Waagrechte Asymptote
In diesem Kapitel besprechen wir, was eine waagrechte Asymptote ist.
Zuerst definieren wir den Begriff Asymptote.
Eine Asymptote ist eine Funktion, der sich eine andere Funktion bei deren immer größer werdender Entfernung vom Koordinatenursprung unbegrenzt nähert.
Welche Arten von Asymptoten gibt es?
- Senkrechte Asymptote (Sonderfall, denn es handelt sich um keine Funktion!)
- Waagrechte Asymptote
- Schiefe Asymptote
- Asymptotische Kurve
Zu jedem dieser vier Fälle schauen wir uns ein grapisches Beispiel an.
a) Senkrechte Asymptote
Die Gerade, der sich die Kurve bei deren immer größer werdender Entfernung vom Koordinatenursprung nähert, verläuft senkrecht (siehe rote Linie).
b) Waagrechte Asymptote
Die Gerade, der sich die Kurve bei deren immer größer werdender Entfernung vom Koordinatenursprung nähert, verläuft waagrecht (siehe rote Linie).
c) Schiefe Asymptote
Die Gerade, der sich die Kurve bei deren immer größer werdender Entfernung vom Koordinatenursprung nähert, verläuft schief (siehe rote Linie).
d) Asymptotische Kurve
Kurve, der sich eine andere Kurve bei deren immer größer werdender Entfernung vom Koordinatenursprung nähert (siehe rote Kurve).
Mit diesem Wissen können wir eine waagrechte Asymptote definieren:
Eine waagrechte Asymptote ist eine waagrechte Gerade, der sich eine Kurve bei deren immer größer werdender Entfernung vom Koordinatenursprung unbegrenzt nähert.
Exkurs: Zählergrad / Nennergrad bestimmen
Um zu überprüfen, ob eine gebrochenrationale Funktion eine waagrechte Asymptote besitzt,
betrachtet man den Zählergrad bzw. den Nennergrad.
Unter dem Zählergrad einer Funktion versteht man die höchste Potenz, die im Zähler vorkommt.
Beispiel
Der Zählergrad der Funktion
\[f(x) = \frac{x^{\fcolorbox{Red}{}{\(3\)}} +4x^2 -7}{x + 3}\]
ist 3, da \(x^{\color{red}3}\) die höchste Potenz im Zähler ist.
Unter dem Nennergrad einer Funktion versteht man die höchste Potenz, die im Nenner vorkommt.
Beispiel
Der Nennergrad der Funktion
\[f(x) = \frac{x^3 +4x^2 -7}{x + 3} = \frac{x^3 +4x^2 -7}{x^{\fcolorbox{Red}{}{\(1\)}} + 3}\]
ist 1, da \(x^{\color{red}1}\) die höchste Potenz im Nenner ist.
Es gilt: \(x^1 = x\).
Waagrechte Asymptote berechnen
Eine gebrochenrationale Funktion
\[y = \frac{{\color{red}a_n} x^{\fcolorbox{Red}{}{\(n\)}} + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_ 0}{{\color{red}b_m} x^{\fcolorbox{Red}{}{\(m\)}} + b_{m-1} x^{m-1} + \dots + b_1 x + b_ 0}\]
besitzt eine waagrechte Asymptote, wenn...
- Zählergrad < Nennergrad [\(n < m\)]
\(\rightarrow\) die x-Achse ist die waagrechte Asymptote - Zählergrad = Nennergrad [\(n = m\)]
\(\rightarrow\) die zur x-Achse parallele Gerade mit der Gleichung \(y = {\color{red}\frac{a_n}{b_m}}\)
Dabei ist \({\color{red}a_n}\) (\({\color{red}b_m}\)) der Koeffizient vor der Unbekannten mit der höchsten Potenz im Zähler (Nenner).
Vorgehensweise zur Berechnung einer waagrechten Asymptote
- Zählergrad und Nennergrad bestimmen
(= Voraussetzung für waagrechte Asymptote überprüfen) - Waagrechte Asymptote berechnen
Beispiel 1
Wir betrachten die Funktion
\[f(x) = \frac{1}{x-1}\]
1.) Zählergrad und Nennergrad bestimmen
Da der Zählergrad (0) kleiner ist als der Nennergrad (1), besitzt die Funktion eine waagrechte Asymptote.
2.) Waagrechte Asymptote berechnen
Wegen ZG < NG ist die x-Achse die waagrechte Asymptote.
Graphik zu Beispiel 1
Beispiel 2
Wir betrachten die Funktion
\[f(x) = \frac{{\color{red}4}x^2 + 3}{{\color{red}2}x^2 + 1}\]
1.) Zählergrad und Nennergrad bestimmen
Da Zählergrad (2) und Nennergrad (2) identisch sind, besitzt die Funktion eine waagrechte Asymptote.
2.) Waagrechte Asymptote berechnen
Wegen ZG = NG müssen wir die Gleichung der waagrechten Asymptote berechnen.
Die Gleichung der Asymptoten erhalten wir, indem wir die Koeffizienten vor den Unbekannten mit den höchsten Potenzen im Zähler und Nenner dividieren.
Die Gleichung der waagrechten Asymptoten lautet entsprechend:
\[y = \frac{{\color{red}4}}{{\color{red}2}} = 2\]
Dabei handelt es sich um eine Paralle zur x-Achse, die um zwei Einheiten nach oben verschoben ist.
Graphik zu Beispiel 2
Mehr zu gebrochenrationalen Funktionen
Im Zusammenhang mit gebrochenrationalen Funktionen gibt es bestimmte Fragestellungen, die in Prüfungen immer wieder abgefragt werden. Es lohnt sich daher, die nachfolgenden Kapitel systematisch durchzuarbeiten.
| Kriterium | |
| Zählergrad bestimmen | Höchste Potenz im Zähler |
| Nennergrad bestimmen | Höchste Potenz im Nenner |
| Asymptoten berechnen | |
| > Senkrechte Asymptote | Nullstelle des Nenners (= Definitionslücke) |
| > Waagrechte Asymptote | Zählergrad < Nennergrad oder Zählergrad = Nennergrad |
| > Schiefe Asymptote | Zählergrad = Nennergrad + 1 |
| > Asymptotische Kurve | Zählergrad > Nennergrad + 1 |
| Nullstellen berechnen | \(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \quad \rightarrow \quad P(x_0) = 0 \text{ und } Q(x_0) \neq 0\) |
| Polstelle | \(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \quad \rightarrow \quad Q(x_0) = 0 \text{ und } P(x_0) \neq 0\) |
| Hebbare Definitionslücke | \(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \quad \rightarrow \quad Q(x_0) = 0 \text{ und } P(x_0) = 0\) |
| Grenzwert einer gebrochenrationalen Funktion | |
| Partialbruchzerlegung |
Vergewissere dich, dass du sowohl graphisch als auch rechnerisch die Begriffe "Nullstelle", "Definitionslücke", "Polstelle" und "Hebbare Definitionslücke" voneinander abgrenzen kannst. Auch den Unterschied zwischen einer Polstelle und einer waagrechten Asymptote solltest du dir bewusst machen. All das wird in den obigen Artikeln ausführlich besprochen.
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Für Lob, Kritik und Anregungen habe ich immer ein offenes Ohr.
Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!
Andreas Schneider