e-Funktion
In diesem Kapitel schauen wir uns die e-Funktion etwas genauer an.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Funktion?
- Exponentialfunktionen
Bestandteile
Eine Funktion besteht aus Funktionsgleichung, Definitionsmenge und Wertemenge.
Funktionsgleichung
Die e-Funktion (auch: Natürliche Exponentialfunktion
) gehört zu den Exponentialfunktionen.
Im Unterschied zu Potenzfunktionen (z. B. $y = x^2$), bei denen die Variable in der Basis ist, steht bei Exponentialfunktionen (z. B. $y = 2^x$) die Variable im Exponenten.
Eine Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung
$$ f(x) = e^x $$
heißt e-Funktion.
Die e-Funktion ist eine Exponentialfunktion mit der Basis $e$.
Bei $e$ handelt es sich um die Eulersche Zahl, die folgenden Wert annimmt:
$$ e = 2{,}718182\dots $$
Definitionsmenge
Die Definitionsmenge $\mathbb{D}_f$ ist die Menge aller $x$-Werte, die in die Funktion $f$ eingesetzt werden dürfen.
In Exponentialfunktionen dürfen wir grundsätzlich alle reellen Zahlen einsetzen:
$$ \mathbb{D}_f = \mathbb{R} $$
Wertemenge
Die Wertemenge $\mathbb{W}_f$ ist die Menge aller $y$-Werte, die die Funktion $f$ unter Beachtung ihrer Definitionsmenge $\mathbb{D}_f$ annehmen kann.
Bei Exponentialfunktionen kommt am Ende immer eine positive reelle Zahl heraus:
$$ \mathbb{W}_f = \mathbb{R}^{+} $$
Graph
Der Graph einer Exponentialfunktion heißt Exponentialkurve.
Um den Graphen der e-Funktion sauber zu zeichnen, berechnen wir zunächst mithilfe des Taschenrechners einige Funktionswerte und tragen diese dann in eine Wertetabelle ein. Beachte, dass in deinem Taschenrechner die Zahl $e$ als Konstante eingespeichert ist!
$$ f(-2) = e^{-2} = 0{,}135\ldots \approx 0{,}14 $$
$$ f(-1{,}5) = e^{-1{,}5} = 0{,}223\ldots \approx 0{,}22 $$
$$ f(-1) = e^{-1} = 0{,}367\ldots \approx 0{,}37 $$
$$ f(-0{,}5) = e^{-0{,}5} = 0{,}606\ldots \approx 0{,}61 $$
$$ f(0) = e^{0} = 1 $$
$$ f(0{,}5) = e^{0{,}5} = 1{,}648\ldots \approx 1{,}65 $$
$$ f(1) = e^{1} = 2{,}718\ldots \approx 2{,}72 $$
$$ f(1{,}5) = e^{1{,}5} = 4{,}481\ldots \approx 4{,}48 $$
$$ f(2) = e^{2} = 7{,}389\ldots \approx 7{,}39 $$
Zusammenfassung
$$ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|c} \text{x} & -2 & -1{,}5 & -1 & -0{,}5 & 0 & 0{,}5 & 1 & 1{,}5 & 2 \\ \hline \text{y} & 0{,}14 & 0{,}22 & 0{,}37 & 0{,}61 & 1 & 1{,}65 & 2{,}72 & 4{,}48 & 7{,}39 \\ \end{array} $$
Wir haben die Funktionswerte auf zwei Nachkommastellen gerundet. Diese Genauigkeit reicht zum Zeichnen des Graphen der e-Funktion normalerweise völlig aus.
Eigenschaften
In der obigen Abbildung können wir einige interessante Eigenschaften beobachten:
- Der Graph der e-Funktion verläuft oberhalb der
$x$-Achse.$\Rightarrow$Die Wertemenge der e-Funktion ist$\mathbb{W} = \mathbb{R}^{+}$. - Der Graph der e-Funktion kommt der
$x$-Achse beliebig nahe.$\Rightarrow$Die$x$-Achse ist waagrechte Asymptote der Exponentialkurve. - Der Graph der e-Funktion schneidet die
$y$-Achse im Punkt$(0|1)$.
(Laut einem Potenzgesetz gilt nämlich:$e^0 = 1$.)$\Rightarrow$Der$y$-Achsenabschnitt der e-Funktion ist$y = 1$. - Der Graph der e-Funktion schneidet die
$x$-Achse nicht.$\Rightarrow$Die e-Funktion hat keine Nullstellen! - Der Graph der e-Funktion ist streng monoton steigend.
$\Rightarrow$Je größer$x$, desto größer$y$!
Wenn du bereits die ln-Funktion kennst, ist dir vielleicht Folgendes aufgefallen:
Die ln-Funktion besitzt genau die umgekehrten
Eigenschaften wie die e-Funktion.
Warum das so ist? Ganz einfach: Die ln-Funktion ist die Umkehrfunktion der e-Funktion.
Zusammenfassung der wichtigsten Eigenschaften
| Funktionsgleichung | $f(x) = e^x$ |
| Definitionsmenge | $\mathbb{D} = \mathbb{R}$ |
| Wertemenge | $\mathbb{W} = \mathbb{R}^{+}$ |
| Asymptote | $y = 0$ ($x$-Achse) |
Schnittpunkt mit $y$-Achse | $P(0|1)$ (wegen $f(0) = e^0 = 1$) |
Schnittpunkte mit $x$-Achse | Es gibt keine! |
| Monotonie | Streng monoton steigend |
| Ableitung | $f'(x) = e^x$ |
| Umkehrfunktion | $f(x) = \ln(x)$(ln-Funktion) |
