Logarithmus

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was ein Logarithmus ist.

Inhaltsverzeichnis

Definition

In der Potenzrechnung haben wir Gleichungen der Form ${\color{green}b}^{\color{green}n} = {\color{red}x}$ betrachtet. Dabei waren die Basis ${\color{green}b}$ und der Exponent ${\color{green}n}$ bekannt. Gesucht war der Potenzwert ${\color{red}x}$ .

Beispiel 1

$$ 10^2 = x \quad \rightarrow \quad x = 100 $$

In der Wurzelrechnung haben wir Gleichungen der Form ${\color{red}x}^{\color{green}n} = {\color{green}a}$ betrachtet. Dabei waren der Exponent ${\color{green}n}$ und der Potenzwert ${\color{green}a}$ bekannt. Gesucht war die Basis ${\color{red}x}$ .

Beispiel 2

$$ x^2 = 100 \quad \rightarrow \quad x = 10 $$

In der Logarithmusrechnung betrachten wir dagegen Gleichungen der Form ${\color{green}b}^{\color{red}x} = {\color{green}a}$ . Dabei sind die Basis ${\color{green}b}$ und der Potenzwert ${\color{green}a}$ gegeben. Gesucht ist der Exponent ${\color{red}x}$ .

Beispiel 3

$$ 10^x = 100 \quad \rightarrow \quad x = 2 $$

Man bezeichnet den gesuchten Exponenten $x$ auch mit $\log_b a$ .

Definition eines Logarithmus

$$ b^x = a \quad \Leftrightarrow \quad x = \log_b a \qquad \qquad \qquad \qquad \text{mit } a,b > 0 \text{ und } b \neq 1 $$

Als Logarithmus einer Zahl $a$ bezeichnet man den Exponenten $x$ , mit dem eine vorher festgelegte Zahl, die Basis $b$ , potenziert werden muss, um die gegebene Zahl zu erhalten.

Sprechweise

$$ \underbrace{b^x = a}_{\text{b hoch x gleich a}} \quad \underbrace{\Leftrightarrow}_{\text{ist äquivalent zu}} \quad \underbrace{x = \log_b a}_{\text{x gleich Logarithmus von a zur Basis b}} $$

Bezeichnungen

In der Gleichung $b^x = a$ gilt

$b$ = Basis
$x$ = Exponent
$a$ = Potenzwert

In der Gleichung $\log_b a = x$ gilt

$b$ = (Logarithmus-)Basis
$a$ = Numerus
$x$ = Logarithmus(-wert)

Wichtige Zusammenhänge

$\log_b b = 1$ : Der Logarithmus zur Basis ist immer $1$ (wegen $b^1 = b$ ).
$\log_b 1 = 0$ : Der Logarithmus zu $1$ ist immer $0$ (wegen $b^0 = 1$ ).

Beispiel 4

$$ \log_2 8 = {\color{red}3} \quad (\text{wegen } 2^{\color{red}3} = 8) $$

Beispiel 5

$$ \log_3 9 = {\color{red}2} \quad (\text{wegen } 3^{\color{red}2} = 9) $$

Beispiel 6

$$ \log_4 4 = {\color{red}1} \quad (\text{wegen } 4^{\color{red}1} = 4) $$

Logarithmusgesetze

Wie man mit Logarithmen rechnet, erfährst du im Kapitel Logarithmusgesetze.

Einschränkungen

Die Logarithmusbasis $b$ muss größer als $0$ sein ( $b > 0$ ).

Beispiel 7

$$ \log_{0} 10 = x \quad \Leftrightarrow \quad 0^x = 10 $$

Die Gleichung $0^x = 10$ ist unlösbar, denn $0$ hoch irgendeine Zahl $x$ ist immer gleich $0$ .

Beispiel 8

$$ \log_{-2} 8 = x \quad \Leftrightarrow \quad (-2)^x = 8 $$

Auch die Gleichung $(-2)^x = 8$ ist unlösbar.

Die Logarithmusbasis $b$ darf nicht gleich $1$ sein ( $b \neq 1$ ).

Beispiel 9

$$ \log_{1} 10 = x \quad \Leftrightarrow \quad 1^x = 10 $$

Die Gleichung $1^x = 10$ ist unlösbar, denn $1$ hoch irgendeine Zahl $x$ ist immer gleich $1$ .

Der Numerus $a$ muss größer als $0$ sein ( $a > 0$ ).

Beispiel 10

$$ \log_{10} -100 = x \quad \Leftrightarrow \quad 10^x = -100 $$

Die Gleichung $10^x = -100$ ist unlösbar, denn das Potenzieren einer positiven Zahl führt immer zu einer positiven Zahl.

Beispiel 11

$$ \log_{10} 0 = x \quad \Leftrightarrow \quad 10^x = 0 $$

Die Gleichung $10^x = 0$ ist unlösbar, denn das Potenzieren einer positiven Zahl führt immer zu einer positiven Zahl.

Vorsicht!

Laut den Potenzgesetzen gilt: $10^0 = 1$ .

Besondere Logarithmen

Dekadischer Logarithmus

Der Logarithmus zur Basis $10$ heißt dekadischer Logarithmus.

Statt $\log_{10} a$ schreibt man meist $\lg a$ .

Natürlicher Logarithmus

Der Logarithmus zur Basis $e$ heißt natürlicher Logarithmus.

Statt $\log_{e} a$ schreibt man meist $\ln a$ .

Eulersche Zahl

$e$ ist eine Konstante – wie die Kreiszahl $\pi$ – und heißt Eulersche Zahl.

Die Eulersche Zahl ist ungefähr gleich $2{,}7182818284590452\dots$

Binärer Logarithmus

Der Logarithmus zur Basis $2$ heißt binärer Logarithmus.

Statt $\log_{2} a$ schreibt man meist $\text{lb}\, a$ oder $\text{ld}\, a$ .