Polstelle
In diesem Kapitel besprechen wir, was man unter eine Polstelle versteht und wie man diese berechnet. Häufig spricht man auch einfach von einem Pol oder einer Unendlichkeitsstelle.
Aus dem Einführungsartikel "Gebrochenrationale Funktionen" wissen wir bereits:
Eine Definitionslücke ist eine Stelle, an der die Funktion nicht definiert ist.
An den Stellen, wo die Funktion nicht definiert ist, gibt es zwei Möglichkeiten
- der Graph besitzt eine hebbare Definitionslücke.
- der Graph nähert sich immer mehr einer Geraden parallel zur y-Achse an.
Diese Gerade nennt man senkrechte Asymptote.
Die Definitionslücke heißt dann Unendlichkeitsstelle oder Pol.
Definition einer Polstelle
Unter einem Pol versteht man eine Definitionslücke, in deren Nähe die Funktionswerte der Funktion gegen unendlich laufen.
Polstellen berechnen
Bislang haben wir uns nur mit der Theorie beschäftigt. Es ist an der Zeit, dass wir uns das Thema anhand einiger Beispiele etwas genauer anschauen. Dabei gehen wir nach folgendem Schema vor:
Vorgehensweise
- Nullstellen des Nenners berechnen (= Definitionslücken bestimmen)
- Nullstellen des Zählers berechnen
- Prüfen, ob ein Pol vorliegt oder möglicherweise eine hebbare Definitionslücke
Wenn möglicherweise eine hebbare Definitionslücke vorliegt: - Zähler und Nenner faktorisieren
- Bruch kürzen
- Prüfen, ob Pol oder hebbare Definitionslücke vorliegt
zu 1.)
Eine gebrochenrationale Funktion hat genau dann eine Definitionslücke, wenn die rationale Funktion im Nenner eine Nullstelle hat.
zu 3.)
- Ist \(x_0\) eine Nullstelle des Nenners, aber nicht gleichzeitig eine Nullstelle des Zählers, liegt eine Polstelle vor
- Ist \(x_0\) sowohl eine Nullstelle des Nenners als auch des Zählers, liegt möglicherweise eine hebbare Definitionslücke vor
zu 6.)
- Ist \(x_0\) auch eine Definitionslücke des gekürzten Funktionsterms, handelt es sich bei \(x_0\) um einen Pol
Hinweis:
Liegt der Bruch bereits vollständig gekürzt vor, d.h. wurden alle hebbaren Definitionslücken behoben, entfallen die Schritte 4 bis 6.
Beispiel 1
Gesucht sind die Polstellen der Funktion
\[f(x) = \frac{1}{x}\]
1.) Nullstellen des Nenners berechnen
Der Nenner wird für \(x = 0\) gleich Null.
Die Nullstellen des Nenners sind bekanntlich Definitionslücken.
Für die Definitionsmenge der Funktion gilt folglich: \(D_f = \mathbb{R} \backslash \{0\}\).
2.) Nullstellen des Zählers berechnen
Der Zähler besitzt keine Nullstelle. Er ist immer gleich 1.
3.) Prüfen, ob ein ein Pol vorliegt oder möglicherweise eine hebbare Definitionslücke
Da die Nullstelle des Nenners (\(x = 0\)) nicht gleichzeitig eine Nullstelle des Zählers ist, liegt eine Polstelle vor.
Graphik zu Beispiel 1
Mach dir unbedingt den Unterschied zwischen einer Polstelle und einer senkrechten Asymptote (rot eingezeichnet) bewusst:
Der Pol (= Definitionslücke) ist eine Stelle auf der x-Achse, durch die die senkrechte Asymptote (= Gerade) durchläuft.
Beispiel 2
Gesucht sind die Polstellen der Funktion
\[f(x) = \frac{x-1}{(x-1)^2}\]
1.) Nullstellen des Nenners berechnen
Bei \(x = 1\) liegt eine doppelte Nullstelle vor.
Die Nullstellen des Nenners sind bekanntlich Definitionslücken.
Für die Definitionsmenge der Funktion gilt folglich: \(D_f = \mathbb{R} \backslash \{1\}\).
2.) Nullstellen des Zählers berechnen
Bei \(x = 1\) liegt eine einfache Nullstelle vor.
3.) Prüfen, ob ein ein Pol vorliegt oder möglicherweise eine hebbare Definitionslücke
Da eine Nullstelle des Nenners (\(x = 1\)) gleichzeitig eine Nullstelle des Zählers ist, liegt möglicherweise eine hebbare Definitionslücke vor.
4.) Zähler und Nenner faktorisieren
Um das anschließende Kürzen zu erleichtern, faktorisieren wir den Term.
\[f(x) = \frac{x-1}{(x-1)^2} = \frac{x-1}{(x-1)(x-1)}\]
5.) Bruch kürzen
\[f(x) = \frac{\cancel{x-1}}{\cancel{(x-1)}(x-1)} = \frac{1}{x-1}\]
6.) Prüfen, ob Pol oder hebbare Definitionslücke vorliegt
Da \(x = 1\) auch eine Definitionslücke des gekürzten Funktionsterms ist, handelt es sich bei \(x = 1\) um eine Polstelle.
Die Funktion \[f(x) = \frac{1}{(x-1)}\] besitzt bei \(x = 1\) eine Polstelle, durch die eine senkrechte Asymptote verläuft (rote Linie)
Ordnung einer Polstelle
Um diesen Abschnitt zu verstehen, musst du wissen, was hinter der Vielfachheit von Nullstellen steckt.
Unter der Ordnung einer Polstelle versteht man die Vielfachheit ihrer Nullstelle.
Beispiel 1
\[f(x) = \frac{1}{x}\]
Der Nenner besitzt bei \(x = 0\) eine einfache Nullstelle.
Es handelt sich um eine Polstelle 1. Ordnung.
Beispiel 2
\[f(x) = \frac{1}{x^2}\]
Der Nenner besitzt bei \(x = 0\) eine zweifache Nullstelle.
Es handelt sich um eine Polstelle 2. Ordnung.
Beispiel 3
\[f(x) = \frac{1}{(x-3)^4}\]
Der Nenner besitzt bei \(x = 3\) eine vierfache Nullstelle.
Es handelt sich um eine Polstelle 4. Ordnung.
Polstelle mit Vorzeichenwechsel
Bei einer ungeraden Ordnung spricht man auch von einer Polstelle mit Vorzeichenwechsel, da der Graph aus dem positiven in den negativen Bildbereich springt - oder umgekehrt.
Die Funktion \[f(x) = \frac{1}{x}\] besitzt eine Polstelle 1. Ordnung.
Es handelt sich um eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.
Polstelle ohne Vorzeichenwechsel
Bei einer geraden Ordnung spricht man auch von einer Polstelle ohne Vorzeichenwechsel, da der Graph auf beiden Seiten der Polstelle in einem Bildbereich mit gleichem Vorzeichen liegt.
Die Funktion \[f(x) = \frac{1}{x^2}\] besitzt eine Polstelle 2. Ordnung.
Es handelt sich um eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.
Hinweis: Bei der Betrachtung der Ordnung einer Polstelle ist es wichtig, dass man den Bruch zunächst vollständig kürzt.
Mehr zu gebrochenrationalen Funktionen
Im Zusammenhang mit gebrochenrationalen Funktionen gibt es bestimmte Fragestellungen, die in Prüfungen immer wieder abgefragt werden. Es lohnt sich daher, die nachfolgenden Kapitel systematisch durchzuarbeiten.
| Kriterium | |
| Zählergrad bestimmen | Höchste Potenz im Zähler |
| Nennergrad bestimmen | Höchste Potenz im Nenner |
| Asymptoten berechnen | |
| > Senkrechte Asymptote | Nullstelle des Nenners (= Definitionslücke) |
| > Waagrechte Asymptote | Zählergrad < Nennergrad oder Zählergrad = Nennergrad |
| > Schiefe Asymptote | Zählergrad = Nennergrad + 1 |
| > Asymptotische Kurve | Zählergrad > Nennergrad + 1 |
| Nullstellen berechnen | \(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \quad \rightarrow \quad P(x_0) = 0 \text{ und } Q(x_0) \neq 0\) |
| Polstelle | \(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \quad \rightarrow \quad Q(x_0) = 0 \text{ und } P(x_0) \neq 0\) |
| Hebbare Definitionslücke | \(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \quad \rightarrow \quad Q(x_0) = 0 \text{ und } P(x_0) = 0\) |
| Grenzwert einer gebrochenrationalen Funktion | |
| Partialbruchzerlegung |
Vergewissere dich, dass du sowohl graphisch als auch rechnerisch die Begriffe "Nullstelle", "Definitionslücke", "Polstelle" und "Hebbare Definitionslücke" voneinander abgrenzen kannst. Auch den Unterschied zwischen einer Polstelle und einer waagrechten Asymptote solltest du dir bewusst machen. All das wird in den obigen Artikeln ausführlich besprochen.
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Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!
Andreas Schneider