aus dem Definitionsbereich herausnehmen. Dadurch entstehen sog. Definitionslücken, das sind Bereiche, in denen die Funktion nicht definiert ist.

Die Nullstellen des Nenners einer gebrochenrationalen Funktion liegen stets außerhalb (!) des Definitionsbereichs.

Beispiel 1

\[f(x) = \frac{x^2}{x+1}\]

Da nicht durch Null geteilt werden darf, fragen wir uns: "Wann wird der Nenner gleich Null?"

\(x+1 = 0 \qquad \rightarrow \qquad x = -1\)

Die Funktion ist für \(x = -1\) nicht definiert und hat dort somit eine Definitionslücke. Die Definitionsmenge der Funktion lautet dementsprechend: \(D_f = \mathbb{R} \backslash \{-1\}\).

Beispiel 2

\[f(x) = \frac{x^3 - 7}{3x \cdot (x-2)}\]

Da nicht durch Null geteilt werden darf, fragen wir uns: "Wann wird der Nenner gleich Null?"

\[3x \cdot (x-2) = 0 \qquad \rightarrow \qquad x_1 = 0 \text{ und } x_2 = 2\]

Die Funktion ist für \(x_1= 0\) und \(x_2= 2\) nicht definiert und hat somit zwei Definitionslücken. Die Definitionsmenge der Funktion lautet dementsprechend: \(D_f = \mathbb{R} \backslash \{0;2\}\).

Definitionsbereich einer Exponentialfunktion

Die Exponentialfunktion ist in ganz \(\mathbb{R}\) definiert.

Beispiele

\(f(x) = 3e^{4x} \qquad \rightarrow \qquad D_f =\mathbb{R}\)

\(f(x) = e^{x^2}-8x \qquad \rightarrow \qquad D_f =\mathbb{R}\)

\(f(x) = (x-1) \cdot e^{x^3-4} \qquad \rightarrow \qquad D_f =\mathbb{R}\)

Definitionsbereich einer Logarithmusfunktion

Der natürliche Logarithmus ist nur für \(\mathbb{R}^{+}\) definiert.

Die Bestimmung der Definitionsmenge einer Logarithmusfunktion entspricht der Lösung folgender Ungleichung

\(\ln g(x) \qquad \rightarrow \qquad g(x) > 0\)

Die Logarithmusfunktion ist nur definiert, wenn die innere Funktion \(g(x)\) größer Null ist.

Beispiel 1

\(f(x) = \ln (x-1)\)

Wir überlegen uns: "Wann ist die innere Funktion größer Null?"

\(x-1 > 0 \qquad \rightarrow \qquad x > 1\)

Die innere Funktion ist größer als Null, solange \(x\) größer als 1 ist. Die Definitionsmenge lautet dementsprechend: \(D_f =\left]1; \infty\right[\).

Beispiel 2

\(f(x) = \ln (x^2-1)\)

Wir überlegen uns: "Wann ist die innere Funktion größer Null?"

\(x^2 - 1 > 0 \qquad \rightarrow \qquad x^2 > 1\)

Wir lösen die Gleichung nach \(x\) auf, indem wir die Wurzel ziehen

\(\pm \sqrt{x^2} > \sqrt{1}\)

Intervall 1: \(x > 1\)

Intervall 2: \(-x > 1 \qquad \rightarrow \qquad x < -1\)

Die innere Funktion ist größer als Null, solange \(x\) größer als 1 bzw. kleiner als -1 ist. Oder anders formuliert: Im Intervall zwischen -1 und 1 ist die Funktion nicht definiert. Die Definitionsmenge lautet dementsprechend: \(D_f = \mathbb{R} \backslash \left[-1,+1\right]\).

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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