Polstelle
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine Polstelle (kurz: Pol) oder Unendlichkeitsstelle ist.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Funktion?
- Gebrochenrationale Funktionen
Einordnung
Für gebrochenrationale Funktionen gilt:
Dort, wo der Nenner gleich Null wird, hat der Graph eine Definitionslücke.
Wir unterscheiden zwei Arten von Definitionslücken:
- Der Graph hat eine hebbare Definitionslücke.
- Der Graph nähert sich einer Gerade, die parallel zur
$y$-Achse verläuft.
Diese Gerade heißt senkrechte Asymptote.
Die Definitionslücke heißt dann Polstelle, Pol oder Unendlichkeitsstelle.
Definition
Eine Definitionslücke, in deren Nähe die Funktionswerte der Funktion gegen unendlich laufen, heißt Polstelle, Pol oder Unendlichkeitsstelle.
Bedingung
Eine gebrochenrationale Funktion
$$ f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} $$
besitzt an der Stelle $x_0$ eine Polstelle, wenn gilt
$$ Q(x_0) = 0 \text{ und } P(x_0) \neq 0 $$
Anleitung
Nullstellen der Nennerfunktion berechnen
Funktionsgleichung gleich Null setzen
Gleichung lösen
Nullstellen der Nennerfunktion in Zählerfunktion einsetzen
Ergebnis interpretieren
Wenn möglicherweise eine hebbare Definitionslücke vorliegt:
Zähler und Nenner faktorisieren
Bruch kürzen
Nullstellen der ungekürzten Nennerfunktion in gekürzte Nennerfunktion einsetzen
Ergebnis interpretieren
zu 1)
Wir bestimmen die Definitionslücken.
zu 3)
- Ist
$x_0$eine Nullstelle des Nenners, aber nicht gleichzeitig eine Nullstelle des Zählers, liegt eine Polstelle vor. - Ist
$x_0$sowohl eine Nullstelle des Nenners als auch des Zählers, liegt möglicherweise eine hebbare Definitionslücke vor.
zu 7)
Wenn $x_0$ auch eine Definitionslücke des gekürzten Funktionsterms ist, handelt es sich bei $x_0$ um einen Pol – andernfalls handelt es sich um eine hebbare Definitionslücke.
Anmerkung
Wenn der Funktionsterm in der Aufgabenstellung bereits vollständig gekürzt ist, d. h. wenn alle hebbaren Definitionslücken behoben wurden, entfallen die Schritte 4 bis 7.
Beispiele
Berechne die Polstellen der gebrochenrationalen Funktion
$$ f(x) = \frac{1}{x} $$
Nullstellen der Nennerfunktion berechnen
Funktionsgleichung gleich Null setzen
$$ x = 0 $$
Gleichung lösen
Dieser Schritt entfällt hier, weil die Gleichung bereits nach $x$ aufgelöst ist.
Nullstellen der Nennerfunktion in Zählerfunktion einsetzen
$$ P(0) = 1 \neq 0 $$
Ergebnis interpretieren
Da die Nullstelle der Nennerfunktion ($x = 0$) nicht gleichzeitig eine Nullstelle der Zählerfunktion ist, liegt eine Polstelle vor.
Graphische Darstellung
Berechne die Polstellen der gebrochenrationalen Funktion
$$ f(x) = \frac{x-1}{(x-1)^2} $$
Nullstellen der Nennerfunktion berechnen
Funktionsgleichung gleich Null setzen
$$ (x-1)^2 = 0 $$
Gleichung lösen
Nach dem Satz vom Nullprodukt ist bei $x = 1$ eine doppelte Nullstelle.
Nullstellen der Nennerfunktion in Zählerfunktion einsetzen
$$ \begin{align*} P(1) &= 1 - 1 \\[5px] &= 0 \end{align*} $$
Ergebnis interpretieren
Da die Nullstelle des Nenners ($x = 1$) gleichzeitig eine Nullstelle des Zählers ist, liegt möglicherweise eine hebbare Definitionslücke vor.
Zähler und Nenner faktorisieren
$$ \begin{align*} f(x) &= \frac{x-1}{(x-1)^2} \\[5px] &= \frac{x-1}{(x-1)(x-1)} \end{align*} $$
Bruch kürzen
$$ \begin{align*} f(x) &= \frac{\cancel{x-1}}{\cancel{(x-1)}(x-1)} \\[5px] &= \frac{1}{x-1} \end{align*} $$
Nullstellen der ungekürzten Nennerfunktion in gekürzte Nennerfunktion einsetzen
$$ \begin{align*} Q(1) &= 1 - 1 \\[5px] &= 0 \end{align*} $$
Ergebnis interpretieren
Da $x = 1$ auch eine Definitionslücke des gekürzten Funktionsterms ist, handelt es sich bei $x = 1$ um eine Polstelle.
Graphische Darstellung
Ordnung einer Polstelle
Unter der Ordnung einer Polstelle versteht man die Vielfachheit ihrer Nullstelle.
Bei der Betrachtung der Ordnung einer Polstelle ist es wichtig, dass man den Bruch zunächst vollständig kürzt.
$$ f(x) = \frac{1}{x} $$
Der Nenner besitzt bei $x = 0$ eine einfache Nullstelle.
Es handelt sich um eine Polstelle 1. Ordnung.
$$ f(x) = \frac{1}{x^2} $$
Der Nenner besitzt bei $x = 0$ eine zweifache Nullstelle.
Es handelt sich um eine Polstelle 2. Ordnung.
$$ f(x) = \frac{1}{(x-3)^4} $$
Der Nenner besitzt bei $x = 3$ eine vierfache Nullstelle.
Es handelt sich um eine Polstelle 4. Ordnung.
Polstelle mit Vorzeichenwechsel
Bei einer ungeraden Ordnung spricht man auch von einer Polstelle mit Vorzeichenwechsel, da der Graph aus dem positiven in den negativen Bildbereich springt – oder umgekehrt.
Polstelle ohne Vorzeichenwechsel
Bei einer geraden Ordnung spricht man auch von einer Polstelle ohne Vorzeichenwechsel, da der Graph auf beiden Seiten der Polstelle in einem Bildbereich mit gleichem Vorzeichen liegt.
