Zählergrad & Nennergrad
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was der Zählergrad bzw. der Nennergrad einer gebrochenrationalen Funktion ist.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Funktion?
- Gebrochenrationale Funktionen
Einordnung
Eine Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung
$$ f(x) = \frac{a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_ 0}{b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + \dots + b_1 x + b_ 0} $$
heißt gebrochenrationale Funktion.
Eine gebrochenrationale Funktion ist eine Funktion, bei der sich sowohl im Zähler als auch im Nenner eines Bruchs eine ganzrationale Funktion befindet.
Der höchste Exponent einer ganzrationalen Funktion bestimmt deren Grad.
Die Funktion
$$ f(x) = x^{\color{red}3} + 4x^2 - 7 $$
ist eine ganzrationale Funktion vom Grad ${\color{red}3}$.
Die Funktion
$$ f(x) = 9x + 4x^5 - 3x^{\color{red}7} + 4x^2 + 2 $$
ist eine ganzrationale Funktion vom Grad ${\color{red}7}$.
Die Funktion
$$ f(x) = 2x + 4 = 2x^{\color{red}1} + 4 $$
ist eine ganzrationale Funktion vom Grad ${\color{red}1}$.
Anmerkung
Ein Potenzgesetz besagt $x^1 = x$.
Zählergrad
Definition
Der höchste Exponent im Zähler einer gebrochenrationalen Funktion heißt Zählergrad.
Beispiele
Der Zählergrad der gebrochenrationalen Funktion
$$ f(x) = \frac{x^{\color{red}3} + 4x^2 - 7}{x^2 + 3} $$
ist ${\color{red}3}$.
Der Zählergrad der gebrochenrationalen Funktion
$$ f(x) = \frac{9x + 4x^5 - 3x^{\color{red}7} + 4x^2 + 2}{2x^4 - 5x^6 + 8} $$
ist ${\color{red}7}$.
Der Zählergrad der gebrochenrationalen Funktion
$$ f(x) = \frac{2x + 4}{3x - 4} = \frac{2x^{\color{red}1} + 4}{3x - 4} $$
ist ${\color{red}1}$.
Anmerkung
Ein Potenzgesetz besagt $x^1 = x$.
Nennergrad
Definition
Der höchste Exponent im Nenner einer gebrochenrationalen Funktion heißt Nennergrad.
Beispiele
Der Nennergrad der gebrochenrationalen Funktion
$$ f(x) = \frac{x^3 + 4x^2 - 7}{x^{\color{red}2} + 3} $$
ist ${\color{red}2}$.
Der Nennergrad der gebrochenrationalen Funktion
$$ f(x) = \frac{9x + 4x^5 - 3x^7 + 4x^2 + 2}{2x^4 - 5x^{\color{red}6} + 8} $$
ist ${\color{red}6}$.
Der Nennergrad der gebrochenrationalen Funktion
$$ f(x) = \frac{2x + 4}{3x - 4} = \frac{2x + 4}{3x^{\color{red}1} - 4} $$
ist ${\color{red}1}$.
Anmerkung
Ein Potenzgesetz besagt $x^1 = x$.
Anwendung
Bei gebrochenrationalen Funktionen gibt es vier verschiedene Arten von Asymptoten, die wir mithilfe des Zähler- und des Nennersgrads voneinander unterscheiden können:
| Asymptote | Voraussetzung |
|---|---|
| Senkrechte Asymptote | Nullstellen des Nenners (Definitionslücken) |
| Waagrechte Asymptote | Zählergrad < Nennergrad oder Zählergrad = Nennergrad |
| Schiefe Asymptote | Zählergrad = Nennergrad + 1 |
| Asymptotische Kurve | Zählergrad > Nennergrad + 1 |
