Logarithmus
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was ein Logarithmus (Plural: Logarithmen) ist.
Problemstellung
In der Potenzrechnung haben wir Gleichungen der Form \({\color{green}b}^{\color{green}n} = {\color{red}x}\) betrachtet.
Dabei waren die Basis \({\color{green}b}\) und der Exponent \({\color{green}n}\) bekannt.
Gesucht war der Potenzwert \({\color{red}x}\).
Beispiel
\(10^2 = x \quad \rightarrow \quad x = 100\)
In der Wurzelrechnung haben wir Gleichungen der Form \({\color{red}x}^{\color{green}n} = {\color{green}a}\) betrachtet.
Dabei waren der Exponent \({\color{green}n}\) und der Potenzwert \({\color{green}a}\) bekannt.
Gesucht war die Basis \({\color{red}x}\).
Beispiel
\(x^2 = 100 \quad \rightarrow \quad x = 10\)
In der Logarithmusrechnung betrachten wir dagegen Gleichungen der Form \({\color{green}b}^{\color{red}x} = {\color{green}a}\).
Dabei sind die Basis \({\color{green}b}\) und der Potenzwert \({\color{green}a}\) gegeben.
Gesucht ist der Exponent \({\color{red}x}\).
Beispiel
\(10^x = 100 \quad \rightarrow \quad x = 2\)
Man bezeichnet den gesuchten Exponenten \(x\) auch mit \(\log_b a\) (Logarithmus von a zur Basis b).
Definition eines Logarithmus
\(b^x = a \quad \Leftrightarrow \quad x = \log_b a \qquad \qquad \qquad \qquad \text{mit } a,b > 0 \text{ und } b \neq 1\)
Sprechweise
\(\underbrace{b^x = a}_{\text{b hoch x gleich a}} \quad \underbrace{\Leftrightarrow}_{\text{ist äquivalent zu}} \quad \underbrace{x = \log_b a}_{\text{x gleich Logarithmus von a zur Basis b}}\)
Bezeichnungen
In der Gleichung \(b^x = a\) gilt
- \(b\) = Basis
- \(x\) = Exponent
- \(a\) = Potenzwert
In der Gleichung \(\log_b a = x\) gilt
- \(b\) = (Logarithmus-)Basis
- \(a\) = Numerus
- \(x\) = Logarithmus(-wert)
Einschränkungen
1.) Die Logarithmusbasis \(b\) muss größer als 0 sein (\(b > 0\))
Beispiel 1
\(\log_{0} 10 = x \quad \Leftrightarrow \quad 0^x = 10\)
Die Gleichung \(0^x = 10\) ist unlösbar,
denn 0 hoch irgendeine Zahl \(x\) ist immer gleich 0.
Beispiel 2
\(\log_{-2} 8 = x \quad \Leftrightarrow \quad (-2)^x = 8\)
Auch die Gleichung \((-2)^x = 8\) ist unlösbar.
2.) Die Logarithmusbasis \(b\) darf nicht gleich 1 sein (\(b \neq 1\))
Beispiel
\(\log_{1} 10 = x \quad \Leftrightarrow \quad 1^x = 10\)
Die Gleichung \(1^x = 10\) ist unlösbar,
denn 1 hoch irgendeine Zahl \(x\) ist immer gleich 1.
3.) Der Numerus \(a\) muss größer als 0 sein (\(a > 0\))
Beispiel 1
\(\log_{10} -100 = x \quad \Leftrightarrow \quad 10^x = -100\)
Die Gleichung \(10^x = -100\) ist unlösbar,
denn das Potenzieren einer positiven Zahl führt immer zu einer positiven Zahl.
Beispiel 2
\(\log_{10} 0 = x \quad \Leftrightarrow \quad 10^x = 0\)
Die Gleichung \(10^x = 0\) ist unlösbar,
denn das Potenzieren einer positiven Zahl führt immer zu einer positiven Zahl.
Vorsicht! Laut den Potenzgesetzen gilt: \(10^0 = 1\).
Besondere Logarithmen
- Dekadischer Logarithmus = Logarithmus zur Basis 10
Statt \(\log_{10} a\) schreibt man meist \(\lg a\). - *Natürlicher Logarithmus = Logarithmus zur Basis \(e\)
Statt \(\log_{e} a\) schreibt man meist \(\ln a\).
- Binärer Logarithmus = Logarithmus zur Basis 2
Statt \(\log_{2} a\) schreibt man meist \(\text{lb } a\) oder \(\text{ld } a\).
* Die Zahl \(e\) („Eulersche Zahl“) ist eine Konstante wie die Zahl \(\pi\).
Die Eulersche Zahl ist ungefähr gleich 2,7182818284590452…
Außerdem lohnt es sich, wenn man sich folgende Zusammenhänge merkt:
- \(\log_b b = 1\): Der Logarithmus zur Basis ist immer 1 (wegen \(b^1 = b\)).
- \(\log_b 1 = 0\): Der Logarithmus zu 1 ist immer 0 (wegen \(b^0 = 1\)).
Zusammenfassung
\(\log_b a = x \quad \Leftrightarrow \quad b^x = a\)
Als Logarithmus einer Zahl \(a\) bezeichnet man den Exponenten \(x\), mit dem eine vorher festgelegte Zahl, die Basis \(b\), potenziert werden muss, um die gegebene Zahl zu erhalten.
Beispiele
\(\log_2 8 = {\color{red}3} \quad (\text{wegen } 2^{\color{red}3} = 8)\)
\(\log_3 9 = {\color{red}2} \quad (\text{wegen } 3^{\color{red}2} = 9)\)
\(\log_4 4 = {\color{red}1} \quad (\text{wegen } 4^{\color{red}1} = 4)\)
Logarithmusgesetze
Wie man mit Logarithmen rechnet, erfährst du im Kapitel Logarithmusgesetze.
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Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!
Andreas Schneider