Über 80 € Preisvorteil gegenüber Einzelkauf!
Mathe-eBooks im Sparpaket
Von Schülern, Studenten, Eltern und
Lehrern mit 4,86/5 Sternen bewertet.
47 PDF-Dateien mit über 5000 Seiten
inkl. 1 Jahr Updates für nur 29,99 €.
Ab dem 2. Jahr nur 14,99 €/Jahr.
Kündigung jederzeit mit wenigen Klicks.
Jetzt Mathebibel herunterladen

Definitionsbereich bestimmen

In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man den Definitionsbereich einer Funktion bestimmt. Häufig spricht man auch von der Definitionsmenge. Die beiden Begriffe haben dieselbe Bedeutung.

Erforderliches Vorwissen

Einordnung 

Eine Funktion $f$ ist eine Zuordnung, bei der jedem Element $x$ des Definitionsbereichs $\mathbb{D}$ genau ein Element $y$ des Wertebereichs $\mathbb{W}$ zugeordnet ist.

Aus der Definition einer Funktion folgt, dass eine Funktion aus drei Teilen besteht:

  • Funktionsgleichung

  • Definitionsbereich

  • Wertebereich

Der Definitionsbereich beantwortet die Frage:
Welche $x$-Werte darf ich in die Funktion einsetzen?

Beispiel 1 

Nehmen wir an, dass du die Funktion $f(x) = x^2$ untersuchen sollst. In der Aufgabenstellung ist zusätzlich der Definitionsbereich angegeben: $D_f = \{1, 2, 3, 4, 5\}$. Der Definitionsbereich sagt uns in diesem Fall, dass wir nur die Werte $1$, $2$, $3$, $4$ und $5$ in die Funktion $f(x) = x^2$ einsetzen dürfen. Warum ist das so? Ganz einfach: Den Definitionsbereich hat der Aufgabensteller, d. h. der Erfinder der Aufgabe festgelegt.

Wir merken uns:

Der Aufgabensteller kann den Definitionsbereich einer Funktion beliebig einschränken.

Wenn du in einer Aufgabe jedoch aufgefordert wirst, den Definitionsbereich zu bestimmen, dann ist damit der maximale Definitionsbereich gemeint, für den die Rechenvorschrift grundsätzlich ausführbar ist.

Beispiel 2 

Der maximale Definitionsbereich der Funktion $f(x) = \sqrt{x}$ ist $\mathbb{D}_f = \mathbb{R}^{+}_0$, denn für einen negativen Radikanden ist das Wurzelziehen nicht definiert.

Beispiel 3 

Der maximale Definitionsbereich der Funktion $2x^2 + x = 55\ \textrm{m}²$ ist $\mathbb{D}_f = \mathbb{R}^{+}$, denn ein Flächeninhalt kann nur mithilfe positiver Seitenlängen berechnet werden.

Zur Erinnerung hier noch mal die wichtigsten Zahlenmengen:

Natürliche Zahlen$\mathbb{N}=\{0, 1, 2, 3, \dots\}$
Ganze Zahlen$\mathbb{Z}=\{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,\dots\}$
Rationalen Zahlen$\mathbb{Q}=\{\frac{m}{n} \,|\, m,n \in \mathbb{Z}, n \neq 0\}$
Reelle Zahlen$\mathbb{R}$

Wie in den obigen Beispielen bereits gezeigt, lassen sich diese Zahlenmengen noch einschränken: $\mathbb{R}^{+}$ sind alle positiven reellen Zahlen, $\mathbb{R}^{+}_0$ sind alle nichtnegativen reellen Zahlen, also alle positiven reellen Zahlen inkl. $0$.

Definitionsbereiche wichtiger Funktionen 

Ganzrationale Funktionen 

Der Definitionsbereich einer ganzrationalen Funktion ist $\mathbb{R}$.

Zu den ganzrationalen Funktionen gehören u. a. lineare Funktionen und quadratische Funktionen.

Beispiel 4 

Der Definitionsbereich von $f(x) = 3x - 6$ ist $\mathbb{D}_f = \mathbb{R}$.

Beispiel 5 

Der Definitionsbereich von $f(x) = -7x^2 + 5x + 1$ ist $\mathbb{D}_f = \mathbb{R}$.

Beispiel 6 

Der Definitionsbereich von $f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 4x - 8$ ist $\mathbb{D}_f = \mathbb{R}$.

Gebrochenrationale Funktionen 

Nullstellen der Nennerfunktion berechnen

Funktionsgleichung gleich Null setzen

Gleichung lösen

Definitionsbereich aufschreiben

Eine Division durch Null ist nicht erlaubt, weshalb wir uns den Nenner einer gebrochenrationalen Funktion stets genauer anschauen müssen. Die $x$-Werte, für die der Nenner gleich Null wird, müssen wir aus dem Definitionsbereich ausschließen. Dadurch entstehen sog. Definitionslücken – das sind Stellen, an denen die Funktion nicht definiert ist.

Beispiel 7 

Bestimme den Definitionsbereich der gebrochenrationalen Funktion $f(x) = \frac{x^2}{x+1}$.

Nullstellen der Nennerfunktion berechnen

Funktionsgleichung gleich Null setzen

$$ x + 1 = 0 $$

Gleichung lösen

$$ \begin{align*} x + 1 &= 0 &&|\, -1 \\[5px] x &= -1 \end{align*} $$

Definitionsbereich aufschreiben

$$ \mathbb{D}_f = \mathbb{R} \setminus \{-1\} $$

Beispiel 8 

Bestimme den Definitionsbereich der gebrochenrationalen Funktion $f(x) = \frac{x^3 - 7}{3x \cdot (x-2)}$.

Nullstellen der Nennerfunktion berechnen

Funktionsgleichung gleich Null setzen

$$ 3x \cdot (x-2) = 0 $$

Gleichung lösen

Nach dem Satz vom Nullprodukt erhalten wir:

$$ x_1 = 0 $$

$$ x_2 = 2 $$

Definitionsbereich aufschreiben

$$ \mathbb{D}_f = \mathbb{R} \setminus \{0; 2\} $$

Exponentialfunktionen 

Der Definitionsbereich einer Exponentialfunktion ist $\mathbb{D} = \mathbb{R}$.

Die folgenden Beispiele beziehen sich auf die bekannteste Exponentialfunktion, die sog. e-Funktion.

Beispiel 9 

Der Definitionsbereich von $f(x) = 3e^{4x}$ ist $\mathbb{D}_f = \mathbb{R}$.

Beispiel 10 

Der Definitionsbereich von $f(x) = e^{x^2}-8x$ ist $\mathbb{D}_f = \mathbb{R}$.

Beispiel 11 

Der Definitionsbereich von $f(x) = (x-1) \cdot e^{x^3-4}$ ist $\mathbb{D}_f = \mathbb{R}$.

Logarithmusfunktionen 

Der Definitionsbereich einer Logarithmusfunktion ist $\mathbb{D} = \mathbb{R}^{+}$.

Die Logarithmusfunktion ist nur definiert, wenn die innere Funktion, der sog. Numerus, größer Null ist.

Die folgenden Beispiele beziehen sich auf die bekannteste Logarithmusfunktion, die sog. ln-Funktion.

Beispiel 12 

Bestimme den Definitionsbereich der Logarithmusfunktion $f(x) = \ln (x-1)$.

Bestimmen, wann der Numerus des Logarithmus größer Null ist

$$ \begin{align*} x-1 &> 0 &&|\, +1 \\[5px] x &> 1 \end{align*} $$

Definitionsbereich aufschreiben

$$ \mathbb{D}_f =\left]1; \infty\right[ $$

Beispiel 13 

Bestimme den Definitionsbereich der Logarithmusfunktion $f(x) = \ln (x^2-1)$.

Bestimmen, wann der Numerus des Logarithmus größer Null ist

$$ \begin{align*} x^2 - 1 &> 0 &&|\, +1 \\[5px] x^2 &> 1 &&|\, \sqrt{\phantom{x}} \\[5px] \pm x &> 1 \end{align*} $$

Intervall 1

$$ x > 1 $$

Intervall 2

$$ -x > 1 \quad \Rightarrow \quad x < -1 $$

Daraus folgt, dass die Funktion im Intervall $-1$ bis $1$ nicht definiert ist.

Definitionsbereich aufschreiben

$$ \mathbb{D}_f = \mathbb{R} \setminus \left[-1; 1\right] $$

Online-Rechner 

Definitionsbereich online berechnen

Noch Fragen? Logo von Easy-Tutor hilft!

Probestunde sichern