Logarithmus

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was ein Logarithmus (Plural: Logarithmen) ist.

Problemstellung

In der Potenzrechnung haben wir Gleichungen der Form \({\color{green}b}^{\color{green}n} = {\color{red}x}\) betrachtet.
Dabei waren die Basis \({\color{green}b}\) und der Exponent \({\color{green}n}\) bekannt.
Gesucht war der Potenzwert \({\color{red}x}\).

Beispiel

\(10^2 = x \quad \rightarrow \quad x = 100\)

In der Wurzelrechnung haben wir Gleichungen der Form \({\color{red}x}^{\color{green}n} = {\color{green}a}\) betrachtet.
Dabei waren der Exponent \({\color{green}n}\) und der Potenzwert \({\color{green}a}\) bekannt.
Gesucht war die Basis \({\color{red}x}\).

Beispiel

\(x^2 = 100 \quad \rightarrow \quad x = 10\)

In der Logarithmusrechnung betrachten wir dagegen Gleichungen der Form \({\color{green}b}^{\color{red}x} = {\color{green}a}\).
Dabei sind die Basis \({\color{green}b}\) und der Potenzwert \({\color{green}a}\) gegeben.
Gesucht ist der Exponent \({\color{red}x}\).

Beispiel

\(10^x = 100 \quad \rightarrow \quad x = 2\)

Man bezeichnet den gesuchten Exponenten \(x\) auch mit \(\log_b a\) (Logarithmus von a zur Basis b).

Definition eines Logarithmus

\(b^x = a \quad \Leftrightarrow \quad x = \log_b a \qquad \qquad \qquad \qquad \text{mit } a,b > 0 \text{ und } b \neq 1\)

Sprechweise

\(\underbrace{b^x = a}_{\text{b hoch x gleich a}} \quad \underbrace{\Leftrightarrow}_{\text{ist äquivalent zu}} \quad \underbrace{x = \log_b a}_{\text{x gleich Logarithmus von a zur Basis b}}\)

Bezeichnungen

In der Gleichung \(b^x = a\) gilt

  • \(b\) = Basis
  • \(x\) = Exponent
  • \(a\) = Potenzwert

In der Gleichung \(\log_b a = x\) gilt

  • \(b\) = (Logarithmus-)Basis
  • \(a\) = Numerus
  • \(x\) = Logarithmus(-wert)

Einschränkungen

1.) Die Logarithmusbasis \(b\) muss größer als 0 sein (\(b > 0\))

Beispiel 1

\(\log_{0} 10 = x \quad \Leftrightarrow \quad 0^x = 10\)

Die Gleichung \(0^x = 10\) ist unlösbar,
denn 0 hoch irgendeine Zahl \(x\) ist immer gleich 0.

Beispiel 2

\(\log_{-2} 8 = x \quad \Leftrightarrow \quad (-2)^x = 8\)

Auch die Gleichung \((-2)^x = 8\) ist unlösbar.

2.) Die Logarithmusbasis \(b\) darf nicht gleich 1 sein (\(b \neq 1\))

Beispiel

\(\log_{1} 10 = x \quad \Leftrightarrow \quad 1^x = 10\)

Die Gleichung \(1^x = 10\) ist unlösbar,
denn 1 hoch irgendeine Zahl \(x\) ist immer gleich 1.

3.) Der Numerus \(a\) muss größer als 0 sein (\(a > 0\))

Beispiel 1

\(\log_{10} -100 = x \quad \Leftrightarrow \quad 10^x = -100\)

Die Gleichung \(10^x = -100\) ist unlösbar,
denn das Potenzieren einer positiven Zahl führt immer zu einer positiven Zahl.

Beispiel 2

\(\log_{10} 0 = x \quad \Leftrightarrow \quad 10^x = 0\)

Die Gleichung \(10^x = 0\) ist unlösbar,
denn das Potenzieren einer positiven Zahl führt immer zu einer positiven Zahl.
Vorsicht! Laut den Potenzgesetzen gilt: \(10^0 = 1\).

Besondere Logarithmen

  • Binärer Logarithmus = Logarithmus zur Basis 2
    Statt \(\log_{2} a\) schreibt man meist \(\text{lb } a\) oder \(\text{ld } a\).

* Die Zahl \(e\) („Eulersche Zahl“) ist eine Konstante wie die Zahl \(\pi\).
   Die Eulersche Zahl ist ungefähr gleich 2,7182818284590452…

Außerdem lohnt es sich, wenn man sich folgende Zusammenhänge merkt:

  • \(\log_b b = 1\): Der Logarithmus zur Basis ist immer 1 (wegen \(b^1 = b\)).
  • \(\log_b 1 = 0\): Der Logarithmus zu 1 ist immer 0 (wegen \(b^0 = 1\)).

Zusammenfassung

\(\log_b a = x \quad \Leftrightarrow \quad b^x = a\)

Als Logarithmus einer Zahl \(a\) bezeichnet man den Exponenten \(x\), mit dem eine vorher festgelegte Zahl, die Basis \(b\), potenziert werden muss, um die gegebene Zahl zu erhalten.

Beispiele

\(\log_2 8 = {\color{red}3} \quad (\text{wegen } 2^{\color{red}3} = 8)\)

\(\log_3 9 = {\color{red}2} \quad (\text{wegen } 3^{\color{red}2} = 9)\)

\(\log_4 4 = {\color{red}1} \quad (\text{wegen } 4^{\color{red}1} = 4)\)

Logarithmusgesetze

Wie man mit Logarithmen rechnet, erfährst du im Kapitel Logarithmusgesetze.

Andreas Schneider

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Andreas Schneider

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