Waagrechte Asymptote
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine waagrechte Asymptote ist.
Erforderliches Vorwissen
Definition
Eine waagrechte Gerade, der sich eine Kurve bei deren immer größer werdender Entfernung vom Koordinatenursprung unbegrenzt nähert, heißt waagrechte Asymptote.
Bedingung
Eine gebrochenrationale Funktion
$$ y = \frac{{\color{red}a_n} x^{\fcolorbox{Red}{}{$n$}} + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_ 0}{{\color{red}b_m} x^{\fcolorbox{Red}{}{$m$}} + b_{m-1} x^{m-1} + \dots + b_1 x + b_ 0} $$
besitzt eine waagrechte Asymptote, wenn
Zählergrad < Nennergrad (
$n < m$)$\Rightarrow$Die$x$-Achse ist die waagrechte AsymptoteZählergrad = Nennergrad (
$n = m$)$\Rightarrow$Die zur$x$-Achse parallele Gerade mit der Gleichung$y = {\color{red}\frac{a_n}{b_m}}$ist die waagrechte Asymptote
Dabei ist ${\color{red}a_n}$ (${\color{red}b_m}$) der Koeffizient der Potenz mit dem höchsten Exponenten des Zählers (des Nenners).
Anleitung
Zählergrad und Nennergrad bestimmen
Waagrechte Asymptote berechnen
zu 1)
Wir prüfen, ob die Bedingung für eine waagrechte Asymptote erfüllt ist.
Beispiele
Überprüfe, ob die gebrochenrationale Funktion
$$ f(x) = \frac{1}{x-1} $$
eine waagrechte Asymptote hat und gib diese ggf. an.
Überprüfe, ob die gebrochenrationale Funktion
$$ f(x) = \frac{{\color{red}4}x^2 + 3}{{\color{red}2}x^2 + 1} $$
eine waagrechte Asymptote hat und gib diese ggf. an.
Zählergrad und Nennergrad bestimmen
Da Zählergrad ($2$) und Nennergrad ($2$) gleich sind, besitzt die gebrochenrationale Funktion eine waagrechte Asymptote.
Waagrechte Asymptote berechnen
Wegen Zählergrad = Nennergrad müssen wir die Gleichung der waagrechten Asymptote berechnen: Dazu dividieren wir die Koeffizienten der Potenzen mit den höchsten Exponenten des Zählers und des Nenners.
$$ y = \frac{{\color{red}4}}{{\color{red}2}} = 2 $$
Dabei handelt es sich um eine Parallele zur $x$-Achse, die um $2$ Einheiten nach oben verschoben ist.
Graphische Darstellung
