ln-Funktion

In diesem Kapitel schauen wir uns die ln-Funktion etwas genauer an.

Die ln-Funktion (auch: Natürliche Logarithmusfunktion) gehört zu den Logarithmusfunktionen.

Die Funktionsgleichung der ln-Funktion ist \(f(x) = \ln(x)\).

Die ln-Funktion ist eine Logarithmusfunktion mit der Basis \(e\). Es gilt: \(\log_{e}x = \ln(x)\).

Bei \(e\) handelt es sich um die Eulersche Zahl, die folgenden Wert annimmt: \(e = 2,718182...\)

Graph der ln-Funktion

Der Graph einer Logarithmusfunktion heißt Logarithmuskurve.

Um den Graphen der ln-Funktion sauber zu zeichnen, berechnen wir zunächst mit Hilfe des Taschenrechners einige Funktionswerte und tragen diese dann in eine Wertetabelle ein. Beachte, dass in deinem Taschenrechner \(\ln\) in der Regel eingespeichert ist!

\(f(0,1) = \ln(0,1) = -2,302... \approx -2,3\)

\(f(0,2) = \ln(0,2) = -1,609... \approx -1,61\)

\(f(0,3) = \ln(0,3) = -1,203... \approx -1,2\)

\(f(0,4) = \ln(0,4) = -0,916... \approx -0,92\)

\(f(0,5) = \ln(0,5) = -0,693... \approx -0,69\)

\(f(1) = \ln(1) = 0\)

\(f(1,5) = \ln(1,5) = 0,405... \approx 0,41\)

\(f(2) = \ln(2) = 0,693... \approx 0,69\)

\(f(3) = \ln(3) = 1,098... \approx 1,1\)

\(f(7) = \ln(7) = 1,945... \approx 1,95\)

Wir haben die Funktionswerte auf zwei Nachkommastellen gerundet. Diese Genauigkeit reicht zum Zeichnen des Graphen der ln-Funktion normalerweise völlig aus.

\begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
\text{x} & 0,1 & 0,2 & 0,3 & 0,4 & 0,5 & 1 & 1,5 & 2 & 3 & 7\\
\hline
\text{y} & -2,3 & -1,61 & -1,2 & -0,92 & -0,69 & 0 & 0,41 & 0,69 & 1,1 & 1,95 \\
\end{array}




Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion
\[f(x) = \ln(x)\]

Wir können einige interessante Eigenschaften beobachten:

  1. Der Graph der ln-Funktion verläuft rechts der y-Achse.
    \(\Rightarrow\) Die Definitionsmenge der ln-Funktion ist \(\mathbb{D} = \mathbb{R}^{+}\).
  2. Der Graph der ln-Funktion kommt der y-Achse beliebig nahe.
    \(\Rightarrow\) Die y-Achse ist senkrechte Asymptote der Logarithmuskurve.
  3. Der Graph der ln-Funktion schneidet die x-Achse im Punkt (1|0).
    (Laut einem Logarithmusgesetz gilt nämlich: \(\ln(1) = 0\).)
    \(\Rightarrow\) Die Nullstelle der ln-Funktion ist \(x = 1\).
  4. Der Graph der ln-Funktion schneidet nicht die y-Achse.
    \(\Rightarrow\) Die ln-Funktion hat keinen y-Achsenabschnitt!
  5. Der Graph der ln-Funktion ist streng monoton steigend.
    \(\Rightarrow\) Je größer \(x\), desto größer \(y\)!

Wenn du bereits die e-Funktion kennst, ist dir vielleicht Folgendes aufgefallen:
Die e-Funktion besitzt genau die "umgekehrten" Eigenschaften wie die ln-Funktion.
Warum das so ist? Ganz einfach: Die e-Funktion ist die Umkehrfunktion der ln-Funktion.

Zusammenfassung der wichtigsten Eigenschaften

Funktionsgleichung \(f(x) = \ln(x)\)
Definitionsmenge \(\mathbb{D} = \mathbb{R}^{+}\)
Wertemenge \(\mathbb{W} = \mathbb{R}\)
Asymptote \(x = 0\) (also die y-Achse)
Schnittpunkt mit y-Achse
es gibt keinen!
Schnittpunkt mit x-Achse \(P(1|0)\)
Monotonie streng monoton steigend
Ableitung \(f'(x) = \frac{1}{x}\)
Umkehrfunktion e-Funktion \(f(x) = e^x\)

Andreas Schneider

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Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider

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